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- 你現在知道了什麽是變換
- 因此 我來引入一個特殊的變換
- 叫做線性變換
- 我們只有研究線性變換
- 才是有意義的
- 因爲我們學的就是線性代數
- 我們已經學過了線性組合
- 因此 我們同樣要學習線性變換
- 線性變換根據定義
- 它本質上是一個函數
- 它是從一個集合Rn到Rm
- 在下一段影片中
- 我會變得明顯偏好於一些符號
- 盡管它們是隨意選取的
- 下面兩個條件必須要符合
- 一個變換是線性變換
- 若且唯若 下面的條件符合
- 假設我們有兩個向量
- 假設是向量a和向量b
- 它們都是Rn中的元素
- 它們都在定義域中
- 它是一個線性變換
- 若且唯若如果我取這兩個向量
- 和的變換
- 如果我先把它們相加 它等價於
- 對每一個向量變換
- 然後相加
- 這是滿足線性變換的
- 第一個條件
- 第二個條件是 如果我取一個向量的
- 常數倍的變換
- 因此用一個向量乘以某個純量
- 或者實數c
- 如果這是一個線性變換
- 那麽它
- 等於c<i>T(a)</i>
- 看起來很簡單
- 我們來看看能否用這些規則來計算出
- 判斷一個變換是否是線性變換
- 我來定義一個變換
- 假設這個變換是T
- 我先告訴你一部分的定義
- 它是從R2映射到R2
- 它是一個二維數組 對吧？
- 它的定義域是二元數組
- 它有元素 x1和x2 假設它映射到
- 它等於--
- 第一項是x1+x2
- 令3<i>x1</i>
- 是第二項
- 我把它寫成向量的形式
- 這是一種數組的形式
- 你可以把它寫成--
- 看看可能會遇到的不同符號
- 也不錯
- 你可以把它寫成向量x的變換
- 其中向量是這樣的[x1,x2]
- 我把它括起來
- 它等於某個新的向量 x1+x2
- 新向量的第二個分量
- 即3<i>x1</i>
- 這個是表示變換的
- 完全合理的表示
- 第三種方法 我我從沒有見過
- 但是對我來說
- 它抓住了變換的本質
- 它值一種映射 或者是一個函數
- 我們可以說變換是一個映射
- 它從R2中任意一個向量像[x1,x2]
- 我用這種符號表示
- 映射到一個這樣的
- 向量[x1+x2,3<i>x1]</i>
- 所有這些描述都是等價的
- 但是我們要做的多重點是
- 計算出T是否是線性獨立的
- 抱歉 不是線性獨立
- 是線性變換
- 我已經在很多段影片中
- 著迷於線性獨立
- 很難把它從我的內心中抹去
- 它是否是一個線性變換
- 我們來檢驗一下這兩個條件
- 它在上面
- 我取T
- 假設有向量a和b
- 它們是R2中的元素
- 我把它寫出來
- a是等於[a1,a2]
- b等於[b1,b2]
- 抱歉這是一個向量
- 我必須確保它們是純量
- 它們是向量的分量
- 是b2
- a1加上b等於多少？
- 抱歉 向量a加上向量b是多少？
- 腦子淤了
- 好吧
- 把它們的分量相加
- 這個就是向量條件的定義
- 有a1+b1
- 把第一個分量相加
- 第二個分量是
- 向量第二分量的相加和
- 是a2+b2
- 沒什麽新鮮的東西
- 那麽這個向量的變換是什麽？
- 向量a+b的變換
- 我們可以這樣寫出來
- 它和這個向量的變換
- 是一樣的
- 也就是[a1+b1,a2+b2]
- 我們知道它等於一個向量
- 它等於這個向量
- 我們對第一個分量做變換
- 把這兩個分量在這邊相加
- 因此第一項就是
- 這兩個相加
- 等於a1+a2+b1+b2
- 根據變換或者函數的定義
- 第二項是等於
- 3乘以定義域中第一個分量
- 我認爲你們可以做出來
- 3乘以第一個
- 等於3乘第一項
- 等於3<i>a1+3<i>b1</i></i>
- 很簡單
- a和b分別的變換是多少？
- a的變換等於
- 我來這樣寫出來
- 它等於括號中a1 a2的變換
- 這是向量a的另一種寫法
- 它等於多少？
- 這個是變換的定義
- 在這
- 因此它等於
- 向量[a1+a2,3<i>a1]</i>
- 它是從定義中直接得到的
- 它本質上是用a來替換x
- 同理
- b的變換是什麽？
- 它是一樣的
- 只需要用b來替換a
- 因此b的變換是---
- 有b=[b1,b2]
- 因此它等於b1+b2
- 變換中的第二項
- 是3<i>b1</i>
- 那麽向量a的變換
- 加上向量b的變換是多少？
- 它等於這個向量加上這個xl
- 等於什麽？
- 它們完全符合向量的條件
- 因此 我們能將它們分量相加
- 等於a1+a2+b1+b2
- 它是這個分量加上這個分量
- 第二個分量是3<i>a1</i>
- 我把它加到第二個分量之中
- 它等於3<i>a1+3<i>b1</i></i>
- 現在我向你們證明了
- 如果我分別對
- 每一向量做變換
- 然後將它們相加
- 它和我先取
- 向量的和
- 然後做變換得到相同的結果
- 我們滿足了第一個標準
- 向量和的變換
- 和變換的和是一樣的
- 我們來看看對於一個任意純量是否符合
- 我們知道變換是什麽樣的？
- 首先 c<i>a是什麽樣的？</i>
- 我想這是一個很好開始研究的起點
- c乘以向量a
- 等於[c<i>a1,c<i>a2]</i></i>
- 這是根據純量乘以向量的定義
- 得到的
- 變換是什麽？我換一種新的顏色
- 用一種很久沒用的顏色 白色
- c<i>a的變換是什麽？</i>
- 它和ca1，ca2的變換
- 是一回事
- 它等於一個新的向量 它的第一項-
- 我們回到定義
- 它的第一項是將第一個分量和第二個分量相加
- 第二項是3乘以第一個分量
- 第一項 想加
- 它等於c<i>a1+ca<i>2</i></i>
- 第二項等於
- 3乘以第一項 因此是3c<i>a1</i>
- 結果是什麽？
- 它們是一樣的
- 我們可以把c提出來
- 它和c乘以a1+a2是一樣的
- 第二個分量是3<i>a1</i>
- 這個結果我們在這裡已經見過了
- 它和a的變換是一樣的
- 和那個一樣
- c乘以一個在R2中任意一個向量
- 對R2中的任意向量a
- 可以用這種方式表示出來
- 它等於c乘以a的變換
- 這符合第二個條件
- 我剛說過 我不需要再重覆了
- 這兩個條件都符合
- 這就告訴我們它是一個線性變換
- 你也許會想 好的 這個很簡單啊
- 我怎麽知道
- 不滿足線性變換的變換
- 給我一個反例
- 我在這裡有一個很簡單的例子
- 我來定義一個變換
- 是一個從R2到R2的變換
- 只是爲了比較這兩個
- 我本可以做從R到R的變換
- 如果我想要做個更簡單的例子
- 但是我想定義變換
- 比如說對向量[x1,x2]的變換
- 它等於[x12,0]
- 就是這樣的
- 我們開看看它是不是一個線性變換
- 我第一個問題是
- 向量a的變換是什麽？
- 一個向量a的變換
- 其中a和前面的a是一樣的
- 它是這樣的
- 它是這樣的[a12,0]
- 如果取c<i>a</i>
- 那麽由變換得到什麽？
- 這個和c<i>a1+c<i>a2是一樣的</i></i>
- 根據變換的定義
- 抱歉 c乘以這個的變換
- 因爲我對兩邊都做了變換
- 根據變換的定義
- 它等於一個向量
- 這個向量是在值域之中
- 它的第一項就是
- 這個平方項
- 因此這個就是c<i>a1的平方</i>
- 第二項是0
- 它等於多少？
- 我來換種顏色
- 它等於c2<i>a12</i>
- 第二項等於0
- 如果我們假設c不等於0
- 這等於多少？
- 實際上 無所謂的
- 我甚至不需要做這種假設
- 它們是一樣的
- 它等於c2[a12,0]
- 它等於多少？
- 這個表達式就是a的一個變換
- 等於c2乘以T(a)
- 我用一樣的顏色
- 我已經給你們證明了
- 如果我對一個純量乘以
- 一個向量做變換
- 它等於--
- 對於這個T
- 這個定義的變換
- 等於c2<i>T(a)</i>
- 很顯然 這個結果
- 或者說這種變換的選擇
- 和線性變換的要求沖突
- 如果我有一個c
- c應該在這裡
- 但是在本題中 c在這裡
- c的平方在這裡
- 因此顯然它和這個描述是不符的
- 因此 它不是線性變換
- 爲了得到一個本質上的感覺
- 這是一個變換
- 它是否是線性變換
- 如果這個變換只是涉及到
- 輸入項不同分量的線性組合
- 那麽它很可能是線性變換
- 如果你看到的是
- 不同的分量相乘
- 或者是平方或指數函數
- 你所研究的很用可能就是線性變換
- 有一些函數可能個
- 處於灰色地帶
- 線性組合
- 很有可能是線性變換
- 希望你們對它有一個好的認識
- 這個會引出
- 我認爲是最美的結果
- 這個在下段影片中講