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Lin Alg: Orthogonal matrices preserve angles and lengths : Showing that orthogonal matrices preserve angles and lengths
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- 在上一係列的影片中
- 已經知道如果我們有一個n×n的矩陣C
- 是個方陣 而且以行向量表示
- 並且行向量是互相標準正交的
- 也就意味著
- 每一列都是標準化的
- 所以它們每一個長度都是1
- 如果把它們看成行向量
- 而且彼此相互正交
- 那麽如果把它們和自身做點乘就得到1
- 如果和其它任意向量做點乘 就得到0
- 這一點我們講過很多次了
- 它和其它一切向量正交
- 如果有一個這樣的矩陣--
- 哇我竟然忘記告訴你們它的名字了--
- 這個就叫做正交方陣
- 我們已經知道這個矩陣的轉置
- 也就等同於它的逆
- 這個性質讓它變得非常非常容易處理
- 轉置就等於它的逆
- 那麽 這個性質可以引申出
- 其它一些有用的東西
- 目前爲止 我們一直主要用
- 一些基底的變換來處理這個
- 我現在來畫個圖表梳理一下
- 可能你們都看膩歪了
- 比如這是一個標準基底
- 給定一個x
- 它用另一組基底表示
- 可以知道 我用這個乘以C
- 來得到x 然後可以用x
- 乘以C逆來得到這個
- 那麽 在這裡
- 我們把C當做是基底的變換
- 我們表示相同的矩陣--
- 我們表示相同的向量--
- 只是改變
- 表示它的坐標
- 但是我們知道任何一個
- 矩陣外積
- 都是一個線性變換
- 所以 這個基底的變換
- 也是一個線性變換
- 在這個影片裏我想要展示的
- 這可以當成一個基底的變換
- 或者是一個線性變換
- 當你乘以這個正交方陣
- 再乘以某一向量時 它保持了--
- 把它寫出來--長度和角度
- 那麽我們來激情的討論一下
- 這個代表著什麽
- 我們把它作爲一個變換
- 比方說在定義域中給定一些向量
- 比方說像這樣
- 像這樣
- 好的 這樣做--
- 畫一個這樣的
- 一個這樣的
- 這倆之間有一定角度
- 在R2和R3中角度很容易看出來
- 在一些高維情況下可能不容易看出來
- 那麽這就是它們之間的角度
- 那麽 如果說我們保持了
- 角度和長度
- 那就意味著如果把這些向量乘以C
- 那麽可以看成是一個變換
- 如果可以旋轉或者--你並不能真正的旋轉
- 如果旋轉它們或者做類似的變換
- 那麽粉色的向量可能會變成這樣
- 但是長度不變
- 長度將變得和原來一樣
- 而且
- 當我說它保長和保角時
- 黃色的向量會變成這樣
- 角度將不變
- 這個θ就是那個θ
- 這就是我說的保角的意思
- 如果不保角 可以想象變換
- 不能保持角度
- 來畫一個不能保持的
- 如果這樣就轉換成了 呃
- 比方說這個長一點兒
- 這個也長一點兒
- 我要表示這個角度
- 也不能保持
- 不單單是變長
- 而且稍微變得扭曲了一點兒
- 這個角度也改變了
- 這個變換就是
- 不保角的
- 所以當你有一個
- 正交的基底矩陣時
- 當你有一個正交的基底矩陣
- 本質上對於你的向量
- 是一種旋轉
- 而不是真的使它們變形
- 所以在引號裏寫這個因爲
- 這不是一個嚴格的數學用語
- 嗯 不扭曲向量
- 那麽 已經講了
- 它的直觀意義
- 那麽來證明一下
- 這種情況是成立的
- 那麽 如果這個粉色向量是x
- 這個是C乘以x
- 已經知道x的長度等於
- C乘以x的長度
- 來看看如果這是真的
- Cx長度的平方 等於Cx?Cx
- 這就可以提醒了我
- 如果對於兩個向量--
- 我在這兒寫吧
- 如果有y?y
- 等同於y的轉置
- 如果看成矩陣 就是y轉置乘以y
- y的轉置是y1 y2一直到yn
- 乘以y1 y2 一直到yn
- 如果用這個1×n矩陣
- 乘以這個n×1矩陣
- 就可以得到一個1×1矩陣也就是一個數
- 也就是y1<i>y1加上y2<i>y2</i></i>
- 一直加到yn<i>yn</i>
- 那麽 這個也就等於y?y
- 我記得前十多還是二十多集影片講過的
- 不過就當好好複習一下了
- 所以利用這個性質
- 所以這倆點乘
- 就等於
- 其中的一個轉置乘以另一個
- 所以把這個外積
- 化成矩陣 矩陣積
- 於是這就相當於Cx轉置
- 可以把它看成一個1×n的矩陣
- 乘以一個n×1的矩陣
- 也就是行向量Cx
- 這倆一樣
- 現在 我們還知道(AB)轉置
- 等於(B轉置)(A轉置)
- 以前我們知道這個
- 所以在這裡就等於
- x轉置 C轉置
- 僅僅是改變順序然後都取逆
- x轉置乘以C轉置
- 然後乘以Cx
- 我們知道C的轉置
- 就等於C的逆
- 這裡我們就用到了C的正交性
- 這裡需要它是一個方陣
- 所有列都互相正交
- 而且都是標準化的
- 所以這個就變成
- 一個單位方陣
- 把單位方陣寫在這裡
- 不過這個會約掉
- 所以等於x轉置乘以x
- x轉置x 等於x?x
- 等於x長度的平方
- 所以Cx長度的平方就等於
- x長度的平方
- 所以 這就告訴我們 x的長度。。。
- Cx的長度就等於x的長度
- 因爲這些都是正的值
- 所以你們已經看到正交方陣
- 一定是保長的
- 那麽來看如果它是保角的
- 實際上我們應該定義角度
- 縱觀我們的數學學習中
- 我們理解在二維和三維空間裏的角度
- 但是在線性代數裏 我們喜歡考慮一般情形
- 我們用點積定義角度
- 我們用餘弦定理 而且對二維空間中的
- 三角形做類比
- 定義角度或者說
- v?w等於
- 兩個向量長度的乘積
- 乘以它們之間角度的餘弦
- 或者可以說
- 兩個向量的餘弦
- 我們定義成這兩個向量的點積
- 除以兩個向量的長度
- 根據這個定義可以擴展到
- 任意高維的空間中的角度
- 可以google一下
- 所以如果它保角
- 來看一下這個角度
- 如果用C乘以這個
- 那麽 如果--來看新的角
- 所以就是cos θc
- 一旦開始變換
- 我們來做一下變換
- 對於所有這些元素
- 得到Cv?Cw
- 除以Cv和Cw長度的乘積
- 我們已經知道它是保長的
- 已經知道Cw和Cv的長度
- 就是w和v
- 已經證過了
- 我來寫一下
- 所以θc的餘弦就等於Cv?Cw
- 除以v和w長度的乘積
- 因爲已經知道它保長
- 就可以知道上面這些
- 可以用一般結論
- 這個點積就等於
- 把這個看成矩陣來乘以第二個
- 就等於Cw轉置乘以Cv
- 所有的這些除以它們的長度
- 像這個w
- 這就等於--
- 我來寫在這兒吧
- 我們交換它們的順序然後取轉置
- 所以 就變成W轉置乘以C轉置乘以Cv
- 所有這些除以它們長度
- V和W長度的乘積
- 這是單位方陣
- 這是單位方陣
- 這個將等於w的轉置乘以v
- 除以它們長度的積
- v?w同理
- 這是v?w除以它們長度
- 也就是θ的餘弦
- 所以注意到 通過我們的定義
- 也就是角度是點積除以向量長度
- 可以知道當你做一個變換時
- 或者可以想象一個基底轉換
- 當它是一個正交方陣C時
- 被變換的向量之間的夾角不會改變
- 等於向量做變換前
- 角度的大小
- 這是非常漂亮的結果
- 正交變換
- 不會扭曲向量
- 只是對其做旋轉
- 或者移動
- 但是不改變之間的夾角