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相關課程
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- 假設有這樣的矩陣A 是一個2×3矩陣
- 把這個當作複習
- 我們來算出它的零核空間和列空間
- 那麽A的零核空間就是所有x組成的集合
- 它們屬於――這裡有3列――
- 所以是R3之中
- 使得A乘以這個向量
- 等於0向量
- 我們就可以這樣來建立這個集合
- 我來――我們需要算出
- 所有在R3中滿足這個方程的x
- 所以取矩陣A
- 即[2,-1,3;-4,2,6]
- 乘以R3中的某個任意向量
- 就得到[x1;x2;x3]
- 使它們等於0向量
- 就是在R2之中的0向量
- 因爲這裡有2行
- 由於是將一個2×3的矩陣與一個R3之中的向量相乘
- 你就得到了一個2×1向量或2×1矩陣
- 所以就得到了R2中的0向量
- 而要解這個方程組――
- 就是2x1-x2-3x3=0
- 等等
- 我們可以寫出增廣矩陣
- 我們可以建立這個增廣矩陣爲這樣
- 即2 -1 -3 -4 2 6
- 然後增加一列 我們要使它
- 等於的東西來解這個方程組
- 你知道我們要進行一係列的
- 行運算來使它化成行簡化階梯形
- 而這不會改變
- 增廣矩陣的右邊部分
- 這就是增廣矩陣
- 因此A的行簡化階梯形的零核空間
- 和A的零核空間相同
- 但無論怎樣 這就是一個複習
- 我們來作一些行作用
- 更好地來解這個
- 那麽 首先我要
- 用2除第一行
- 那麽如果我用2除第一行
- 就得到了1 -1/2 -3/2
- 然後當然用2除0是0
- 再將這一行除以――
- 除以幾呢 簡化它――
- 除以4吧
- 所以第一步作了兩個行變換
- 你可以這樣做
- 我本可以分兩步作的
- 所以如果將它除以4 就變成了-1 1/2
- 然後得到3/2 還有0
- 而現在 保持第一行不變
- 我要保持第一行不變
- 就是1 -1/2 -3/2
- 當然0在右邊
- 現在把第二行換成
- 第二行加上第一行
- 就是在它們上面進行線性作用
- 所以-1+1=0
- 而1/2+(-1/2)=0
- 而3/2+(-3/2)=0
- 當然 0+0=0
- 那麽還剩下什麽？
- 我們把它放在這兒
- 這是另一種方式說明x1――
- 我這樣來寫――x1――
- 我猜最簡單的考慮它的方式是――
- 乘以A的行簡化階梯形
- 即1 -1/2 -3/2
- 這兒是一串0
- 乘以[x1;x2;x3]等於在R2中的0向量
- 這是增廣矩陣的另一種解釋
- 這就是說 這個沒用
- 這就是說0乘以這個加上0乘以這個
- 加上0乘以這個是0
- 所以它什麽也沒告訴我們
- 但第一行告訴我們――
- 我換一種顏色――
- 即1<i>x1-1/2<i>x2-3/2<i>x3</i></i></i>
- 是0
- 所有分量滿足這個的向量
- 都在零核空間中
- 如果我要把它寫得不同一些
- 我可以寫成 x1=1/2x2+3/2x3
- 或者如果我要以向量形式寫出解集
- 我可以寫成零核空間
- 是所有向量
- 即滿足這些條件的的[x1;x2;x3]組成的集合
- 這是什麽？
- 好 x2和x3是自由變量
- 它們和非軸元素有關 或者
- 是與在行簡化階梯形中的非主列有關
- 這就是一個主列
- 我這樣來寫
- 等於x2乘以某個東西
- 加上x3乘以某個東西
- 這是兩個自由變量
- 而我們有 x1等於1/2x2
- 就是1/2x2+3/2x3
- 而x2就是x2<i>1+0x3</i>
- 而x3就是0x2+1x3
- 那麽 零核空間
- 這些可以是任意實數
- 它們是自由變量
- 那麽零核空間就是
- 這個和這個的所有的線性組合
- 或另一種寫它的方式
- 即A的零核空間是張成的空間
- 這個相同於
- 由向量[1/2;1;0]和這個向量的線性組合
- 注意它們是R3中的向量
- 這個有意義因爲零核空間是
- 在R3中的向量
- 所以是這個張成的空間
- 和這個張成的空間
- 那麽[3/2;0;1]
- 就像這樣
- 那麽原始矩陣A的列空間是什麽？
- 得到A的列空間等於
- 由所有這些東西的線性組合構成的次空間
- 或行向量張成的空間
- 等於[2;-4]
- 和[-1;2] [-3;6]張成的空間
- 這些都是不同的向量
- 所以是這3個向量張成的空間
- 現在 這些可能不是線性獨立的
- 事實上
- 當把它化成行簡化階梯形時
- 你知道這個的基向量是
- 和主列有關的向量
- 所以這裡有一個主列
- 是第一列
- 所以我們可以把這個當作是基向量
- 它有意義
- 因爲這個是-2乘以這個東西
- 這個是-3/2乘以這個東西
- 所以這兩個東西可以被表示成
- 這個的線性組合
- 所以它等於向量[2;-4]張成的空間
- 所以如果要問我
- 而這個是列空間的基
- 所以如果你想要知道秩――
- 這只是複習
- 則A的秩等於
- 在我們的列空間的基中向量的個數
- 所以等於1
- 現在 所有算過的東西都只是複習
- 但在前幾個影片裏
- 我們已經處理了轉置
- 那麽讓我們再算一下
- 矩陣A的轉置的這些量
- 那麽A的轉置看起來就像這樣
- 即A的轉置等於2 -1 -3
- 這是第一列
- 然後第二列
- 是-4 2 6
- 這就是轉置
- 我們算一算
- 轉置矩陣的零核空間和列空間
- 我把它化成行簡化階梯形
- 來得到零核空間
- 我來算一算這個的零核空間
- 我們可以做一樣的聯係
- 我這樣來寫
- 矩陣A的轉置的零核空間――
- 矩陣A的轉置是3×2矩陣
- 它等於所有這樣的向量x
- 它們在R2中
- 不在R3中――
- 因爲現在我們取零核空間的轉置――
- 使得A的的轉置乘以R向量
- 等於R3中的0向量
- 我們可以用以前算過的方法算它
- 我們建立一個增廣矩陣
- 我們可以將它化成行簡化階梯形
- 使它們都等於0
- 我們來算一算吧
- 那麽如果我們――
- 我把它化成行簡化階梯形
- 我將第一行除以2
- 將第一行除以2
- 我要將它化成行簡化階梯形
- 第一行除以2是1和-2
- 然後第二行 將它除以――我要
- 我要保持它不變――就是-1和2
- 然後最後一行 將它除以3
- 就變成-1和2
- 現在 我要保持第一行不變
- 即1和-2
- 現在我要把第二行換成
- 第二行加上第一行
- 而-1+1=0
- 還有2+(-2)=0
- 就得到了一些0
- 我要對第三行進行相同的運算
- 將它替換成它加上第一行
- 再一次地 得到了一些0
- 所以這就是A的轉置的行簡化階梯形
- 而它的零核空間和A的轉置的零核空間相同
- 要找到這個零核空間 我們可以找到所有的
- 這方程。。。 乘以向量
- 即[x1;x2] 等於[0;0;0]的解
- 這些不是向量
- 這些就是數字
- 就是0 0和0
- 所以這兩行沒有告訴我們什麽
- 但這個第一行有用
- 我們得到1x1――注意到
- 這是這裡的主列
- 它是有用的
- 所以x1是一個主變量
- 而x2是自由變量
- 澄清一下第一列
- 是我們的主列
- 所以如果我們回到A的轉置 是這裡的第一列
- 和主列有聯係
- 所以當我們談論關於它的列空間時
- 這個它自己就要張成列空間
- 這也是對於我們學過的東西的複習
- 我們要將它應用到轉置
- 回到零核空間
- 這個告訴了我們1x1
- 即x1-2x2=0
- 或許我們可以說x1=2x2
- 所以在R2中的所有這樣的向量
- 它們滿足這些條件
- 在A的轉置的零核空間中
- 我這樣來寫
- 即A的零核空間是
- 所有這樣的向量的集合――
- 我寫這兒――所有向量的集合
- 就是[x1;x2] 它們是在R2中 很明顯
- 使得x1和x2等於――
- 好吧 我們的自由變量是x2――
- 是x2乘以這個向量
- 所以x1=2x2
- 明顯地x2――這是2――
- 等於1x2
- 那麽結果是什麽？
- 這是所有的
- 這裡的這個向量的線性組合
- 所以我們可以說它等於
- 向量[2;1]張成的空間
- 現在 這就是零核空間
- 對不起 這是A的轉置的零核空間
- 我要非常仔細
- 現在列空間是什麽？
- 矩陣A的轉置的列空間？
- 好 A的轉置的列空間是
- 所有由A的列張成的空間的向量的集合
- 所以你可以說是這個行向量張成的空間
- 和這個行向量
- 但我們知道
- 當我們將它化成行簡化階梯形時
- 只有這一行向量
- 和主列是有聯係的
- 所以這個
- 這是這個的線性組合
- 如果你用-2乘以它
- 你就得到了這個
- 所以它和我們已知的東西是一致的
- 所以它等於這個張成的空間
- 即向量[2;-1;-3]
- 這是一個很漂亮優雅的練習
- 注意到張成的空間是在R3中
- 而它是在R3中的線
- 或許在下一個影片裏
- 我要做一個它的圖示
- 但我已經做完了整個的練習
- 來向你介紹
- 轉置的零核空間
- 和轉置的列空間
- 想一想轉置的列空間是什麽
- 它是由向量張成的空間的次空間――對不起――
- 是由這個向量和這個向量張成的空間的次空間
- 由此說明這個是這個的倍數
- 所以我們可以說是由這個向量
- 但這些是原始矩陣A的行簡化階梯形
- 所以我們可以把它看作是
- 原始矩陣的行簡化階梯形張成的空間
- 這是這一列 它是
- 轉置矩陣的行向量張成的空間
- 當然這個是這個的線性組合
- 所以我們可以看作是
- 轉置矩陣的列張成的空間
- 它等價於由這些行張成的空間的次空間
- 或者我們可以稱這個是A的行空間
- 我寫下來
- 就是A的轉置的列空間――
- 這是一般情形
- 我寫出它的一般情形
- 它不僅僅適用於這個例子
- 那麽任何矩陣的轉置的列空間
- 這個叫做A的行空間
- 這是一個很自然的名字
- 因爲如果A是一串行向量
- 我們可以稱之爲某些向量的轉置
- 那麽這是第一行
- 這是第二行
- 直到第n行
- 就像這樣
- 這些是向量的轉置
- 它們是行向量
- 如果你想象一下由這些張成的空間
- 由這些行向量 它就是
- 轉置的列空間
- 因爲當你轉置它時
- 每一個向量都變成了行向量
- 這就是行空間的含義
- 現在 轉置矩陣的零核空間
- 我們這樣來寫――
- 是所有滿足這個方程的向量x
- 等於這裡的0向量
- 現在 如果我們
- 對方程兩邊取轉置會發生什麽？
- 好 我們已經知道了轉置的性質
- 這個等於
- 轉置的反乘積
- 所以這個等於 這是一個向量
- 向量x的轉置
- 如果這個是行向量
- 那麽現在它就變成了行向量
- 然後乘以A的轉置的轉置
- 這個等於
- 零向量的轉置
- 或者 我們可以這樣寫
- 我們可以寫成某個矩陣――
- 好 我這樣寫
- 某個行向量x――
- 矩陣A的轉置的轉置是什麽？
- 就是A
- 所以取行向量的轉置
- 現在得到行向量
- 你可以把它看作是一個矩陣
- 如果這是Rn中的一個元素
- 這個就是1×n矩陣
- 如果這是Rn中的元素的話
- 我們改變一下順序
- 我們將它乘以轉置的轉置
- 我們就得到了矩陣A
- 我們令它等於0向量的轉置
- 現在這就很有趣了
- 我們現在得到了關於矩陣A的方程
- 這個矩陣A的零核空間是什麽？
- 零核空間中的所有向量x
- 都滿足這個方程等於0
- 所以x在右邊
- 所以零核空間就是所有的滿足這個的x
- 轉置的零核空間是
- 所有滿足這個方程的x
- 那麽我就說是 所有使得A轉置
- 乘以x等於0的x的集合
- 這個就是A轉置的零核空間
- 或許我們可以這樣寫
- 寫成所有x使得
- x轉置乘以A等於
- 零向量的轉置的集合
- 我們用另一個名字來叫它
- 這個被稱爲A的左零核空間
- 爲什麽稱它爲左零核空間？
- 因爲現在我們是左乘x
- 一般的零核空間是x在右邊
- 但現在 如果你取轉置的零核空間
- 用轉置的性質
- 這就等於這個轉置向量
- 事實上我這樣來寫
- 這裡的轉置
- 這個轉置向量乘以A
- 從左邊乘
- 所以所有的滿足這個的x
- 就是左零核空間
- 這個和零核空間不同
- 注意到A的轉置的零核空間
- 是這個張成的空間
- 這個也是A的左零核空間
- A的一般的零核空間是什麽？
- 矩陣A的一般的零核空間是R3中的平面
- 這就是A的零核空間
- 矩陣A的左零核空間是R2中的直線
- 這是不同的
- 如果你取行空間
- 矩陣A的行空間是什麽？
- 矩陣A的行空間是R3中的直線
- 矩陣A的行空間是R3中的直線
- 那矩陣A的列空間是什麽？
- 矩陣A的零核空間 這裡 我在哪兒算出來的？
- 好 這是唯一的線性獨立的向量
- 它是在R2中的直線
- 所以它們是很不同的東西
- 我們再看看
- 它們的關係
- 現在有一件我想告訴你們的東西
- 我們算出來了
- 這個向量的秩是1
- 因爲當把它化成行簡化階梯形時
- 有一個主列
- 而基向量是
- 和主列有關的向量
- 如果比數一數基向量
- 這就是空間的維數
- 所以列空間的維數是1
- 這個和秩相同
- 現在A的轉置的秩是什麽？
- 這個例子中矩陣A的轉置的秩
- 當把它化爲行簡化階梯形時
- 就得到了一個線性獨立的行向量
- 所以列空間的基等於1
- 一般來講 這總會出現
- 矩陣A的秩
- 就是列空間的維數
- 等於A的轉置的秩
- 如果你想一想這個 這一點很有意義
- 要算出A的秩 你只需算出
- 有多少主列
- 或另一種說法
- 有多少軸元
- 當你要找轉置向量的秩時
- 你就是在說――我知道
- 這有一點兒令人困惑――
- 但當你要算轉置向量的秩時
- 你就是說 這些行向量有多少
- 是線性獨立的？
- 或者哪些是線性獨立的？
- 這就相當於問
- 有多少行是線性獨立的？
- 如果你想要知道轉置矩陣中有多少行向量
- 是線性獨立的
- 這就等價於問
- 原始矩陣中有多少行是線性獨立的
- 而當你將這個矩陣化爲行簡化階梯形時
- 行簡化階梯形中的所有東西
- 都是行作用的
- 所以它們就是
- 上面這些東西的線性組合
- 反之亦然
- 上面的所有這些東西都是
- 行簡化階梯形中的線性組合
- 所有如果你只有一個軸元
- 那麽這個東西 它自己
- 或一個主行 它自己
- 可以表示行空間的一個基
- 或者 所有行可以
- 由主行的線性組合表示
- 由於這一點 你就可以數出來
- 你可以說 好 這裡有一個
- 所有行空間的維數是1
- 這個相同於
- 轉置的列空間的維數
- 我知道這有一點兒令人困惑
- 現在對我來說也有一點兒晚了
- 那麽 幸運的是
- 這個使你明白了轉置的秩
- 與原始矩陣的秩是相同的