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- 讓我們看看能否
- 證明出更多有趣的轉置矩陣性質
- 假設有矩陣C 它等於
- 其余兩個矩陣 A和B的和
- 矩陣C中的任意項
- 可以下標爲Cij
- 放在第i行的第j列 就寫成cij
- 其中都每一項都是
- 矩陣A和B中
- 相應列的和
- 所以矩陣C中的ij項等於
- 矩陣A的第ij項加上矩陣B中第ij項之和
- 這是矩陣加法的定義
- 只要將在同一行同一列中的
- 相應項進行相加 就會得到
- 同一行和
- 同一列中的新的一項 新的矩陣
- 就是其余兩個矩陣的和
- 讓我們稍微想一下
- 這些東西的轉置矩陣
- 如果A是這個樣子的
- 我不會畫出所有的項
- 因爲可能永遠都寫不完
- 但其中每一項都可以寫成ij 就像這樣
- 假設A的轉置矩陣是這個樣子的
- 其中的每一項 我們稱之爲
- 如果你得到同樣的項
- 我們稱之爲 a'ij
- 這很可能不是一樣的
- 當然存在一樣的可能
- 但它們往往不是一樣的
- 這就是它的第ij項
- 表示在第i行和第j列
- 在A轉置矩陣當中
- 事實上轉置矩陣的意思就是
- 在某行和某列的
- 所有東西將會
- 變到那個位置
- 就是說行和列交換了
- 現在可以寫出 a'ij
- 可以再aji的位置找到相同的項
- aji可能在這個地方
- 所以這裡的此項 就是和在同樣位置的
- 此項 在行列互換條件下
- 將等於在此的一項
- 相信大家都能接受這個概念
- 這同樣適用於矩陣B
- 讓我畫出來
- 要寫出B的轉置矩陣的話
- 在第i行和第j列的項
- 稱之爲b'ij
- 就是這個樣子的
- 就像對A所做的一樣
- 可以說b'ij等於
- 選取矩陣B 在第j行和第i列的項
- 等於什麽呢？
- 這些就是
- 矩陣轉置的定義了
- 例如在第三行和第二列的項
- 轉置後就應該在
- 第二行第三列的位置
- 很簡單哈
- 知道cij等於什麽了
- 那cij的轉置矩陣等於什麽呢？
- 讓我寫出來
- 讓我把矩陣C的轉置寫在這裡
- C轉置等於
- 我將使用同樣的概念
- '符號就是指
- 轉置矩陣中的項
- 所以轉置矩陣C就是
- 一大堆項 ij
- 我將寫一個小' 以表示
- 轉置矩陣的項
- 而不是在C本身之中
- c'ij是等於cji的
- 一點新的內容都沒有
- 此前已經稍微表達了對這三個
- 矩陣轉置的定義
- cji等於什麽呢？
- 現在稍微深究一下
- cji等於什麽呢？
- 我們知道 cij=aij+bij
- 如果交換下標
- 這就等於
- 只需要將j和i互換
- aji加上bji
- 我只是在運用這裡的信息
- 你大致可以將其看成
- 這裡假設或者這個定義
- 從這裡到這裡
- 如果我這裡有一個x和y 在就會在這裡x和y
- 這裡也有x和y
- 這裡有j和i
- 所以在那裏就有j和i
- 和在這裡的j和i
- 這些是什麽呢？
- 這些等於什麽呢？
- 這就等於。。。
- 這個東西就等於 用綠色來做
- 就等於a'ij
- 而這個就等於
- 轉置後的b'ij
- 這說明什麽問題呢？
- 告訴了我們 C轉置 C=A+B
- 也就是說 (A+B)轉置
- 等於C轉置
- 讓我這樣寫
- C轉置=(A+B)轉置
- 所以這些的就是
- (A+B)轉置中的項
- 在那裏的是什麽？
- 這是什麽？
- 這些就是項
- 在這裡寫一個等號
- 等於什麽？
- 這些就是在A轉置和B轉置中的項
- 對吧？
- 這些是在A轉置中的項
- 這些是在B轉置中的項
- 要求和的話 只需要將
- 相應的項相加就可以了
- 所以很簡單直接地就能告訴大家
- 如果有兩個矩陣的話
- 然後求其轉置矩陣 其結果等於
- 首先對其轉置 然後再求和
- 這是一個十分簡潔的結果
- 再做一個例子的話 就能講完
- 所有轉置矩陣的性質了
- 假設有A的逆矩陣
- 這個情況稍微有些不一樣
- 我們仍然要求轉置矩陣
- 如果知道A的逆矩陣就是矩陣A的逆
- 意味著A<i>(A逆)=I</i>
- 假設該爲一個n<i>n矩陣</i>
- 那是一個n維單位方陣
- A逆<i>A就等於</i>
- 單位方陣
- 現在 對等號兩邊
- 同時求轉置矩陣
- 我會對兩邊同時做
- 如果對等式兩邊同時
- 求轉置矩陣
- 就得到(A<i>(A逆))轉置</i>
- 等於I轉置
- I轉置等於什麽呢？
- 讓我將它畫出來
- 單位方陣式這個樣子的
- 沿著對角線的所有項都是1
- 其他位置上的項均爲0
- 可以將其看成是I11 I22
- 一直到Inn
- 其余所有均爲0
- 求轉置矩陣的時候
- 只是把兩邊的0調轉就可以了 對吧？
- 這些東西是不變的
- 也就是說求轉置矩陣的時候
- 對角線的項是不變的
- 所以I轉置就等於
- 單位方陣本身
- 當我們應用這東西的時候
- 讓我們用轉置矩陣作爲例子
- 若知道(A逆<i>A)轉置等於</i>
- I轉置 也就是等於
- 單位方陣本身
- 同時我們也知道對矩陣乘積求轉置
- 會得到什麽樣的結果
- 那就等於對乘積求轉置矩陣後的
- 逆矩陣形式
- 可以用(A逆)轉置
- 乘以A轉置
- 那就等於
- 單位方陣
- 可以對這裡做出同樣的處理
- 這將等於(A轉置)<i>A逆的轉置</i>
- 也就等於
- 單位方陣
- 這是一個十分有趣的表達式
- 事實上 如果用這個東西乘以
- A轉置就等於單位方陣
- 而A轉置乘以這個就等於單位方陣
- 也就是說 (A逆)轉置
- 就是(A轉置)逆
- 另一種表達方法就是
- 如果我用A轉置 求其逆矩陣
- 就等於這個東西
- 就等於(A逆)轉置
- 我們可以歸納出 轉置矩陣的另一個簡單的性質
- 求轉置逆方陣矩陣
- 就等同於求逆矩陣的轉置矩陣