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Linear Algebra: Determinant after row operations : What happens to the determinant when we perform a row operation
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- 我有一個矩陣A
- 它是一個n×n矩陣
- 讓我把它的行寫成這樣
- 這寫成r1
- 我們可以把它們叫做行向量 r2
- 我這樣做不是很正式
- 這只是爲了寫起來方便一些
- 然後這是第i行 ri
- 一直做下去
- 這兒是I行
- 然後這是第j行 rj
- 一直做下去 最後到第n行
- 這個矩陣有n行和n列
- 一直到rn 矩陣就是這樣的
- 這就是矩陣A
- 爲了讓大家明白我說的
- 大家來看rk 它等於ak1。。。
- 我可以把它寫成一個向量
- ak2一直到akn
- 這就是標準的寫法
- 我把它寫成這樣是因爲
- 我們在這集影片裏是要處理矩陣的行
- 這種寫法稍微方便點
- 讓我們注意這兩行
- 讓我們定義另外一個矩陣B
- 它也是一個n×n矩陣
- 它除了這行 其它行與矩陣A相同
- 因此它除了這行 其它行與A相同
- 這是r1
- 這和矩陣A一樣
- r2 一直下去 到ri
- 這個也是相同的
- 但是rj不同
- 我們把rj-cri替換成rj
- 這是-cri
- 因此得到rj-cri
- 我們用這個替換掉rj
- 這相當於一個行變換
- 我們在高斯消去裏做過
- 或者是我們把它看成行簡化階梯形
- 其它行與矩陣A的行相同
- 一直到rn
- 這就是B
- 讓我們想想
- B的行列式等於什麽
- 我把它寫成藍色的
- 好了 你可以直接說
- B等於
- 大家來看這兩個向量
- 你可以想象兩個矩陣
- 一個像這樣
- 一個矩陣像這樣 r1 r2一直到ri
- 一直到rj
- 這是一個矩陣
- 你可能會發現它等於A
- 這是一個矩陣
- 然後這有另外一個矩陣
- 像這樣的
- 它在這些地方是完全相同的
- 這是r1 r2 ri
- 這些點是爲了告訴大家
- 我略過了這些行
- 然後又略過了一些行
- 到這就是cri
- c乘於ri
- 讓我用另外一種顏色把它寫出來
- 這就是ri
- 然後繼續到rn
- 現在 B的行列式
- 你可以是這個的行列式
- 讓我寫在這
- B的行列式等於
- 這個的行列式加上這個的行列式
- 在前幾個影片裏大家應該記得
- 如果一個矩陣
- 有兩個矩陣除了一行其它行都相同
- 因此這兩個矩陣除了第j行不同
- 其他的是完全相同的
- 這是rj
- 這是cri
- 它其實就是一個數乘於一行
- 就是這個
- 因此這就是ri 第i行
- 這有ri 這也有個ri
- 但是這兒的第r行是這樣的
- cri 這是rj
- 現在 如果你有一個矩陣 它等於
- 這兩個矩陣的和
- 除了這一行
- 在這一行
- 它看起來是這兩個矩陣相加的結果
- 讓我在這加個負號
- 如果你保持這個矩陣完全相同
- 但是這一行你替換成這兩行的和
- 也就是rj-cri
- 你就得到這個矩陣
- 也就是B
- 而且我們也知道B的行列式等於
- 這個的行列式與這個的行列式的和
- 記住 B不是這兩個矩陣的和
- B等於這兩個矩陣
- 除了這一行
- B的第j行等於這個的第j行
- 加上這個的第j行
- 當我們說到這一行時
- 我們只是把相應的元素加上去
- 我重寫這一行 因此這一行看起來像
- 第一個元素是aj1-cai1
- 那是這一行的第一個元素
- 第二個元素
- 就是aj2-cai2
- 然後一直到
- ajn-cain 這是第n列
- 這就是這一行具體的內容
- 因此B的行列式等於
- 這個的行列式加上這個的行列式
- 這個的行列式
- 這是矩陣A
- 那麽這個就是A的行列式
- 那這個的行列式又是什麽？
- 好了 讓我們稍微打斷一會
- 這個的行列式等於什麽呢？
- 它和矩陣A完全相同
- 除了這一行
- 對不起 這個完全等同於這個矩陣
- 不是等同於A
- 小心點
- 我說的話不要全聽
- 它不等於A
- 區別就是A在這有rj
- 而它在這是-cri
- 因此這個等於這個矩陣
- 它完全等同於這個矩陣
- 讓我這樣來做
- 你有r1 r2 一直到ri
- 繼續下去你又有一個ri
- 讓我稍微擦一下黑板
- 讓我把這個擦掉
- 這樣我就有地方寫東西了
- 你有ri
- 這個矩陣在這有ri
- 這樣你又有一個ri
- 矩陣在這又有一個ri
- 有另外一個ri
- 因此第j行是ri
- 然後繼續下去得到rn
- 這兩個矩陣是完全相同的
- 除了這個矩陣這一行是-c乘於第j行
- 對不？
- 這就是關鍵所在
- 這是第j行
- 我們所做的都是在第j行裏面進行的
- 這是-c乘於第j行
- 因此這個的行列式
- 讓我們想清楚點
- 我只是要這兒的這個矩陣的行列式
- 它等於-c乘於
- 讓我用這種方式來寫
- -c乘於這個矩陣的行列式 r1 r2
- 這個矩陣第i行是ri
- 在第j行
- 又是ri
- 然後一直到rn
- 因此-c乘於這個行列式
- 就是這個矩陣的行列式
- 我在這加上方括號和直線
- 這個我們之前幾個影片就知道
- 如果你有一個矩陣
- 你在某一行乘於一個數 比如-c
- 它等於-c
- 新矩陣的行列式等於-c
- 乘於原矩陣的行列式
- 這個我就說到這
- 但是這個矩陣的行列式又是什麽呢？
- 你可能已經發現
- 它有重覆的行
- 它有ri 在第i行
- 然後在第j行又有一個ri
- 記住 我們把矩陣B分解成
- 這兩個矩陣
- 或者說B的行列式
- 等於這兩個矩陣的行列式的和
- B不是這兩個矩陣的和\N【譯者注：區別於矩陣加法】
- 兩個矩陣的其他行
- （除了那行）相互相等
- 這個矩陣 它有重覆的ri
- 那麽一個矩陣有相同的行
- 它的行列式又等於多少呢？
- 它的行列式爲0
- 因此這個就爲0
- -c乘於0 還是0
- 因此整個這個的行列式就是0
- 因此這個結論就是B的行列式
- 等於這個的行列式
- 這個就是A
- 這是一個很好的結論
- 這樣看起來就簡單多了
- B的行列式等於A的行列式
- 因此如果你從矩陣開始 在這個例子裏
- 你替換了第j行 但是其它任何行不變
- 如果你把這行替換成這行減去一個數
- 乘於另外一行 在這我們選了ri
- 那就是ri 行列式不會變
- 大家可能會特別關心怎麽去描述它
- 因爲 顯然
- 如果你用一個數去乘於某個東西
- 如果你想去改變它的行列式
- 或者去做別的事
- 如果你改變一行 如果改變第j行
- 你用第j行-c乘於第i行-c乘於其它行
- 去替換第j行
- 這就等價於我們已經做過的一個行變換
- 這不會改變行列式
- 這個就是一個很好的結論
- 因爲現在我們可以很好的做行變換
- 我們知道了 行變換後行列式不會改變