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im(T): Image of a Transformation : Showing that the image of a subspace under a transformation is also a subspace. Definition of the image of a Transformation.
相關課程
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- 假設我們有一個集合V
- 這個集合是Rn的子集
- 作爲一個暗示 它意味著什麽呢?
- 它僅僅是一個集合 或Rn上的一個子集
- 如果我取這個子集的兩個元素
- 假設我取了元素a和b
- 它們都是這個次空間的元素
- 基於如下事實 它是一個次空間
- 我們知道 這兩個向量加法
- 或者說a+b 仍然在我們的次空間內
- 所以 它是對加法封閉的
- 基於它是次空間的事實
- 我們知道
- 如果讓次空間的任何元素乘以一個純量
- 事實上 這些東西都是次空間的元素
- 我們知道 如果我取出一個
- 假設是a 我讓它乘以某個純量
- 結果仍然是該次空間的一個元素
- 我們有時稱這是
- 乘法封閉性
- 關於V的另一個略顯多余的聲明是
- 它必須包含零向量
- 這是所有次空間的事實
- 集合V 讓我這樣寫
- 零向量是集合V的一個元素
- 這裡 零向量包含n個元素
- 因爲集合V是Rn的子集
- 爲什麽我說這是多余的呢？
- 因爲 如果我說
- 集合V的元素乘以一個純量仍在V內
- 我可以假定這個純量等於零
- 所以這個聲明
- 某種程度上變成了條件
- 但是在很多教科書上 它仍然被寫了下來
- 零向量必須是集合V的一個元素
- 雖然 對於乘法封閉性來說
- 它是多余的
- 看著很簡單
- 現在 假設我已經有了某個變換T
- 它是一個映射 一個函數 從Rn到Rm
- 在這個影片裏 我想要了解的是
- 這裡有一個次空間 V
- 我想知道
- 是否 關於次空間的變換
- 我們稱這是什麽?
- 不管怎樣 我們叫稱之爲
- 次空間或是子集合的像
- 集合V在變換T下的像
- 上節影片 僅僅是幫助你形象的理解它
- 它將得到什麽 或者我們得到Rn的某個子集
- 看起來像是這樣
- 這是一個三角形 或是像三角形的某個東西
- 它在Rn裏 事實上是在R2裏
- 它是一個三角形 或是看起來像三角形
- 我們用圖案描述它在T下的像
- 我們從R2像到R2
- 由我們的變換
- 它最終看起來像是這樣
- 如果我沒記錯
- 它最終像是一個
- 我記得不是太清
- 但是它像一個三角形
- 它像這樣歪斜 旋轉過的
- 所以它是一個 事實上我認爲它不僅僅是像
- 我認爲它就是這樣
- 它像這樣順時針旋轉了一點
- 並且它是傾斜的
- 但是 上節影片內的詳細內容
- 不是這些問題
- 問題是你能形象化理解
- 變換的像的意義是什麽
- 它意味著 你獲得了R2的某個子集
- 子集的所有向量
- 定義了這裡的這個三角形
- 它是R2的某個子集
- 對它們都做了變換
- 然後得到上域的一個子集
- 你可以稱之爲映射
- 因爲 那個三角形的變換
- 或者我稱它爲s
- 等價於s的變換
- 或者你可以說它是關於什麽的像
- 你可以稱它爲集合s
- 可能它有助於你形象的理解
- 稱它爲三角形在T下的像
- 或者可以用一個更清晰的思路去理解它
- 這個三角形 那個傾斜的、旋轉過的三角形
- 這個是右邊的三角形在T作用下的像
- 我想它可能對你來說
- 更有視覺感一點
- 作爲一點提醒
- 在上節影片 這些三角形
- 這些不是次空間
- 如果你將純量乘以
- 三角形的元素向量中的某一個
- 你會發現
- 它們將不在三角形上
- 所以它不是一個次空間
- 它僅僅是R2的一個子集合
- 並不是所有的子集合都是次空間
- 但是次空間肯定是子集合
- 當然 它可以是自己的子集合
- 我不想偏離得太多
- 這只是幫助你形象地理解
- 映射的意思
- 它意味著 所有的向量都做映射
- 從你的子集合的元素
- 所以 我想知道是否V在T下的像
- 仍然是一個次空間
- 所以 爲了滿足它是一個次空間
- 假設有一個變換
- 讓我們找到關於T的兩個元素
- 顯然 如果我得到了V的某個元素的變換
- 我就得到了這個像的元素
- 對麽?
- 所以我可以寫下
- 顯然 T(a)
- 和T(b)
- 它們都是V在T下的像的元素
- 它們都是這裡的這個東西的元素
- 所以我給你的問題是
- T(a)加上T(b)
- 是什麽?
- 我已經寫下的這些
- 這是V在T下的像的
- 任意兩個元素
- 或者我可以稱它爲T(V)
- 這是兩個任意的元素
- 那麽這些等於什麽呢？
- 好的 從變換的某些性質我們知道
- 線性變換的定義
- 兩個向量的
- 變換的和等於
- 兩個向量的和的變換
- 現在等於a+b的變換
- 它是T(V)的一個元素麽?
- 它是這個像的一個元素麽?
- 好的 a+b是V的一個元素
- 並且 像包含
- V的所有元素的變換
- 所以 像包含這個東西的變換
- 這個東西 a+b是V的一個元素
- 所以 我們是將V的一個元素做變換
- 通過定義
- 它在V的像裏
- 所以這當然是正確的
- 現在 讓我問第二個問題
- 如果我讓一個純量乘以
- V的像的某個元素
- 或者是這裡的T(V)
- 如果我將這個純量 它等於什麽?
- 通過線性變換的定義
- 這等價於
- 純量乘以矩陣的變換
- 現在 它將等於
- V的像的一個元素麽?
- 好的 我們知道ca肯定屬於V 對麽?
- 這由次空間的定義得來
- 它肯定屬於V
- 等等 如果它屬於V
- 它的變換
- 必須在V的像裏
- 所以它在 它也是V的一個元素
- 顯然 你可以讓它等於0
- 零向量是V的一個元素
- 所以 任何變換
- 如果你將0放在這裡 你就會得到零向量
- 所以零向量肯定
- 我不關心這是什麽
- 如果你讓它乘以0
- 你將會得到零向量
- 所以零向量一定是T(V)的一個元素
- 我們得到結論 變換T
- V在T下的像 是一個次空間
- 這是一個很有用的結論
- 這個結論我們很快會用到
- 但是這些 我猜
- 會很自然的引出問題
- 如果我們要
- 至今爲止 我們要處理的事情都是子集
- 以這個三角形爲例
- 或者是次空間 以V爲例
- 但是Rn在變換T下的像是什麽呢?
- 這是Rn在T下的像
- 讓我們想象它的意義是什麽
- 意味著 對Rn的任意向量做變換會得到什麽
- 所有向量的集合呢?
- 當我們讓Rn的所有元素
- 做變換 讓我寫下來
- 它等於 所有的x的變換的集合
- 其中每一個x都是Rn元素
- 所以你取得Rn的所有元素
- 然後變換它們 然後你得到了新的集合
- 這就是Rn在T下的像
- 有兩種方法可以思考這些
- 記得當我們定義 讓我們看看
- T是一個Rn到Rm的映射
- 我們將它定義爲域
- 對於所有可能的變換對象
- 我們將它定義爲上域
- 記得我告訴過你
- 上域是函數定義很關鍵的一部分
- 是變換的關鍵部分
- 並且它是要映射到的空間
- 不必要做
- 所有的映射
- 例如 Rn在變換下的像
- 可能是整個Rm 或者可能它是Rn的某個子集
- 你可以這樣思考它
- 並且我已經在第一節影片談到過它
- 它絕不。。。
- 或者至少我看過的線性代數書
- 沒有提到這些
- 但是你可以將它看作T的值域
- 事實上Rm的元素 由T映射來的
- 如果你求Rn在T下的像
- 你事實上在求
- 假設Rm看起來像這樣
- 顯然 它將是所有方向的
- 假設 當你求
- 讓我把Rn畫在這裡
- 我們知道T是Rn到Rm的映射
- 假設 當你取得Rn的每一個元素
- 並且你將它映射到Rm
- 假設你得到了Rm的某個子集
- 假設你得到了某個像這樣的東西
- 讓我看看能不能更清楚點
- 你逐個的將點映射到這裡
- 它將會是這個東西的某個元素
- 或者 它的某個元素可以被描述爲
- 這裡的某個元素的映射
- 所以如果映射了全部 就得到了這裡的這個子集
- 這個子集是 它是Rn在T下的像
- Rn在T下的像
- 總之
- 你通常不會在線性代數裏看到這些
- 你可以認爲它是值域
- T的值域
- 現在它有一個特殊的名字
- 它被稱爲 我不想讓你混淆
- 它被稱爲關於T的像
- 關於T的像
- 它將有一點混亂 T的像
- 它有時候被寫作 im(T)
- 現在 你在這裡會有點困惑 你可能
- 在我們討論子集之前
- 我們可以稱這個爲子集R在T下的像
- 這是正確的術語
- 當你處理子集時
- 出乎意料地
- 這整個n維空間
- 你會得到這個像
- 我們稱它爲實際變換的像
- 也可以稱這裡的這個集合是關於T的像
- 現在關於T的像是什麽?
- 我們知道 我們可以
- 這是逐個的
- T是Rn到Rm的變換
- 我們可以寫T(x)
- 我們可以像這樣寫任何線性變換
- 它等價於某個矩陣
- 某個m×n矩陣乘以一個向量
- 這個向量顯然是Rn的元素
- 乘以整個Rn
- 這是什麽?
- 這個像是什麽
- 讓我用不同的方法寫下它
- Rn在T下的像是什麽
- 我可以把它寫作T
- 這我這樣寫它
- 我可以把它寫作T(Rn)
- 它和T的像是同一件事
- 注意 我們不再說在什麽變換作用下
- 因爲現在說
- 實際變換的像
- 我們也可以寫作im(T)
- 這些又等於什麽呢?
- 它等於
- 所有x的變換組成的集合
- 所有x的變換將會是
- Ax 其中x是Rn的一個元素
- 所以x將會是一個n元向量
- 它的每一個元素都是一個實數
- 那麽這是什麽呢?
- 如果寫下A 讓我把A寫下來
- 它剛好是一串行向量 a1 a2
- 它將有n個行向量 對麽?
- 因爲它有n個行向量
- 所以A乘以任意一個x將會是
- 如果讓它乘以任意一個x
- 它是Rn的一個元素
- 我乘以x1 x2 一直到xn
- 我們已經看到過這些 看到過多次
- 它等於x1 純量x1<i>a1</i>
- 加上x2<i>a2 一直到加上xn<i>an</i></i>
- 我們說 想要得到所有的這些
- 這些行向量的和
- 其中x可以是Rn中的任何向量
- 它的意思是
- x的元素可以取任意的實數值
- 所以這些的集合本質上是
- 所有a的行向量的線性組合 對麽?
- 因爲我可以讓這些東西等於任意值
- 那麽它等於什麽呢?
- 它等於 我們談到過這些
- 或者我麽討論過這些
- 當我們介紹這種思想時
- 它等於A的列空間
- 我們有時將它表示爲C(A)
- 這是一個很好的結果
- 如果你要求得 這是顯而易見的
- 我的意思是 這只是我玩的一點點文字遊戲
- 但是任意的線性變換都可以被描述爲
- 一個矩陣和向量的乘積
- 所以任意線性變換的像
- 它是它的上域的子集
- 當你將它的域的所有元素像映射到
- 它的上域
- 這是這個變換的像
- 它等價於矩陣的列空間
- 這就是這個變換可以描述的形式
- 並且這個列空間 當然
- 是矩陣的所有行向量的展成空間
- 它剛好是所有的線性組合
- 或者說是關於你的行向量的展成空間
- 我們在這裡寫的
- 總之希望你發現這有趣一點
- 並且你將會在將來
- 用到這個結論