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Linear Transformations as Matrix Vector Products : Showing how ANY linear transformation can be represented as a matrix vector product
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- 假設已知這樣一個n×n矩陣
- 寫出它的一般形式
- 在第一行第一列的元素
- 是1
- 剩下的項
- 第一列中的剩下的n-1行
- 其元素都是0
- 從這一直到第n項
- 都是0
- 然後是第二列
- 第一個分量是0
- 第二個分量是1
- 然後都是0
- 依此類推
- 對於第三行 我還是說第三列吧
- 其實按照行來說同樣適用
- 其第三個分量是1
- 其他的元素都是0
- 本質上 這就是個
- 對角線上元素都爲1的矩陣
- 如果一直寫到第n列
- 或者說第n個行向量
- 其中有一堆的0 直到――
- 直到第n-1個0
- 然後其最後一個分量
- 即第n個分量是1
- 本質上
- 這是一個對角線上元素都爲1的矩陣
- 這個矩陣有很多好的性質
- 我們將來會對其深入研究
- 我現在把它提出
- 是因爲它有一個與線性變整流關的
- 很好的性質
- 我稱這個矩陣爲單位方陣
- 將它記爲In
- 其下角標爲n
- 是因爲它是一個n×n的單位方陣
- I2就是一個2×2的單位方陣
- 就像這樣
- 而I3=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
- 我想你能理解
- 當你將這個單位方陣乘以任何向量時
- 就會發現它的一個很好的性質
- 可以將它乘以一個n維向量
- 即Rn中的一個向量
- 我來做一下
- 如果將這個矩陣乘以――
- 比如說乘以x
- 這是x1 x2 直到xn
- 它等於什麽？
- 這是向量x
- 如果用單位方陣In
- 乘以向量x
- 其中x是Rn中的向量
- 它有n個分量 那麽會得到什麽？
- 會得到1<i>x1+0<i>x2</i></i>
- 加上0<i>x3+0<i>x4 依此類推</i></i>
- 本質上 我要做――
- 你可以將這看作是
- 用這個行向量點乘這個向量
- 於是唯一的非零項
- 就是1<i>x1</i>
- 所以就是x1――
- 抱歉 我這麽來做
- 從而就得到Rn中的另一個向量
- 其第一項就是
- 這個行向量乘以這個行向量
- 結果是x1
- 下面要處理這一行
- 你可以將它看作是
- 這一行點乘這個行向量
- 於是有0<i>x1+1<i>x2</i></i>
- 加上0乘以其余的項
- 唯一的非零項是1<i>x2</i>
- 這裡得到的是x2
- 依此類推地做下去
- 會得到什麽？
- 會得到x3
- 因爲這裡的非零項是第三項
- 然後一直做下去
- 最後得到xn
- 這個向量等於什麽呢？
- 它就是向量x
- 於是我們構造的這個單位方陣的
- 一個很好的性質是
- 當你將它乘以任意一個向量時
- 會得到這個向量本身
- 單位方陣乘以Rn中的任意向量――
- 要求是定義在Rn中的向量――
- 都會得到這個向量本身
- 事實上
- 單位方陣的行向量有一個特殊的――
- 其行向量的集合有一個特殊的名字
- 如果稱第一個行向量爲e1
- 第二個行向量爲e2 第三個行向量爲e3
- 一直到en
- 這些行向量 它們的集合――
- 即e1 e2 直到en――
- 稱它們爲Rn的標準基
- 爲什麽這麽說？
- 這裡提到了“基”這個詞
- 那麽我們可以確定兩件事
- 這些向量一定能張成Rn
- 並且它們一定線性獨立
- 只要仔細觀察一下就能發現
- 它們顯然是線性獨立的
- 如果這個向量的第一個分量是1
- 其他都是0
- 那麽你不可能將這個“1”
- 用其他項的線性組合表出
- 你可以對每個分量中的“1”
- 做相同的討論
- 所以它們是線性獨立的
- 我們看看它是如何張成空間的
- 你可以用這些向量的線性組合
- 構造任何的向量
- 你需要――
- 不論你要構造什麽向量
- 如果要構造x1―― 我這麽來寫
- 如果要構造這個向量――
- 我這麽來寫
- 換一種顏色
- 假設要構造
- 向量[a1,a2,...,an]
- 這是Rn中的一個向量
- 要構造出這個向量
- 能夠表出它的線性組合
- 就是a1<i>e1+a2<i>e2</i></i>
- 一直加到an<i>en</i>
- 這個純量乘以這裡的第一個行向量
- 將會得到――
- 會得到什麽？
- 會得到a1
- 剩下的都是0
- 這裡有n-1個0
- 再加上 第一項是0 然後是a2
- 然後剩下的都是0
- 一直這樣做下去
- 最後一項 前邊全是0
- 最後一項是an
- 顯然 有向量加法的定義
- 將它們加起來
- 就得到這個向量
- 這很顯然
- 因爲這裡這個式子
- 就是單位方陣乘以a1
- 這就是我要闡述的內容
- 現在將學到的線性變換的知識
- 應用到剛剛講過的
- 單位方陣上
- 我剛剛講過
- 我可以這樣表出任何向量
- 我以x的形式將它寫出了
- 我可以將任意向量x
- 寫成標準基的線性組合
- 這些基就是單位方陣的行向量
- 我可以將它寫成x1<i>e1+x2<i>e2</i></i>
- 一直加到xn<i>en</i>
- 注意 這裡的每個行向量
- 比如e1 它的第一個分量是1
- 其他分量都是0
- 而e2的第二個分量是1 其他都是0
- e5的第五個分量是1 其都是0
- 這我剛剛講過
- 這是很容易推出的
- 我們知道
- 由x的線性變換的定義――
- 我這麽來寫
- 向量x的一個線性變換
- 它就是取這個這項的線性變換――
- 我換一種顏色――
- 它等於一個線性變換――
- 我還是不用L了 改用T
- 我是因爲想到了“線性”才用的L
- 如果取x的線性變換
- 因爲這是我們習慣用的記號
- 它就等於
- 取這個東西的線性變換
- 它們是等價的
- 從而x1<i>e1+x2<i>e2</i></i>
- 加到xn<i>en</i>
- 二者是等價的
- 現在有線性變換的定義
- 我們知道 下面兩個表述是相等的
- 即這個和式的變換
- 等於變換的和
- 所以它就等於下面的變換
- 即T(x1<i>e1)+T(x2<i>e2)</i></i>
- 這是任意的線性變換
- 這一點需要澄清
- 這是任意的線性變換
- 由定義可知
- 線性變換滿足這些性質
- 所以有T(x2<i>e2)</i>
- 一直加到
- 變換T(xn<i>en)</i>
- 我們由線性變換的
- 其他性質知道
- 一個向量乘以一個純量 這個整體的變換
- 等於這個純量
- 乘以這個向量的變換
- 這是由線性變換的定義
- 得到的
- 加上x2<i>T(e2)</i>
- 一直加到xn<i>T(en)</i>
- 它等於什麽？
- 我可以將它改寫一下
- 目前我已經做出來所有的東西
- 從而x的變換就等於
- 由線性變換的定義
- 這些式子都是成立的
- 我得到了這一項
- 它等於――
- 如果將這每一項看作行向量
- 它等於什麽？
- 它等於下面的矩陣
- 其中第一列是T(e1)
- 第二列是T(e2)
- 一直到T(en) 再乘以――
- 我這麽來寫―― x1 x2 直到xn
- 我們見過很多次了
- 這個性質的簡潔指出就在於
- 可以從任意的變換出發
- 我剛剛講過x的任意的線性變換
- 可以寫作一個矩陣的乘積
- 其中我對每一個標準基向量
- 取相同的線性變換
- 從而可以構造出這個矩陣
- 並將它乘以向量x
- 它與這個變換是相同的
- 這本質上表明
- 所有的變換――
- 我要仔細一些
- 所有的線性變換 可以寫成矩陣和向量的乘積
- 我不僅說明了我們能夠做到這一點
- 事實上這個過程是相當簡單的
- 這是一個相當簡單的操作
- 我給大家舉個例子
- 我認爲它超簡單
- 假如――
- 我要做一些變換
- 假如已知一個變換
- 這個變換的映射爲――
- 我來使之更有趣一些――
- 假設有R2到R3的變換
- 假設這個變換
- 假設T(x1,x2)等於――
- 假設第一項是x1+3x2
- 第二項是5x2-x1
- 第三項是4x1+x2
- 這是一個映射
- 我可以這麽寫
- 寫成T([x1,x2])
- 等於――
- 也許這有些多余
- 但我想你明白我的意思
- 我更喜歡用這個記號
- 我們有x1+3x2 5x2-x1
- 以及4x1+x2
- 我剛剛寫的這兩個表述
- 是等價的
- 我更喜歡這種形式的表述
- 我剛才講過 可以將這個變換
- 寫成矩陣和向量的乘積
- 怎麽來做呢？
- 我要做的是 做這個家夥的變換
- 定義域是R2
- 映到Rn空間中的向量
- 我所做的是
- 我關心的是
- 這些東西乘以R2中的向量
- 我們要做的是
- 由單位方陣出發
- 取二階單位方陣 因爲定義域是R2
- 它就像這樣[1,0;0,1]
- 要從它出發
- 我所要做的是將變換作用於每一列
- 即作用於每一個標準基
- 這些是R2中的標準基
- 這些是基
- 我怎麽知道它們是標準基的呢？
- 爲什麽稱之爲標準基呢？
- 我還沒有對其進行深入的講解
- 但你可以取這些項中的任何一項
- 與其他任意一項做點積
- 然後會發現它們是相互正交的
- 這些行向量中的任意一個
- 與其他行向量做點積 結果都是0
- 這是一個很好的線索
- 並且它們的長度都是1
- 這就是稱之爲
- 標準基的原因
- 我們回到如何將這個變換
- 表示成矩陣與向量的乘積這個問題上來
- 定義域是R2
- 我們由I2出發
- 可以稱之爲2×2單位方陣
- 將這個變換
- 作用於每一個行向量
- 其中每一個行向量
- 都是R2中的標準基
- 於是我這麽來寫
- 第一列就是T作用於這個行向量
- 第二列就是T([0,1])
- 我寫得有些亂
- T([1,0])是多少？
- 我寫在這
- 我們構造另一個向量
- 得到1+3<i>0=1</i>
- 然後有5<i>0-1=-1</i>
- x2在這裡等於0
- 然後得到4<i>1+0=4</i>
- 這就是T([1,0])
- 那麽T([0,1])是多少？
- T([0,1])等於――
- 我們有0+3<i>1=3</i>
- 然後是0-1=-1
- 我確定一下 我是否做對了
- 這是多少？
- 這是5<i>1-1</i>
- 5<i>0-x1就是1</i>
- 這種情況下 它是5乘以――
- 我要仔細一些
- 這是5<i>x2</i>
- x2等於1
- 所以5<i>1-0=5</i>
- 然後有4<i>0+x2=1</i>
- 我剛剛講過
- 如果用用這些標準基向量的變換
- 代替它們自身 會得到什麽？
- 我會得到這裡的向量
- 我已經求出了它們是多少
- 如果取這一項 並賦值計算
- 就得到向量[1,-1,4]
- 然後這一項是向量[3,5,1]
- 我們剛剛做的是――
- 我覺得這是令人驚訝的
- 我們可以把這個變換
- 寫成任意向量的積
- 如果將它定義爲A
- 或者我可以這麽寫
- 我們可以寫出變換
- [x1,x2]的變換可以寫成
- 這個向量的積
- 我用綠色來寫
- 向量[1,3;-1,5;4,1]
- 乘以輸入向量[x1,x2] 這太酷了
- 我們現在只需要做矩陣的乘法
- 如果我們有計算器的話
- 就可以算得更快
- 我認爲這種表達式很簡潔的
- 我們在這做的是
- 將這個變換
- 作用於2×2矩陣的每一列
- 得到一個3×2矩陣
- 並且我們知道當用這個3×2矩陣
- 乘以R2中的一個向量會得到什麽
- 你可以將它看作一個2×1矩陣
- 從而得到一個R3中的向量
- 因爲你要用這個矩陣的第一行
- 乘以這個向量 從而得到第一項
- 用這個矩陣的第二行乘以這個向量
- 得到第二項
- 用這個矩陣的第三行乘以這個向量
- 得到第三項
- 我們通過構造這個3×2矩陣
- 實際上我們建立了R2到R3的一個映射
- 無論如何 我認爲這種表示特別簡潔
- 我希望 你們覺得這是有益的