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Lin Alg: Changing coordinate systems to help find a transformation matrix : Changing our coordinate system to find the transformation matrix with respect to standard coordinates
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- 假設在R2中
- 我把它畫出來
- 我來畫出垂直坐標軸 像這樣
- 再畫出水平坐標軸
- 像這樣
- 假設這個向量是[1 2]
- 這個向量是這樣的 水平方向是1 垂直方向是2
- 向量就是這樣的
- 我來畫出來
- 這就是我們畫的向量
- 向量[1 2]
- 我想觀察一下
- 這個向量生成的直線
- 我來定義一條直線L
- 它等於t<i>(1,2)</i>
- 其中t是任意的實數
- 因此這是一條斜率是2的直線
- 每次在水平方向移動1 垂直方向就擧升2
- 我這樣畫出來
- 在這一點上毫無新的知識
- 我畫好點
- 就像這樣
- 它繼續延伸 因爲顯然
- 你可以做這個向量的負數倍
- 這裡也有
- 來看所有這些點
- 它們在這個向量按比例增大
- 或者減小或者負比例的向量上
- 如果你在標準座標係中畫出所有這些向量
- 你就可以得到這條直線上所有的點
- 這就是我們要畫的直線
- 我想構建一個線性變換
- 它在這條直線周圍做反射
- 例如 如果我有一個這樣的向量
- 我把它畫出來
- 假設我有一個向量
- 它對應於這個點
- 我們稱之爲向量x
- 我想讓T(x)是
- x關於這條直線的反射
- 如果向量的方向是這樣的
- 我希望它就是我們的變換
- 我希望它就是T(x)
- 因此 它應該是這樣的
- 我來舉另一個例子
- 假設我有這個向量
- 給你們一個特殊的向量
- 假設有一個向量 它和我這條直線是垂直的
- 我有一個向量 我們稱之爲v1
- 我想想 和這條直線是垂直的
- 我可以把這兩項交換
- 然後令其中一個是負的
- 向量[2 -1]
- 我有這個向量
- 它看起來和這條直線是垂直的
- 因此 如果我有一個向量v2 還是叫它v1
- v1是等於[2 -1]
- 它看起來是垂直的
- 即使你對它們做點乘
- 2<i>1加上(-1)<i>2</i></i>
- 結果還是0
- 很顯然 它和這個生成向量是垂直的
- 因此顯然 它和我們直線上的每一個點都是垂直的
- 如果我對這個向量
- 做變換
- 我只是將它關於這條直線做翻轉
- 我來把它畫出來
- 它等於--
- 它是這樣的
- 我用綠色的顏色畫出來
- 因此要求出這個向量的變換
- 我只需將它沿這條直線翻轉
- 我在尋找沿直線L的反射
- 它等於T(v1)
- 它等於---
- 我們不知道它真實的變換矩陣是什麽
- 它實際上就是我們這節課的主題
- 如果你只看
- 這個T(v1)
- 它等於這個向量的-1倍
- 就等於[-2 1]
- 我想來定義這個變換
- 我希望這個變換
- 是從R2到R2的
- 這是一個反射
- 因此向量x的變換T(x)
- 等於x的反射
- 無論你怎麽來表述
- 關於直線L的反射
- 在以前
- 如果我們想計算出變換矩陣
- 我們知道這是一個線性變換
- 我們不需要驗證所有的點
- 來證明它是一個線性變換
- 在以前 如果我們想
- 求一個線性變換的變換矩陣
- 假設
- T(x)等於某個2×2矩陣乘x
- 因爲它是一個從R2到R2的映射
- 爲了求出A
- 我們知道A是等於把變換T作用於
- 標準基底向量
- 因此就是T([1 0])
- 第二列
- 是T([0 1])
- 如果我們是在Rn範圍中研究 我們會做n次
- 我們會得到n個基底向量
- 我們見過很多次
- 在以前
- 如果我們去構造變換矩陣
- 你會發現過程很簡單
- 但是現在你會看到這個例子並不簡單
- 如果我有向量[1 0]
- 尋找這個變換 如果我把它翻轉
- 它就會變成這樣
- 如果我精通幾何學和三角學的知識
- 我就可以很好的完成它
- 我實際上可以把它計算出來
- 可以把它計算出來
- 如果我把[0 1]翻轉過來
- 它就變成了這樣的
- 我們可以把它計算出來 但這個並不簡單
- 我把它寫下來
- 這並不簡單
- 我想至少…
- 我的意思是 如果我們非做不可的
- 但是如果存在更簡單的方法
- 我至少應該知道這種方法
- 你可能已經意識到我要說什麽了
- 我們一直講的都是替補座標係
- 這個變換
- 在標準座標係中很難研究
- 因爲我們是關於這條直線做反射
- 倘若我定義一個座標係
- 使得其中關於反射的直線更加自然呢？
- 你可能已經看到了一個有趣的座標係
- 假如我有一個座標係
- 其中v1是其中一個基底向量
- [1 2]是另一個基底向量
- 你忽然發現 至少在這個座標係中
- 反射不再是圍繞這個斜線了
- 反射變成了
- 圍繞第二個坐標軸
- 它看起來是一個更加自然的變換
- 這又引出了一個很有意思的東西
- 我們來複習一下
- 前幾節影片中講的知識
- 在前幾節影片中 我們可以說
- 在標準座標係中
- 用A乘它
- 你就會得到T(x)
- 我們已經見了很多次
- 這是在標準座標係中
- 我們也知道
- 我們可以變換座標係
- 我們可以選擇
- 關於其他基底的座標係
- 我們可以用x乘以C的逆
- 然後我們就能得到
- 關於其他基底的x的坐標表示
- 然後我們可以用它乘以其它某個矩陣D
- 我們已經知道 我把它寫出來
- D是等於C的逆乘A乘C
- 這些我們再前兩三個節影片中講過
- 其中C就是基底變換矩陣
- C是這些新的基底向量作爲列
- 組成的矩陣
- C逆很顯然就是它的逆
- 我們可以利用D
- 如果我們用D乘以[x]B
- 如果我們用D乘以[x]B
- 我們就能得到
- B座標係中的T(x)
- 也就是[T(x)]B
- 然後我們知道
- 這兩者之間我們可以互相變換
- 如果往這邊變換你可以乘C逆
- 如果往那邊變換 你可以乘C
- 我們在前幾節影片都見到過
- 在這個我們要處理的特殊的例子中
- 我想求出A
- 我剛才用了一種很難理解的詞語
- 來定義這個變換
- 我在文字上已經定義過了
- 但是我想求出
- 這個標準基底下的變換矩陣
- 我剛才也告訴你了這並不簡單
- 我們必須擺脫幾何學和三角學
- 來計算出 當圍繞著向量[1 2]生成的直線做反射時
- [1 0]變換成了什麽？
- 這並不簡單
- 但是假如我改變了基底呢？
- 我換了一個新的基底會怎樣？
- 定義一個新的基底
- 它的生成向量或者說是基底向量是
- 向量[2 1]和向量[1 2]
- 你可以把它看成是新的水平坐標軸
- 很顯然 它並不是水平的
- 但是如果你用這種方式來想的話
- 它確實類似這樣
- 我們新的垂直坐標軸是這樣的
- 在這個座標係中 我們要做的變換是
- 環繞這個新的垂直軸做的反射
- 也許很容易找到D
- 因爲在這個座標係中
- 這個是一個更簡單的變換
- 如果我們可以找到D 那麽我們就能求出A
- 我們以前見過
- A是等於C<i>D<i>C逆</i></i>
- 我在前幾節影片中給你們證明過
- 尋找D是不是更簡單了
- 我們來做一個小試驗
- 我們給這些向量標號
- 這是基底向量
- 稱它爲v1
- 這和我在這裡用的標號是一樣的
- 這個我們在做反射變換時
- 圍繞的生成向量
- 我們稱之爲v2
- 因此我們新的座標係
- 基底是v1和v2
- v1在這個新的基底中是怎樣表示的？
- 記住 當你轉移到一個新的基底時
- 它所包含的意思就是你的坐標是多少？
- 第一個坐標等於--
- 你需要多少第一個基底向量
- 來線性表示v1
- 以及多少第二個基底向量
- v1等於1<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 我的意思是說 如果我想的話 我可以找到C逆
- 並和它相乘
- 但是尋找基底向量的線性組合來得到v1
- 這種方法幾乎是最簡單的了
- 這不是幾乎最簡單的 而是最簡單的
- v1等於1<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 在基底B中的坐標
- 等於1<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 很簡單
- 那麽D等於多少？
- 我來想想
- 我之所以想先求出D
- 是因爲如果我能求出D
- 那麽我就可以利用這個公式來計算出A
- D是等於…
- 它是一個2×2的矩陣
- 它是從R2映射到R2
- 這仍然是一個二維空間
- 它會在二維空間中做映射
- 假設D有兩個行向量
- d1和d2 像這樣
- D乘它等於多少？
- 我來這樣寫出來
- 我來往下滾動一點
- 我想讓你們看到這一塊
- D乘上第一個基底向量在B座標係中的坐標
- 就等於d1 d2
- 它們是D的兩列
- [d1 d2]<i>[x]B 對吧</i>
- 它是[1 0]
- 等於多少？
- 結果等於
- 這兩列的線性組合
- 它等於1<i>d1+0<i>d2</i></i>
- 也就是d1 也就是這個矩陣的第一列
- 它也等於多少？
- 如果我用D乘以[x]B
- 我剛好得到了在B座標係中
- T(x)的表示
- 因此 它等於
- 是[T(v1)]B
- 如果這裡是v1而不是x
- B座標係中的v1乘以D就等於
- B座標係中的T(x)
- 或者說是關於B的坐標
- 就是這個式子
- 這個式子中有很多有趣的東西
- 我得到了第一列
- 它是這樣得到的
- 即D乘以這項等於這項
- 我們計算出了D的第一列
- 因爲如果你用它乘以[1 0]
- 這個坐標是第一個基底向量
- 在其自身的基底中的表示
- 並且你會看到 一般而言
- 當你在其自身基底中表示這些基底向量時
- 它們都像是這個新的座標係中的
- 標準基向量
- 因此當你在新的基底下
- 表示[2 1]時
- 當然它是等於1乘以這個加上0乘以這個
- 所以它的坐標就是[1 0]
- 如果我們想在新基底中表示v2
- 會是什麽樣的呢？
- 它等於0乘以這個 加上1乘以這個
- 是0<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 因此 它的坐標就是[0 1]
- 你將會看到在一般情形下這也是成立的
- 當你思考它時
- 你會感覺這是很顯然的
- 第一個基底向量是等於
- 1乘以第一個基底向量
- 加上0乘以第二個基底向量
- 如果有n個基底向量
- 那麽它就等於1乘上第一個基底向量
- 加上0乘以剩余的基底向量
- 一般而言
- 如果你研究的是第n個基底向量
- 如果你想在這個基底中表示它
- 那麽你就會
- 得到一串零
- 因爲它等於1乘以第n個基底向量
- 其它的都是0
- 這個1就在第n項
- 這個具有一般性 你可以管它叫en
- 如果你習慣於
- 用這種方式稱謂標準基底向量的話
- 這有點扯遠了
- 我只是想告訴你
- 這個思路是具有普遍性的
- 這個有什麽用呢？
- 利用這個D
- 乘以這個向量就得到了那個向量
- 我們計算出了D的第一列是等於
- 我們第一個基底向量的變換
- 在B坐標中的表示
- 如果我想重寫D
- 我可以這樣寫
- 它的第一列
- 是和v1的變換
- 是一樣的
- v1是B中的第一個基底向量
- 那麽d2是多少？
- 我們對v2 第二個基底向量
- 做同樣的操作
- 如果我用D乘第二個基底向量
- 在我們新的座標係B中的v2
- 它就等於[d1 d2]乘上
- 在新座標係中
- 這個向量的表示
- 它等於0<i>v1+1<i>v2</i></i>
- 也就是[0 1]
- 我在這裡把它寫出來
- 它是[0 1]
- 因此這個向量就
- 等於0<i>d1+1<i>d2</i></i>
- 也就是d2
- 這等於多少？
- 如果你用
- D乘以[x]B
- 你得到的
- 是[T(x)]B
- 它就等於
- 式子[T(v2)]B
- 就像這樣 這是D的第二列
- 這是第二列 這是第一列
- D的第二列就是這個向量
- 它就是[T(v2)]B
- 尋找這樣的一個矩陣
- 是否比上面這個更簡單
- 記住我們以前說的 如果我們把變換應用到
- 標準基底向量
- 我們得到的就是標準變換
- 或者說 找到關於標準基底的變換矩陣
- 這就是我們想做的
- 我們也說過這並不簡單
- 這種方法是否更簡單了？
- T(v1)等於多少？
- 我們回到原始的變換的定義
- 這是v1
- T(v1)最終就等於-v1
- 它等於-v1
- 如果我想寫出來T(v1)
- 我在這裡把它寫出來
- 因此T(v1) 如果我們想讓它關於L
- 做反射變換 那麽它就等於-v1
- 這是因爲v1和這條直線是垂直的
- 這也我選擇v1的原因
- 如果你對這個向量做變換
- 它只是翻轉了一下 你得到的是-v1
- 因此這個向量 如果我們想利用它
- 如果我們想在B座標係中把它寫出來
- 那麽-v1就等於
- -1<i>v1加上0<i>v2</i></i>
- 因此 -v1在B中的坐標
- 它們等於
- 這個1<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 記住
- 它們（坐標）是在基底向量的權重
- 這很簡單
- 它等於[-1 0]
- 也就是D的第一列
- 那麽D的第二列呢？
- 它是T(v2)
- v2是生成這條直線的向量
- 這個就是v2
- 當我們對它做變換時 v2等於多少？
- 你對這條直線上的點
- 關於這條直線做反射變換
- 得到的還是這條直線上的點
- 沒有變化
- 你是對這條直線做反射變換
- 你可以想象成旋轉這個向量
- 但是結果並不會改變這個向量 對吧
- 因此這個向量[1 2]的變換
- 仍然等於[1 2]
- 對於T(v2)
- 它就等於v2
- 我來寫下來
- 對於T(v2)
- 它就等於v2
- 你們可以看到 我之所以選擇這兩個向量
- 是因爲對他倆做變換很自然
- 很簡單
- 這個向量呢
- 如果我們想在B座標係中表示這個向量
- 我們已經計算出來了 [v2]B=[0 1]
- 因此 它就等於[0 1]
- 現在我們就得到了
- 關於基底B的變換矩陣D
- 它等於我們第一個基底向量
- 關於B坐標的變換
- 也就是[-1 0]
- D的第二列就等於
- 第二個基底向量關於B座標係的變換
- 也就是[0 1] 或者說是
- 第二個基底向量關於B的變換
- 表述的語言有時很繞口
- 這個矩陣很簡潔
- 也很簡單
- 我們已經求出了D
- 因爲我們求出了D
- 注意到
- 這個基底變換很自然
- 很容易求出D
- 我們知道了D
- 現在就可以來求A了
- 我們現在就可以求出
- 關於標準基底的變換矩陣
- 爲了求出A 我們需要計算出C和C逆
- 記住 C是基底變換矩陣
- 這兩個就是基底向量
- C是一個它的列是基底向量的矩陣
- 我們知道基底
- 所以C=[2 1;1 2]
- 那麽C的逆等於多少？
- C逆等於
- 我們需要求出這個矩陣的行列式
- 它等於2<i>2 也就是4減去1<i>1</i></i>
- 最終的結果是3
- 用1除以這個行列式 等於1/3 乘以
- 交換這兩項
- 因此 變成了這是2 這是2 然後
- 去這兩項的相反數
- -1和-1
- 這就是C逆
- 現在我們準備求解A
- A就等於---
- 我來選一個好看的顏色
- A就等於C 也就是[2 1;1 2]
- 乘以D D=[1 0;0 1]
- 乘C的逆 也就是1/3<i>[2 -1;-1 2]</i>
- 來算一下
- 我們只需做矩陣和矩陣的乘積
- 先處理這兩項
- 等於多少？
- 結果是一個2×2的矩陣
- 我們得到2<i>(-1)+1<i>0</i></i>
- 等於-2
- 這一項是2<i>0+1<i>1</i></i>
- 也就是1 對吧？
- 這是2<i>0+1<i>1</i></i>
- 這一項是 1<i>(-1)+2<i>0</i></i>
- 結果是-1
- 1<i>0加2<i>1</i></i>
- 等於2
- 現在我們需要用這個矩陣
- 乘以這個矩陣
- 我把1/3放在前面
- 後面再來考慮它
- 再乘以這個矩陣
- 因此是乘以[2 -1;-1 2]
- 所有這些就等於A
- 我用黃色標記一下
- 它等於一個2×2的矩陣
- 因此我們得到了-2<i>2 也就是-4</i>
- 我來寫出來
- 這樣我就不會在-4這一塊犯錯
- 有-2<i>2+1<i>(-1)</i></i>
- 它是這一項
- 下一項是-2<i>(-1)</i>
- 加上1<i>2 因此就是加2</i>
- 在看這個
- -1<i>2等於-2 加上</i>
- 2<i>(-1) 也就是-2</i>
- 最終得到的是-1<i>(-1)</i>
- 也就是1 加上2<i>2</i>
- 1加4
- 我來檢驗一下我做的是否正確
- -2<i>2等於 -4 1<i>(-1)</i></i>
- 我想我做的是對的
- 當然前面還有一個1/3
- 因此結果是等於1/3乘這個矩陣
- -4-1=-5 這是4 這是-4 這是5
- 它等於[-5/3 4/3;-4/3 5/3]
- 這是變換矩陣A
- 它是關於標準基底的矩陣
- 我來做一個檢查
- 因爲我對我剛才做的有疑問
- 我沒有得到和我以前做的答案
- 我想我是得到了不同的答案
- 我來檢查一下它的正誤
- 這是C 這是基底向量
- 我來想想 基底向量是--
- 哦 第一個基底向量是[2 -1]
- 這個就是錯誤所在了
- 第一個基底向量是[2 -1]
- 第二個基底向量是[2 1]
- 顯然 這會改變C的
- 其它的不會變
- 因爲其它地方
- 我沒有用到這個信息
- 它等於[2 -1] 因此C的第一列就是2 -1
- 那麽C的逆 我來想想
- 行列式等於2<i>2</i>
- 也就是4減去1<i>1</i>
- 因此它就等於4+1
- 也就是5
- 很抱歉
- 把這兩項交換一下
- 去這兩項的相反數
- 這個是負的
- 這個是正的
- 我把它重新寫出來
- 我爲我犯的錯誤向你們道歉
- C逆是[2 1;-1 2]乘1/5
- 而不是乘1/3
- 這些都是-1帶來的變化
- 這邊的式子應該怎麽更改？
- 它等於2--
- 這是C的逆
- 它等於2 -1
- 這是1 這是5
- 那麽這個是5
- 這個就是1
- 這個矩陣不會變化 實際上
- 這個矩陣需要變化 因爲C的第一列是2 -1
- 我重做一遍
- 我感覺做的有點亂
- 在這上面計算和修改
- 有點混亂
- 重做整個矩陣相乘的運算並不難
- 我爲剛才的錯誤道歉
- 我的錯誤浪費了你們的時間
- A是等於--我來重新寫出來
- [2 1;-1 2] 對吧？
- [2 -1][1 2]是基底向量
- 我先前忘了這個負號
- 乘D [1 0;0 1]
- 乘1/5 把1/5寫在外面
- 這是C的逆
- 它等於[2 1;-1 2]
- 這個等於多少？
- 首先求出這兩個的積
- 它等於1/5乘--
- 從而有2<i>(-1)+1<i>0</i></i>
- 它等於-2
- 2<i>0+1<i>1=1 對吧？</i></i>
- 而-1<i>(-1)+2<i>0</i></i>
- 等於1
- -1<i>0結果等於0</i>
- 加上2<i>1 也就是2</i>
- 用它乘這個矩陣
- 即[2 -1 1 2]
- 結果等於多少？
- 等於1/5乘以
- -2<i>2等於-4 加上1<i>1=1</i></i>
- 下一項等於
- 2<i>(-1) 也就等於2</i>
- 加上1<i>2 因此就是加2</i>
- 1<i>2也就是2</i>
- 加上2<i>1也就是2 對吧？</i>
- 1<i>2加上2<i>1</i></i>
- 從而有1<i>(-1)</i>
- 1<i>(-1)等於-1</i>
- 加上2<i>2=4</i>
- 它等於1/5乘上--
- 我們有[-3 4;4 -3]
- 抱歉 這是3
- -4 一個-3 一個3
- 當你們處理矩陣時
- 數學運算會給你帶來麻煩
- 因此矩陣A
- 和我剛才得到的那個矩陣不同
- 它等於[3/5 4/5 4/5 3/5 ]
- 就是這個矩陣
- 暫且不談我犯得這個小的運算錯誤
- 我錯誤地寫出了
- 基底向量
- 忘記加負號了
- 希望你們能意識到
- 我們找到了求標準基底下變換矩陣的
- 一個更簡單的方法
- 你首先尋找到了變換矩陣D
- 它是在一個更自然的基底座標係中
- 然後你求解出了A
- 然後你得到了這個結果
- 希望是正解
- 如果我沒記錯的話
- 這是我第一次遇到這種問題