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Lin Alg: Projections onto subspaces with orthonormal bases : Projections onto subspaces with orthonormal bases
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- 在上個影片中我們知道
- 正交基有助於座標係的表示
- 它可以很容易地實現坐標表示
- 這是我們上個影片的內容
- 我們來看看正交基
- 還有什麽別的用途
- 那麽設我有一個次空間V
- 比如說V是Rn的次空間
- 然後B是一組正交基
- b就等於v1 v2 一直到vk
- 這是V的一組正交基
- 隱含的意思就是
- 這些向量的長度都是1
- 而且它們之間兩兩正交
- 我們對這個已經司空見慣了
- 就是說有Rn裏的一個向量
- 比如說有一個向量x
- 是在Rn裏
- 那麽x就可以表示爲兩個向量的和
- 一個是這個次空間裏的向量v
- 還有一個向量w
- 它是空間V的正交補空間裏的V⊥裏面的
- 來寫一下
- v是次空間V裏的向量
- w則是V的正交補空間裏的向量
- 在這一係列的影片中 這個例子很常見
- 講正交補的時候
- 那這個是什麽
- 這個玩意是個啥？
- 根據定義 這就是x在V上的投影
- 而這個則是x在
- V⊥上的投影
- 我們也知道
- 這個式子不是顯而易見的
- 我們可以建立一個矩陣A
- 它的行向量就是――
- 所以說矩陣A就是這樣
- v1 v2 一直到vk
- 我們知道如果要算出
- 並且得到一般的方法
- 來算出投影 我們已經知道――
- 任意向量x在V上的投影
- 等於A乘以(A轉置A)逆 乘以A 乘以x\N【譯者注：後面會修正此式】
- 這挺難算的
- 真心挺難算
- 但是如果假定
- 這些是正交方陣
- 如果這些是正交集
- 就能把它化簡
- 首先可以做的是
- 看這個向量
- 向量v 這是次空間的元素之一
- 它可以表示爲
- 給出基向量的線性組合
- 寫出來就是x等於 而不是v
- 寫成c1<i>v1 加上c2<i>v2</i></i>
- 同理加到ck<i>vk</i>
- 這個就是次空間V中的
- 某個元素
- 空間V在這裡
- 可以把它看成
- x到次空間V的投影
- 所以x可以用V中的向量
- 和V⊥中向量表示
- 加上w
- 如果把這個方程的兩邊
- 兩邊點乘vi 會怎麽樣呢？
- 用vi點乘方程兩邊
- 那麽vi・x
- vi是這裡的第i個基向量
- 次空間B中的第i個基向量
- 那麽將得到什麽？
- 也就是c1<i>vi・v1</i>
- 加上c2<i>vi・v2</i>
- 同理相加
- 最後加到
- ci乘以vi・vi
- 那麽，假設i不是1,2,k中的一個
- 一直到ck乘以vi・vk
- 在之前講過
- 就是兩邊做點乘
- 不過這裡還有一個w
- 那麽我們就加上vi・w
- 再說得清楚點 上個影片裏
- 我們假設x是在次空間裏的
- 所以x可以被表示基向量的和
- 那如果x是Rn中的任意向量
- 這時我們再去關心它的投影
- 因爲x是Rn裏的任意向量
- 所以x等於它們的線性組合
- 還要加上B的正交補裏的東西
- 現在我對這些基向量
- 做點乘 用第i個基向量
- 乘以式子的兩邊 左邊很簡單
- 右邊的情況和上次影片
- 做的東西很類似
- vi・v1是啥？
- 它們都是正交基
- 所以它們互相正交
- 這也就等於0 然後vi・v2也等於0
- 當i不等2時
- vi・vi等於1
- 這一項就等於
- ci乘以vi・vk 也等於0
- 這個常數無關緊要
- 因爲0乘上啥玩意都是0
- 那麽vi・w是什麽
- 根據定義 w是
- V⊥中的一員
- 這也就是說它與V中的任何向量正交
- 那麽它就是V中的向量
- 所以它們正交
- 這也就等於0
- 這樣就化簡成了 ci等於vi・xi
- 哦 錯了 是乘以x
- 這是什麽意思？
- 這與上個影片的內容
- 很是相似
- 不過我們並不是在――
- 我們沒有假設x是V裏面的向量
- 如果那樣的話
- ci就是x的坐標了
- 而這種情況下 我們要得到
- x到V上的投影
- 或者說是x在V上的一個分量
- 也就是x到V上的投影
- 現在我們想找到x到V上的投影
- 就等於這些ci乘以
- 它們對應的基向量
- 不過我們知道ci的真實面目了
- 它們就是基向量乘以向量x
- 就這樣，這種方式簡單明了
- 找到了到次空間的投影
- 在正交基的幫助下
- 那麽c1等於v1・x
- 這是c1 然後我們把這些再乘以
- 向量v1
- 這也是一個向量
- 然後 就這樣下去
- 第二項的係數就是
- v2・x乘以v2
- 這樣一直到
- vk・x乘以vk
- 不知你們還記得否
- 我們在做x到某條直線上的投影時
- 我們取x到某條直線上的投影
- 這條直線L是由某個單位向量張成的
- 這個長度是1
- t是一個實數 那麽這就是一條直線
- 是某個單位向量張成的
- 我們假設這個向量的長度爲1
- 那麽到這條直線上的投影就化成了
- x點乘――換個寫法――
- x・u乘以u
- 這就是到直線上的投影
- 注意我們在處理
- 次空間的正交基時
- 當你取Rn中某個向量
- 到次空間上的投影
- 實際上就是做到直線上的投影
- 這直線是被這些向量張成的
- x・v1乘以v1
- 本質上是一樣的
- 你就是做x到這些直線上的投影
- 直線是被這些向量張成的
- 就是這樣
- 顯然 這種找投影的方法是超級簡單的
- 好過這堆亂七八糟的什麽
- A乘以 A轉置乘以A 取逆 再乘以A轉置
- 啊 一開始我忘寫轉置了
- 再乘以x
- 下面的式子顯然簡單很多
- 你們可能有疑問 這的確是簡單了
- 不過你說過投影是線性變換
- 你說過投影是線性變換
- 所以我想把這個矩陣A算出來
- 我們就來
- 將其化簡
- 我們現在能夠找打這個x
- 我們把這些點乘給到
- 基向量當做係數
- 這些係數乘以基向量
- 加起來就是你要的投影
- 不過有些人就是想要
- 找到變換矩陣
- 那我們來看看是什麽
- 我們來重新梳理一下
- 我們已經知道x到次空間V上的投影
- 等於A乘以（A轉置A）逆
- 乘以A 乘以x\N【注：應該是A轉置】
- A的行向量是
- 基向量v1,v2一直到vk
- 現在來看看如果
- 這些都是正交基的話
- 來看看是不是化簡了
- 來看看對於A轉置乘A
- A轉置乘A等於什麽
- 就等於A轉置――
- 來想想
- 這些都是Rn裏的
- 所以這是n×k矩陣
- 這是n×k的 那麽它就是k×n的
- 乘以一個n×k的
- 我們會得到一個k×k的結果
- k×n乘n×k的結果 是k×k的
- A轉置乘A的結果是k×k的
- 那A轉置等於什麽？
- 這些行向量就變成行向量了
- 第一行就等於v1轉置
- 第二行就等於v2轉置
- 然後一直下去
- 第k行等於vk轉置
- 就這樣
- 然後A就等於
- A就是這樣的
- v1是這樣的
- v2是這樣的
- 一直到vk 像這樣的
- 這個乘積會變成什麽？
- 我們來做一下
- 這個乘積
- 是個k×k矩陣
- 我寫得大點 便於講解
- 第一行第一列等於什麽
- 就是這行乘以這列
- 就是v1・v1
- 好吧v1・v1 不錯 這就是1
- 第二行第二列呢？
- 這就是v2
- 就是這裡的行
- 還有這裡的列
- 這行乘以這列
- 那麽v2・v2 太好了
- 這也是1
- 總的來說 如果你算Aii的時候
- 就是在算這條對角線的時候
- 你就用――
- 第i行乘以第i列
- 你就會得到一堆1
- 對角線上都是1
- 其他位置上的呢
- 比如說這裡這項
- 就是取第一行第二列
- 這就等於v2點乘上――
- 這就等於一個點積
- 這行――啊 不好意思
- 這項就等於
- 這行和這列的點積
- 這就是v1・v2
- 這兩個是互相正交的
- 那麽這等於什麽？
- 這就等於0
- 再往右邊一個就是v1・v3
- 也等於0
- v1點乘上除了v1以外的所有向量都等於0
- 以此類推 第二行這裡
- 就等於v2――
- 第二行第一列等於
- v2・v1 顯然是0
- 然後v2・v2等於1
- 然後v2乘以其他的也是0
- 它們都是兩兩正交的
- 所以其他的
- 只要列和行不相等
- 如果行列相等
- 也就是說是同一個向量做乘積
- 就得到1
- 因爲它們的長度都是1
- 不過如果行列不相等
- 你就會得到
- 兩個不相等正交基的乘積
- 它們兩兩正交
- 所以你得到的就是一堆0
- 那這個等於什麽
- 到處都是0 只有對角線上是1
- 這是一個k×k矩陣
- 這就是Rk的單位方陣
- 所以這就是我們的定義
- 這就是說
- 如何找到x到V上的投影
- 所代表的變換矩陣
- 不過我們假設這是正交基
- 那麽A轉置乘A就是k×k的單位方陣
- 那麽單位逆方陣是什麽？
- A轉置乘A的逆就是
- k×k單位逆方陣
- 也就是k×k單位方陣
- 所以x到V上的投影就等於
- A乘以單位方陣的轉置
- 也就是單位方陣
- 也就是A乘以Ik 再乘以A轉置
- 我總是忘記寫第二個A轉置
- 乘以x
- 無視這個單位方陣
- 它啥都不幹
- 這就等於A乘以A轉置 再乘以x
- 這已經化簡了很多
- 我還要做一個矩陣乘積
- 算一個矩陣的轉置
- 是小菜一碟
- 只要把行變成列就好了
- 再算這個轉置乘以A
- 這就很麻煩了
- 你會花費很多時間計算
- 一個東西的逆
- 不過現在 我們假設了
- 這些列是正交集中的
- 它們的乘積就是單位方陣
- x到v上的映射
- 也就剩余A乘以A轉置
- 當A的行向量
- 都是次空間V的基向量時 就成立
- 總之 希望通過這個影片
- 加深你們對正交基的理解
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