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Image of a subset under a transformation : Exploring what happens to a subset of the domain under a transformation
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- 假設已知三個R2中的位置向量
- 我來向右移動一下
- 假設第一個位置向量是x0
- 它等於[-2,-2]
- 如果要畫出x0的圖像
- 就要畫出[-2,-2]
- x0就像這樣
- 下一個位置向量是x1
- 假設它等於[-2,2]
- 我把[-2,2]畫在這
- 這就是第二個位置向量
- 即x1
- 當我指明它是位置向量時
- 它表示R2中的特定的坐標
- 我再畫出第三個位置向量x2
- 假設它等於[2,-2]
- 我把它畫出來
- 它在這裡
- 這個向量就是x2
- 現在我好奇的是
- 不是好奇
- 我現在要做的是定義
- 連接這些點的線段
- 對於第一個線段
- 我稱其爲L1 還是叫L0吧
- 我令它爲連接點x0
- 和x1的線段
- 我應該如何構造它呢？
- 我在這構造這條線段
- 我換種顏色來做
- 用橘黃色 這是L0
- 我要做的是找到
- 所有這些值構成的集合
- 所有的由位置向量定義的
- 這條直線上的點
- 我們可以將它定義爲……
- 我們可以從x0出發
- 我們知道橘黃色的線等於
- x0加上x1-x0的倍數
- 如果取x1-x0
- 就得到這個向量
- 它是x1-x0
- 就是這個橘黃色的向量
- 我寫在這裡 它有些看不清
- 如果僅取x1-x0就得到它
- 這是有意義的
- x0加上這橘黃色的向量 等於這個藍色的向量
- 所以如果取這個向量的不同的倍數
- 就會得到
- 這個方向上的不同的點
- 我們從x0出發 我要用綠色的來寫
- 從x0出發 然後加上
- 這個橘黃色向量的倍數
- 橘黃色的向量即使x1-x0
- 我寫出來
- 加上x1-x0的倍數
- 還要加一些限制條件
- 如果要保持在這個線段上
- 我們要限制Rt
- 如果t是實數
- 如果它是任意實數
- 那麽本質上 我們就定義了
- 這個整個豎直線段的集合
- 它直上直下
- 延伸到無窮遠
- 而我們指向將它限制在從這裡開始
- 一直向上到這
- 它不必有其他的方向
- 我們可以說這是成立的
- 這裡的這條線段是成立的 對於t――
- 我這麽來寫
- t大於等於0
- 當t=0時 這項消去了
- 我們只剩下這一點或者說這個位置向量
- 我用綠色的來寫
- 我們知道它的位置
- 並且要求t少於等於1
- 當t=1時會怎麽樣？
- 當t=1時 這項就是x1-x0
- 已知這個x0
- 這個x0和這個x0消去了
- 就得到了這個點
- 當t=1/2時
- 我要確定大家能夠理解
- 會怎麽樣？
- 已知x1-x0
- 就是這個橘黃色的向量
- 當t=1/2時 本質上就是
- 取這個橘黃色向量的一半
- 最後得到這個點
- 就是你要得到的這個點
- 我們想要的是這個線段的一半
- 而當t=0.25時 就得到這一點
- 當t=0.75時 就得到這一點
- 所以t可以取到0到1之間的
- 任意實數
- 從而得到的點
- 都在這部分線段上
- 這就是L0
- 它是一個向量的集合
- 我們可以通過同樣的方法
- 得到這條直線
- 這條直線的方程
- 即x1和x2之間的這條線
- 如果要求出這條直線的方程
- 我稱之爲L1
- L1就等於x1+t(x2-x1)
- 限制條件爲t大於等於0
- 且少於等於t
- 這是L1
- 最後
- 如果要構成一個三角形
- 我們來定義這條直線
- 我們來定義L2
- L2是所有滿足下述條件的向量集合
- 即從x2出發
- 這個集合由x2加上
- x0-x2的倍數構成
- x0-x2就是這個向量
- 從而有x0-x2
- 其中t大於等於0 少於等於1
- 如果取這個組合
- 如果定義了一個母集（相對於子集）
- 我可以將三角形區域定義爲――
- 它是這些家夥的並構成的集合
- 我寫出來
- 它包含L0 L1 L2
- 然後就得到這個三角形
- 如果取這三個集合的並
- 就能得到這個三角形
- 下面我要做的是
- 我想這對於你來說 是一種複習
- 但是我們需要用另外一種方式
- 來考慮過去學過的內容
- 我要做的是弄清楚
- 當進行線性變換時
- 這個集合是怎麽變化的
- 我來定義一個變換
- 我要定義一個簡單的變換
- 定義關於任意x的變換
- 等於矩陣[1,-1;2,0]
- 乘以任意向量x
- 即乘以[x1,x2]
- 我們知道任何線性變換
- 都可以寫成一個矩陣 反之亦然
- 於是你可能會說
- 你用矩陣的形式給出了例子
- 還有沒有其他的方式
- 來表示這個變換？
- 你可以把它們都寫成矩陣的形式
- 我們試著求出
- 它是什麽樣的
- 當用變換作用於三角形的每個點時
- 這個三角形會變成什麽樣
- 我先來做變換
- L0的變換等於
- 這個東西的變換
- 這只是關於一個特殊值的情況
- 對於一個特殊的t
- 這是L0中一個特定的成員
- 它等於
- 式x0-t(x1-x0)的
- 變換―― 抱歉
- 這是-t(x1-x0)
- 是小寫的t 不是代表變換的T
- 滿足條件t大於等於0
- 且t少於等於1
- 我換一種顏色
- 由線性變換的性質
- 它等於變換――
- 我把括號打開――
- 就是x0的變換
- 減去t(x1-x0)的變換
- 對於t屬於區間[0,1]
- 後面這個限制條件再說 就顯得累贅了
- 然後 它等於什麽？
- 如果取這個
- 加倍的向量的變換
- 它就等於先取這個向量的變換 再加倍
- 所以它等於這部分
- 即x0的變換減去
- 常數倍t
- 乘以向量x1-x0的變換
- 我要確定括號的位置都是正確的
- 滿足條件t少於等於0
- 且t大於等於1
- 我們知道 兩個向量的和的變換
- 等於它們各自變換的和
- 我們之前學過了
- 從而第一條直線的變換――
- 就是這個――L0的變換 等於集合
- x0的變換
- 減去t乘以
- x1的變換減去x0的變換
- 我們已經處理了第一條直線
- 這裡還有個括號
- 其中t大於等於0 少於等於1
- 這個結果相當簡潔
- 它使我們的工作變得簡單
- 從x0到x1的這條線段的
- 變換
- 最後成爲
- x0的變換
- 與x1的變換的組合
- 我要說明一下
- x0的變換時什麽？
- 我們計算一下
- x0是[-2,-2]
- 我來寫出x0的變換
- 於是x0的變換就等於――
- 我寫出來
- 這樣就不會出錯
- 它等於[1,2;-1,0]乘以[-2,-2]
- 這等於什麽？
- 1乘以-2 減去――
- 它等於1<i>(-2)-(-1)<i>(-2)</i></i>
- (-1)<i>(-2)結果是2</i>
- 從而-2+2
- 結果是0
- 然後有2<i>(-2)=-4</i>
- 首先是2<i>(-4)</i>
- 然後加上0乘以 這是-4
- 所以這就是x0的變換
- 我來作圖
- 這是0-4
- 對於向量x0
- 這就是x0的變換
- 從而我們的變換就將
- 這個向量與下面這個向量聯係起來
- 就是指向下方的這個向量
- 現在來取其他向量的
- 變換
- 取x1的變換
- 我在這做
- 我快沒地方了
- x1的變換等於
- 矩陣[1,2;-1,0]乘以[-2,2]
- 它等於什麽？
- 它等於 1<i>(-2)+(-1)<i>2</i></i>
- 等於-4
- 然後2<i>(-2)=4</i>
- 加上0
- 從而就得[-4,4]
- 於是x1的變換後就是[-4,-4]
- x1就像這樣
- x1的變換就是R2中的這個向量
- 我們的變換是從R2映到R2的
- 這就是我能將它們都畫在
- 這個笛卡爾坐標中的原因
- 還剩一個沒有處理
- 我們來計算x2的變換
- x2的變換等於
- 變換矩陣
- [1,2;-1,0]乘以[2,-2]
- 它等於 1<i>2=2</i>
- 加上(-1)<i>(-2)</i>
- 就是2+2=4
- 然後有2<i>2=4</i>
- 加上0<i>(-2)</i>
- 得到[4,4]
- 從而x2變換後得[4,4]
- 就是這個點
- [4,4]這個點
- 所以x2的變換就是這個向量
- 現在我們能夠取三角形的
- 每一個頂點的變換
- 但是還不知道
- 變換是如何作用於
- 所有這些――
- 這些三角形的邊
- 我們可以進行一些數學運算
- 以第一條邊爲例
- 這裡只處理L0
- 使用線性變換的性質
- 實際上是線性變換的定義
- 我們能夠發現L0的變換
- 也就是這條豎直的線
- 它變換後就得到下述直線
- 從x0的變換出發
- 這個點由這個向量確定
- 然後加上x1的變換減去x0的
- 變換的整體的倍數
- x1的變換減去x0的變換
- 等於什麽？
- x1的變換就是這個向量
- x0的變換時這個向量
- 所以這一整項
- 就是這個向量減去這個向量
- 或者說就是這個向量
- 就這這個向量
- 本質上 我們有……
- 我們用了與影片的第一步分中
- 相同的定義
- 它與這條線段相同
- 這條線段將
- 這個點和這個點聯接起來
- 我們取二者之差
- 然後將它乘以
- 0到1之間的倍數
- 從而L0的變換實際上
- 就是變換――
- 就是兩個端點的變換
- 之間的這條直線
- 這是個相當簡潔的結果
- 它使得我們的工作變得簡單
- 根據同樣的道理
- L1的變換是多少？
- L1在點x1和x2之間
- 它在這兩個點之間
- 這是L1
- 用同樣的方法
- 我們可以重覆上述過程
- 它適用於任何直線
- 我只做理論上的說明
- L1的變換會是
- 將這兩個頂點的變換聯接起來的直線
- 所以它就是將
- x1的變換與x2的變換聯係起來的直線
- 我把它標在這
- 這是L1的變換
- 這是L0的變換
- 最後 L2的變換是多少？
- L2將點x2和x0連接起來
- 這就是L2
- 通過使用相同的方法
- 可以得到它的變換
- 就是將兩個點的變換連接起來的直線
- 所以說L2的變換將會等於
- 將x2的變換和x0的變換
- 連接起來的直線
- 它將會是這條直線
- 這個就是L2的變換
- 如果我們將整個三角形
- 定義成它們的結合 那麽它的變換……
- 從而這個變換之後的圖形
- 就是這個斜的三角形
- 我像現在你大概會明白
- 爲什麽它在計算機圖像
- 以及遊戲開發中這麽有用了
- 因爲當你從不同角度看物體時
- 會發現它們可能會是斜著的
- 但是通過這個變換
- 我們能夠把這個集合
- 或者說是向量 或是位置――
- 或者形狀
- 它由向量集合所決定
- 我們能夠將它變成R2中特定的形狀
- 這是由不同向量構成的集合所確定的
- 這個影片中的簡便之處在於
- 你不必個別地指出
- 這裡這個點經過變換之後
- 對應到這裡的哪個點
- 你只需指明端點在哪裏即可
- 求出它們的變換
- 將變換後的點按原來的順序連接起來
- 這就是其簡便之處
- 當你從一個集合變換到
- 另一個集合時
- 有些相關的術語
- 比如說L0的變換
- L0是由這條直線
- 所指定的集合
- L0的變換 就是這個集合
- 它是一個向量集―― 抱歉
- L0是這個集合
- 它是值域中
- 表示這些點的集合
- 稱之爲L0在變換T下的像
- 這麽命名是有道理的
- 爲什麽要稱之爲“像”？
- 因爲T作用於這個L0
- 使之變形
- 或者說在值域中生成了一個新的像
- 它作用於定義域中的一個集合
- 並在值域中
- 産生一個新的像
- 我們可以說
- 這個圖形的變換
- 我在上面定義了整個圖形的集合
- 就是整個這個三角形
- 它的像……
- 它變成了紫色的這個三角形
- 它就是S在T下的像
- 希望你能發現其中的樂趣
- 這是十分有用的知識
- 如果你想成爲一個3D程序員的話
- 在下次影片中 我們將會探索
- 當S不再是定義域中的一個子集的情況
- 目前我們所處理的問題――
- L0 L1 L2 或者整個的三角形
- 這些都是Rn中的子集
- 下次影片我們將討論
- 對整個Rn作用變換的情況