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Lin Alg: A Projection onto a Subspace is a Linear Transforma : Showing that a projection onto a subspace is a linear transformation
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- 我們已經定義了次空間上的投影
- 當我還沒有證明
- 它就是一個線性變換
- 也沒有證明
- 如果已知次空間的一組基
- 如何來求次空間上的投影
- 我們看看是否能有所進展
- 假設已知某個次空間
- 假設V是Rn的一個次空間
- 又已知V的一些基向量
- 假設這就是基向量
- 包括b1 b2 總共有k個
- 我不知道V的維數
- 我們假設是k維
- 共有k個基向量 它們是V的一組基
- 這意味著任何向量―― 這不是向量v
- 而是次空間V―― 這意味著任何向量――
- 我來舉出幾個向量
- 比如說任何屬於次空間的
- 向量a可以被表出
- 就是說向量a可以被表成
- 這些家夥的線性組合
- 我來寫出這個線性組合
- 比如說是
- y1<i>b1加上y2<i>b2</i></i>
- 一直加到yk<i>bk</i>
- 這是基的定義
- 它們張成的空間是次空間V
- 所以V中的任何向量可以表成
- 基向量的線性組合
- 如果要構建一個矩陣――
- 比如說是n×k矩陣――
- 其每一列本質上
- 是次空間的基向量
- 從而A就像這樣
- 其第一列是第一個基向量
- 第二列是第二個基向量
- 一直到第k列
- 總共有k列
- 從而有k個基向量
- 如果這k個基向量――
- 我要是兩個括號的
- 顏色保持一致
- 就像這樣―― 總共有n行
- 因爲這些基向量都屬於Rn
- 注意 V是Rn的次空間
- 所以每一個都有n項
- 從而這個矩陣有n行
- 現在我們知道次空間V中的任何向量
- 都可以表成基向量的
- 線性組合
- 這等價於對於任何向量
- 對於次空間V中的任何向量a
- 可以表示成用矩陣A
- 點乘某個向量y
- 結果等於a
- 對於Rn中的某個元素Rk
- 爲什麽這兩個敘述是等價的呢？
- 你可以想象
- 如果將這項
- 乘以Rk中的某個向量y
- 即[y1,y2,...,yk]
- 這就等於y1<i>v1+y2<i>v2</i></i>
- 加到yk<i>vk</i>
- 它與這個式子是相同的
- 你總可以選擇合適的線性變換
- 選擇合適的yk
- 從而就可以取
- 關於基向量的合適的變換
- 來得到次空間V中的任何向量
- 對於次空間中的任何向量
- 它都可以表成
- 矩陣A與Rk中某個向量的點積
- 對於這個Rk中的向量 我們知道的不多
- 這個投影――
- x是Rn中的任意向量――
- x在次空間V中的投影
- 由定義可知
- 它屬於次空間
- 另一種表達方式是
- x在V中的投影
- 等於矩陣A乘以……
- 它等於―― 我用藍色的來寫――
- 等於A乘以某個向量y
- 或者說Rk中的向量y
- 如果我們知道向量y是多少
- 如果我們總能求出它
- 那麽我們就得到了一個公式
- 它能求出x在V中的投影
- 但我們還沒有求出來
- 我所講的是 V中的任何向量都可以表成
- 矩陣A點乘……
- 它的列是V的一組基
- 點乘Rk中的某個向量
- 這都因爲這些向量張成空間V這個事實
- V中的任何向量
- 都是這些向量的線性組合
- 我們知道x在V中的投影
- 屬於次空間V
- 它在V的內部
- 所以它也可以這麽來表示
- 投影的定義是什麽？
- 投影的定義是――
- 我這麽來寫
- 我們知道x可以表示成
- x在V上的投影
- 加上V⊥中的某個向量
- 我也可以寫成
- 加上它在V⊥中的投影
- 可以這麽來寫
- 我也可以將它寫成w
- 其中w屬於V的正交補
- 我還是這麽來寫
- 這樣會簡單一些
- 我不想引入這麽多投影――
- 加上w
- 其中w屬於V的正交補
- 你也可以這麽說
- 如果兩邊同時減去x在V中的投影
- 就得到x減去x在V中的投影
- 等於w
- 或者說這一項
- 就屬於
- V的正交補
- 因爲這項就等於w
- 那麽V的正交補是多少呢？
- 我們回到這個矩陣
- 已知這些基向量
- 這些是行向量
- A的列空間
- 就等於V 對嗎？
- A的列空間
- 就是這些向量張成的空間
- 由定義
- 它就等於次空間V
- 那麽V的正交補是多少呢？
- V的正交補就是
- 列空間的正交補
- 而列空間的正交補是多少呢？
- 它就是A'的零核空間
- 也可以說是A的左零核空間
- 我們在幾節課之前學過
- 從而有x減去x在V中的投影
- 結果屬於―― 我這麽來寫――
- x減去x在V中的投影
- 屬於矩陣的列空間的
- 正交補
- 也就等於A'的零核空間
- 這是V的正交補
- 這項等價於V的正交補
- 這意味著什麽？
- 這一項意味著什麽？
- 它表明如果取A'
- 並將它乘以這個向量
- 因爲它屬於A'的零核空間
- 所以如果將它乘以這個向量――
- 從而x在V中的投影―― 我會得到0
- 我將會得到0向量
- 這是由零核空間的定義得到的
- 我把它寫出來
- 我們看看是否可以
- 做代數上的處理
- 如果把括號打開
- 就得到A'x
- 減去A'乘以――
- 我們可以這麽寫
- 我們不寫成x在V中的投影
- 我們在之前是怎麽講的？
- 我講過x在V中的投影可以表成
- 矩陣A乘以
- Rk中的向量y
- 這是本次課開始時所講的
- 我這麽來寫
- 因爲我要使
- 工作簡單一些
- 我把括號打開
- 得到A'x
- 然後是減去
- A'乘以這一項
- 我可以將這項寫成Ay
- 這是由於
- 投影屬於次空間
- 因爲它屬於次空間
- 所以它可以表示成
- A的行向量的線性組合
- 我們在上面講過
- 它可以表示成這種形式
- 我們不寫成x在V中的投影
- 而是寫成Ay
- 這兩中表達是等價的
- 因爲這項屬於V
- 然後等號右端是0
- 如果將等式兩邊加上這一項
- 就得到A'x=A'Ay
- 這很有趣
- 注意我們之前這裡講的
- 我講過x在V中的投影等於Ay
- 其中y屬於Rk
- 如果知道y是多少
- 如果總可以解出y
- 那麽x的投影就能被界定
- 我們總可以求出來
- 我們能解出這個y嗎？
- 如果可以求出這個逆方陣
- 那麽就能解出y
- 如果這個矩陣是可逆的
- 那麽我們總能夠解出y
- 因爲我們只需取這個逆方陣
- 並用它左乘
- 等式的兩邊
- 如果你還記得
- 我想應該是三節課之前
- 我講了如果已知一個矩陣A
- 其行向量是線性獨立的
- 那麽A'A總是可逆的
- 我當時那樣做
- 就是爲了這裡能夠用到
- 對於本題中的矩陣A呢？
- 這個矩陣A的行向量
- 構成了次空間的基
- 由定義 基向量是線性獨立的
- 如果矩陣A
- 有線性獨立的行向量
- 如果你學過那個影片
- 如果你相信我所講的
- 那麽就有A'A 在本題中
- 它是可逆的
- 它是可逆的
- 我們來取其逆
- 並用它乘以等式兩邊
- 如果取A'A的逆――
- 我們知道它是存在的
- 因爲A有線性獨立的行向量――
- 用它乘以等式左邊
- 即乘以A'x
- 然後對於等式右邊――
- 做同樣的工作――
- 用A'A的逆
- 乘以這項 即A'Ay
- 對於這兩項相乘
- 當你用一個逆方陣
- 乘以這個矩陣本身的時候
- 得到的就是單位方陣
- 所以這就等於單位方陣
- 並且單位方陣乘以y就等於y
- 從而得到―― 這是一個向量――
- 我將等式左右調換一下順序
- 得到y等於這個表達式
- 即A'A的逆 這總是存在的
- 乘以A'x
- 我們講過x在V中的投影
- 等於Ay
- 我們剛剛通過投影的定義
- 解出了y
- 我們能夠解出y
- 現在我們可以將x在V中的投影
- 定義爲矩陣和向量的乘積
- 從而有x在V中的投影
- 等於Ay
- 並且y就等於這個式子
- 從而有A乘以A'A的逆――
- 這總是存在的
- 因爲A有線性獨立的行向量――
- 再乘以A'x
- 這一長串式子
- 它是一個矩陣
- 對於任何有基向量的次空間
- 這個矩陣都存在
- 我們能夠
- 用矩陣和向量之積
- 來表示x在一個次空間上的投影
- 任何能夠表示成矩陣和向量之積的變換
- 是一個線性變換
- 我們不僅說明了
- 這是一個線性變換
- 還說明了
- 如果已知V的基向量
- 我令這些行向量都等於
- 某個矩陣A的行向量
- 如果取矩陣A 並取其轉置
- 如果取A'A 再求其逆矩陣
- 再將它們像這樣乘起來
- 就會得到
- 關於投影的變換矩陣
- 這看起來有些複雜
- 對於很多投影 很難用筆算得出結果
- 但這是十分有用的
- 如果你要做一些
- 三維圖像處理
- 假設有一個三維物體
- 你想知道它從不同的角度觀察
- 是什麽樣的
- 假設有一些觀察點
- 這些觀察的角度
- 本質上就是某個次空間
- 你想看看
- 這個物體在這個次空間上的投影
- 對於在屏幕上的觀察者
- 物體會是什麽樣的
- 那個物體從這個角度觀察是什麽樣的？
- 如果能知道這個次空間的基
- 那麽就可以應用這個變換
- 你可以針對這個觀察點取一個矩陣
- 使其行向量是這些基向量
- 然後將其應用於
- 這個物體中的每一個向量
- 你就會確切地知道
- 這個物體從這個角度觀察是什麽樣的
- 這是一個非常有用的結果