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Linear Algebra: Introduction to Orthonormal Bases : Looking at sets and bases that are orthonormal -- or where all the vectors have length 1 and are orthogonal to each other.
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- 這裡有一個向量集合
- 我們稱之爲B
- 它有向量
- v1 v2一直到vk
- 這個向量集合不是隨意取的
- 關於這些向量有許多有趣的性質
- 第一個就是這些向量的
- 長度都是1
- 因此我們可以寫成 |vi|=1
- 對於i取值於1和k之間
- 或者說i=1，2 …k
- 所有這些向量的長度都是1
- 換一種說法就是
- 這些向量長度的平方等於1
- |vi|2等於1
- vi<i>vi=1對於所有向量均成立</i>
- i可以是1 2 3一直到k
- 這是第一條有趣的性質
- 我們用正常的語言寫下來
- 在B中所有的向量的長度都是1
- 換一張說法就是
- 它們都是標準化的
- 另一種說法就是
- 它們都是標準化的
- 或者說它們都是單位向量
- 標準化的向量就是那些
- 長度是1的向量
- 你把它們變成了單位向量
- 它們都是標準化的
- 這是關於集合Ｂ第一個有趣的性質
- 關於集合Ｂ的另一個有趣的性質就是
- 所有這些向量都是互相垂直的
- 如果對它們本身做點乘
- 本身做點乘 你得到長度等於１
- 但是如果你選擇一個向量
- 然後和另一個向量相乘
- 取一個向量vi 然後和vj做點乘
- 用v2點乘v1
- 結果等於0 對於所有的i≠j
- 左右這些向量都是正交的
- 我來寫下來
- 所有這些向量互相正交
- 自身並不是正交的
- 因爲它們的長度都是1
- 如果你對它們自身做點乘的話 結果是1
- 如果和其它的向量做點乘的話
- 你得到的結果就是0
- 也許你可以這樣寫
- vi<i>vj等於0</i>
- 對於所有的i≠j
- 如果它們是相同的向量
- 和它自身相乘 得到的長度是1
- 因此它等於1 對於所有的j=j
- 因此這是一個很特別的集合
- 所有這些向量的長度是1
- 並且它們之間互相垂直
- 它們既是標準化的又是正交的
- 我們給它起了一個特別的名字
- 我們叫他標準正交集合
- B是一個標準正交集合
- 標準是對應於標準化
- 所有的向量是正交的
- 它們互相之間是正交的
- 所有向量又都是標準化的
- 所有的長度都是1
- 關於一個標準正交集合的
- 第一個有趣的性質就是
- 其中的向量是線性相關的
- 如果B是標準正交的
- 同時B也是線性獨立的
- 我怎麽來證明？
- 假設它不是線性獨立的
- 從集合中選取vi和vj
- 從集合中選取vi和vj
- 令i≠j
- 我們已經知道它是一個標準正交集合
- 那麽vi<i>vj=0</i>
- 這兩個向量是垂直的
- 它們是集合中的兩個向量
- 假設它們是線性相關的
- 我想證明它們是線性獨立的
- 而我所用來證明的方法是 通過假設
- 它們是線性相關的
- 然後得出一個矛盾
- 假設vi和vj是線性相關的
- 也就是說 我可以用其中一個向量
- 乘一個純量來表示另一個向量
- 反之也可以
- 爲了論證的方便
- 我們來表示vi
- 假設vi等於某個純量c乘以vj
- 這就是線性相關的定義
- 其中一個向量可以用
- 另一個向量乘以一個純量來表示
- 如果這是正確的
- 那麽我就可以把它帶回到vi之中
- 得到了什麽？
- 我們得到c<i>vj</i>
- 這是vi的另一種表述方式
- 因爲我假定它們是線性相關的
- 它點乘vj是等於0的
- 這個是vi
- 這個是vj
- 它們倆互相垂直
- 但是這些式子恰好等於c<i>vj?vj</i>
- 恰好等於c乘以vj長度的平方
- 它是等於0的
- 它們是正交的所以等於0
- 這也告訴了我們
- vj的長度是等於0
- 如果我們假定這是一個非零倍數
- 這個必須是一個非零的倍數
- 我在這兒已經寫出來了 c是不等於0
- 爲什麽這個是非零的倍數？
- 因爲它們是非零的向量
- 這個是一個非零的向量
- 因此它不等於0
- 這個向量的長度是1
- 因此如果這是一個非零的向量
- 我不可能在這裡放一個0
- 因爲如果我在這裡放一個0
- 那麽得到的就是一個零向量
- 因此c不可能是0
- 如果c不是0那麽這一項就是0
- 我們得到了vj的長度是0
- 但是我們知道這是不對的
- vj的長度是等於1
- 這是一個標準正交集合
- B中所有元素的長度都是1
- 因此我們得到了一個矛盾
- 這就是我們得到的矛盾
- vj不是零向量
- 它的長度是1
- 矛盾
- 如果一係行向量是正交的
- 且是非零的
- 那麽它們就是線性獨立的
- 很有意思
- 如果我們有這個集合 這個標準正交集合
- 它也是線性獨立向量的集合
- 它可以是一個次空間的基底
- B是某個次空間Ｖ的基底
- 或者我們寫成
- 爲v=
- 我們稱之爲B 它是一個集合
- 我們管它叫標準正交集合
- 它可以是一個標準正交集合
- 當它生成某個次空間時
- 我們可以出來 我們可以說
- B是V的標準正交基底
- 我做的所有這些都很抽象
- 現在我來快速地做一個例題
- 這樣可以讓你們理解 用實數表示的
- 標準正交基底是什麽樣的
- 假設我有兩個向量
- 假設我有向量v1
- 它是在R3中的
- 它等於[1/3 2/3 2/3]
- 另一個向量是v2
- 它等於[2/3 1/3 -2/3]
- 假設B是v1和v2構成的集合
- 第一個問題是
- 這兩個向量的長度是多少？
- 求它們的長度
- v1的長度的平方是等於v1?v1
- 也就是(1/3)2 1/9
- 加上(2/3)2 4/9
- 加上(2/3)2 4/9
- 最終結果等於1
- 如果長度的平方等於1
- 那麽我們就知道
- 第一個向量的長度就等於1
- 如果長度的平方是1
- 你對它開方
- 長度是1
- 第二個向量呢？
- 第二個向量的長度
- 是等於v2?v2
- 它等於 (2/3) 2 也就是4/9
- 加上(1/3)2 也就是1/9
- 加上(2/3) 2 也就是4/9
- 結果等於9/9=1
- 我們知道v2的長度
- 向量v2的長度是1
- 我們知道這些向量顯然是標準化的
- 我們稱之爲標準化的集合
- 它是正交集合嗎？
- 這些向量是否互相正交？
- 爲了驗證它 我們取它們的點積
- v1<i>v2等於1/3<i>2/3=2/9</i></i>
- 加上2/3<i>1/3=2/9</i>
- 加上2/3<i>(-2/3)</i>
- 也就是-4/9
- 2+2-4等於0
- 因此等於0
- 這些向量確實是正交的
- 因此B是正交集合
- 如果我們有某個次空間
- 假設B是等於v1和v2的展成空間
- 那麽我們可以說V的基底
- 或者可以說B是V的一個標準正交基底