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Linear Algebra: Change of Basis Matrix : Using a change of basis matrix to get us from one coordinate system to another.
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- 假設有一組基B
- 它由k個向量組成
- 設爲v1 v2 直到vk
- 假設已知向量a
- 並且知道a在B下的坐標
- 從而向量a
- 在基B下的坐標是c1 c2
- 總共有k個坐標
- 因爲共有k個基向量
- 如果這個基描述了一個次空間
- 那麽就是一個k維次空間
- 所以這裡有k個坐標
- 由向量在一組基下的坐標的定義
- 這意味著
- 這表明
- 我可以將向量a表成
- 這些基向量的線性組合
- 其中這些坐標就是權重
- 從而a就等於c1v1+c2v2
- 把它們加到一起
- 一直加到ckvk
- 另一種寫法是――
- 我這麽來寫
- 如果有一個矩陣
- 其行向量即使B中的基向量
- 我寫成這樣
- 假如有這樣的一個矩陣C
- 其行向量就是這些基向量
- 即C=[v1,v2,...,vk]
- 假設它們都屬於Rn
- 並且每一個向量都有n個分量
- 從而這就是一個n×k矩陣
- 每個向量都有n個分量
- 從而就有n行k列
- 我們來想象這個矩陣
- 這個表達式的另一種寫法是
- 向量a等於
- 向量[c1,c2,...,ck]
- 乘以這裡這個矩陣
- 這個等於a
- 這裡的這個敘述
- 和這個表達式是完全相同的
- 如果計算這個矩陣和向量的乘積
- 結果是多少？
- 即有c1v1+c2v2+c3v3
- 加到ckvk 等於a
- 我們在很多練習中
- 都見過多次這樣的乘法
- 但有趣之處在於
- 這個表達式是相同的
- 我只是將新的詞語
- 應用於我們已經見過100次的內容
- 我們可以改寫這個表達式
- 這是C―― 注意C是一個矩陣
- 其列由基向量構成――
- C等於這一項
- 這是向量a
- 在基底B下的坐標
- 從而C乘以這個向量
- 也就是a在基底B下的坐標
- 將會等於a
- 爲什麽我要進行這些麻煩的處理？
- 因爲這樣就有一種直接的方式――
- 如果給出了這一項
- 如果給出了這一項
- 那麽a是多少
- 如果要把它寫成標準坐標
- 或者說黃寺關於標準基的坐標
- 我們一直在
- 使用的方式是什麽？
- 那麽就將它乘以這個矩陣C
- 這個矩陣的列是由基向量構成的
- 另一種方式 如果已知向量a
- 你知道它可以表成
- B的一個線性組合
- 或者說它屬於基向量張成的空間
- 然後你就可以解出這項
- 從而求出a在基底B下的坐標
- 這裡的這個矩陣有什麽用？
- 它能夠改變基底
- 如果用它乘以這一項
- 那麽向量就可以表成
- 關於某組基的坐標的形式
- 用它乘以這一項
- 就能得到一個向量
- 其坐標爲標準坐標
- 就稱這個矩陣爲“基的變換矩陣”
- 聽起來很有趣
- 但它實際上就是
- 以基向量爲行向量的矩陣
- 我們將它進行應用
- 看看是否可以得出一些建設性的成果
- 假設有一組基
- 假設B是一組基
- 又假設有兩個向量
- 在這裡定義向量
- 設第一個向量 我們是在R3中處理問題
- 設第一個向量是[1,2,3]
- 設第二個向量是[1,0,1]
- 定義一組基B
- 它是向量v1和v2的集合
- 這兩個向量不能相互表示成對方的線性組合
- 我將這個證明留給大家
- 所以這是一個有效基
- 它們線性獨立
- 假設有一個向量
- 它屬於這兩個向量張成的線性空間
- 我知道的就是它可以表成
- 這組基下的坐標
- 假設有一個向量a
- 當我表示出
- 向量a在基下的坐標時
- 它等於[7,-4]
- 那麽我們如何將它
- 表示成標準坐標呢？
- a等於多少？
- 可以說a=7v1-4v2
- 這完全正確
- 但是讓我們使用之前講過的
- 基的變換矩陣
- 基的變換矩陣
- 就是以v1和v2
- 爲行向量的矩陣
- 即[1,2,3;1,0,1]'
- 如果用基的變換矩陣
- 乘以用這組基來表示的向量
- 乘以用這組基來表示的向量
- 就是乘以[7,-4]
- 我們就能得到
- 用標準坐標來表示的向量
- 那麽它等於什麽？
- 這是3×2的矩陣乘以2×1的矩陣
- 結果是3×1矩陣
- 這是有意義的 因爲我們是在R3中處理問題
- a屬於R3
- 當我們用標準坐標來表示時
- 這裡應該有3個坐標
- 現在當我們將a用這組基來表示時
- 它只有兩個坐標
- 因爲a屬於由這兩個向量張成的平面
- 事實上 這樣做是有理由的
- 我在三維空間中作圖
- 這是v1和v2張成的空間
- 這是0向量
- 所以這是v1和v2張成的空間
- 或者說
- 這是以B爲基的次空間
- 我們知道a在這個次空間中
- v1是這樣的 v2是――
- 我不舉具體的數
- 我們抽象地考慮――
- 這個是v2
- 那麽a可以表成
- v1和v2的線性組合
- 這一事實表明a也在R3中的這個平面上
- 事實上這是7v1
- 就是有7個v1
- 這個方向上有7個單位
- 然後在v2方向上的坐標是-4
- 這是v2方向上的單位1
- 這是v2方向上的-1
- 然後是-2 -3 -4
- 我們可以寫在這裡 1 2 3 4
- 從而向量a就像這樣
- 從這個平面上出發
- 這是向量a
- 它就坐在這個平面上
- 當我們用這組基來表示時
- 當我們表示向量
- 在基B下的坐標時
- 這個方向上有7個單位
- 我抽象地來做
- 不用管具體的數值了
- 我只想大家理解其原理
- 這個方向上有7個單位
- 這個方向上有-4個單位
- 從而回到這裡
- 就得到了在這個平面上的向量
- 所以在這個平面中我們只需要
- 兩個坐標來表示它
- 因爲這個次空間是二維的
- 但是我們在R3中處理問題
- 如果我們只想求
- 一般形式的a的標準坐標
- 我們需要得到3個坐標
- 我希望你能明白a是出發於這個平面上的
- 這個平面在這些方向上
- 是無限延伸的
- a是出發與這個平面上的
- 它是這個向量和這個向量的線性組合
- 我們來求出
- 在a在標準坐標下是什麽樣的
- 在標準坐標下 我們得到
- 第一項是1<i>7+1<i>(-4)</i></i>
- 結果是3
- 又有2<i>7+0<i>(-4)</i></i>
- 結果是14
- 然後是3<i>7+1<i>(-4)</i></i>
- 3<i>7=21 再減去4 就等於17</i>
- 所以a就是向量[3,14,17]
- 它等於a
- 我們進行另一個方向
- 假設已知向量――
- 我用一個沒用過的字母――
- 假設有向量d
- 即[8,-6,2]
- 假設d屬於
- 基向量張成的空間
- 即v1和v2張成的空間
- 這表明d可以表成
- 它們的線性組合
- 或者說d在這個次空間中
- 或者說d可以表成
- 在一組基B下的坐標
- 記住 B就是
- v2和v2集合
- 這就是基的集合
- 如果我們有基的變換矩陣
- 乘以由坐標構成的向量
- 它是d在B下的坐標――
- 我寫下來
- d在B下的坐標―― 等於d
- 我們知道它
- 如果知道它的坐標
- 並且將它乘以基的變換矩陣
- 就能得到
- d的標準坐標表示
- 本題中我們已知d
- 它已經給出了
- 我們當然知道基的變換矩陣是什麽
- 如果我們要表示出
- d在B下的坐標
- 就要解出這個方程
- 我們來做一下
- 基的變換矩陣是[1,1;2,0;3,1]
- 我們將用它乘以
- 一些坐標
- 就是這一項 我們可以將它表示成――
- 我用黃色的來做――
- 我們需要求出兩個坐標
- 它將等於v1的倍數
- 加上v2的倍數
- 這是[c1,c2]
- 我們知道它有兩個坐標
- 因爲這個矩陣和向量的乘積
- 僅在R2中才有定義
- 因爲這是個3×2矩陣
- 這裡有兩列
- 所以就有兩個分量
- 然後這等於d
- 從而有[8,-6,2]
- 如果我們求出這個向量
- 我們就求出了這個表示
- 或者說d在B下的坐標
- 我們來解這個方程
- 爲了解這個方程我們需要建立增廣矩陣
- 這是解一次方程的
- 傳統方式
- 我們有[1,1;2,0;3,1]
- 其增廣部分在這裡
- 即[8;-6;2]
- 保持第一行不變
- 即有[1,1,8]
- 然後將第二行
- 用第二行減去2倍的第一行來替代
- 從右得到2-2<i>1――</i>
- 我用另一種方式來做
- 我用2倍的第一行減去第二行
- 來替代原來的第二行
- 從而2<i>1-2=0</i>
- 2<i>1-0等於2</i>
- 2<i>8=16 再減6等於10</i>
- 然後將第三行
- 用三倍的第一行減去第三行來替代
- 從而3<i>1-3=0</i>
- 3<i>1-1等於2</i>
- 3<i>8=24 再減去2 結果是22</i>
- 這麽來看我好想有地方算錯了
- 因爲這兩行沒有解
- 我來檢驗一下
- 以確保沒有算錯
- 第二行
- 我用2倍的第一行減去第二行
- 來替代
- 從而2<i>1-2=0</i>
- 2<i>1-0等於2</i>
- 2<i>8-(-6)―― 這裡算錯了――</i>
- 這等於22
- 錯誤就在這
- 這兩個是等價的
- 每次只進行一步
- 用第三行減去第二行來替代原來的第三行
- 先得出一個結果
- 這些都不變 即[1,1,8;0,2,22]
- 然後是第三行
- 將它用第三行減去第二行
- 來替代
- 結果是[0,0,0]
- 它消去了
- 然後將第二行除以2
- 得到[1,1,8]
- 然後這成了[0,1,11]
- 顯然第三行全是0
- 然後保持中間那行不變
- 即[0,1,11]
- 然後用第一行減去中間那行
- 來替代原第一行
- 於是1-0=1
- 1-1等於0
- 8-11等於-3
- 保持最後一行不變
- 從而就把右邊化成了行簡化階梯形
- 所以這就是
- 方程的解
- 我可以這麽寫
- 即[1,0;0,1;0,0][c1,c2]'
- 等於[-3,11,0]'
- 或者寫成
- 1c1+加上0c2
- 即c1=-3
- 然後有0c1
- 加上1c2 結果等於11
- 所以方程的解是[-3,11]'
- 或者說
- 如果要將向量d
- 寫成在基B下的坐標
- 那麽它就是坐標[-3,11]' 這表明――
- 我這麽寫――
- 這表明d等於
- -3v1加上11v2
- 這留給你來證明
- 就像那樣 應用基的變換矩陣
- 我們可以前後聯係
- 如果有這種表示
- 那麽求這個乘積
- 並得到d的標準表示就很容易
- 如果求得標準表示
- 或者在標準基下的坐標
- 就很簡單了
- 或許應該稍微有些複雜
- 然後只需解出
- 在基B下的坐標