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Linear Algebra: Determinants along other rows/cols : Finding the determinant by going along other rows or columns
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- 在上一集影片中 我們算了這個4×4的行列式
- 我們求出它的行列式等於7
- 我們用的方法是沿著第一行這麽下去
- 我們用了前幾集裏面我給的定義
- 其中我們用的是這個第一行
- 我可以在這寫出來
- 我們說 這個等於1乘以
- 行列式|0,2,0；1,2,3；3,0,0|
- 減去2乘以這個行列式
- 消掉這些東西
- 把這一行和這一列叉掉
- 剩下 |1,2,0；0,2,3；2,0,0|
- 然後我們有 +3 乘以它的子矩陣
- 這個我不用做了
- 就是擦掉這一行和這一列
- 然後 -4――保持更替正負號
- 乘以它的子矩陣的行列式
- 所以這個有很多項
- 這個展開會有很多項
- 叉掉這一行和這一列
- 得到 |1,0,2；0,1,2；2,3,0|
- 我就寫在這裡
- 就是 |1,0,2；0,1,2；2,3,0|
- 這是一個很合理的方法
- 來求行列式
- 這是我們對
- 如何求行列式的定義
- 不過這節課我要講的是
- 求行列式不止一種方法
- 我要講的這種方法是
- 和我們沿著第一行做的方法是一樣的
- 實際上我們可以沿著這個行列式或矩陣的
- 任意一列或一行來做
- 這麽做很有用的原因是
- 因爲我們可以選擇行列中
- 有很多個零的來做
- 因爲這樣會使計算簡化很多
- 那麽我們要做的第一件事
- 在你著手選擇
- 任意的行列之前
- 我們說 比如 我們選這個
- 這個例子中我們做一行和一列
- 那麽我們說 我們沿著這行做
- 因爲我們喜歡它有很多0
- 你要做的第一件事是記住這個規律
- 記住 你要更替係數的正負號
- 不僅僅是沿著一行的時候要換符號
- 沿著一列的時候也要換符號
- 那麽4×4的總體規律是像這樣
- 就是 + - + -，
- 和 - + - +
- 然後你得到 + -，- +，+
- （接上）-，- +
- 這個就是棋盤圖的規律
- 如果你要求出任意ij的符號
- 那麽我們說你想要求出
- 這個2,2的符號
- 那麽如果你要找到它的符號是什麽
- 我這麽寫吧
- 我們有一個公式 我來定義一下這個公式
- 我想這個棋盤格的規律你已經很清楚了
- 我在這裡寫下來
- 我們說我想要求出這個的符號
- 這個符號不是三角函數
- 我們要求出這個元素的符號
- 其中你給出了i和j
- 你可以做的就是僅僅用-1
- 的i+j次方
- 那麽如果你想要找出它的符號
- 我們說 你在第4行第2列
- 第4行 第2列
- 那麽這個是什麽？
- 就是4+2
- (-1)^6等於1
- 那麽它的符號就是+1
- 我們說你想要求這個東東
- 那麽這個是i等於2
- j等於3
- 我們在第2行 第3列
- 2+3等於5
- (-1)^5等於-1
- 然後這裡就是負號
- 那麽這是另一個思考方法
- 不過棋盤格很直觀了
- 那麽現在你有了一個棋盤格
- 在你的思維裏 我們沿著這一行
- 我們沿著這一行
- 那麽我們從這個2開始
- 不過要注意我們要用負號
- 因爲這裡是 + - + -
- 那麽你這裡有一個-2乘以
- 它的子矩陣的行列式
- 那麽你擦掉這一行和這一列
- 然後剩下的就是這個矩陣了
- 就是 [2,3,4；0,2,0；1,2,3]
- 這個是 - 然後是 +
- 得到 +3 乘以
- 忽略它所在的行列
- 然後得到 1,1,0
- 對的 1,1,0
- 就是這個
- 然後是 3,2,2
- 然後是 4,0,3
- 然後你有一個 -0 乘以
- 它的子矩陣加上一個0
- 不過這個可以忽略掉
- 因爲0乘任何東西都是0
- 那麽我們已經簡化我們的行列式很多了
- 那麽我們看看我們能不能算出
- 同樣的結果
- 因爲只有那樣才能合理地滿足
- 那麽這個的行列式是什麽？
- 我們可以用完全一樣的規則
- 我們可以沿著任意行列
- 這個看起來相當簡單了
- 那麽我們用這行做
- 因爲這一行看起來格外簡單
- 那麽這個就是-2
- 就是這個 -2 乘以
- 這個東東的行列式
- 那麽這個東東的行列式 我們只用繼續做下去
- 然後說 好 我們有一個+ 我們有一個-
- 然後又是+
- 這個是-0 乘以它的子行列式
- 我猜可以這麽叫
- 消掉這行這列或者這一列和這一行
- 那麽這個是-0 乘以 隨便什麽東西
- 這個就是 0+2 而已
- 那麽 +2 乘以這個行列式
- 消掉它所在的行列
- 剩下 |2,4；1,3|
- 然後你得到一個 -0 乘以這個東西
- 不過誰在意它呢 因爲它是0來乘
- 那麽化簡成這樣很好了
- 我像那樣寫
- 然後你得到 +3 乘以這個東西
- 我們不想用第一行來做
- 這一行沒有0
- 我們至少用這行來
- 至少有一點不一樣
- 實際上沒有一列看起來有這麽有趣
- 它們都 最多 有一個0
- 那麽如果我們做這裡那個 它的符號是 + -
- （接上） + - +
- 我們得到一個 +0 乘以 |3,4；2,0|
- 這個可以忽略了
- -2 乘以這個行列式
- 消掉這一列 這一行
- 我要很小心
- 我這裡放的是-號
- 不過這個不是-1
- 我把它寫成――我要保證
- 我不會粗心在這裡出錯
- 這是+1
- 剛才我寫的是-1
- 來讓你們看到符號是怎麽更替的
- 那麽這個是 3 乘以
- 那麽我們沿著――這裡這個是3
- 我已經無法忍受這個-號了
- 我們試著求出這個的行列式
- 那麽這是0乘以這個矩陣
- 我們可以忽略了
- -2 乘以它的子矩陣
- 就是那個和那個
- 就是 |1,4；1,0|
- 然後你有一個 +3 乘以它的子矩陣
- 就是|1,3；1,2|
- 就是這樣
- 我們看看這個能不能化簡
- 2<i>3等於6-1<i>4</i></i>
- 那麽這個是6-4
- 就是2
- 那麽這整個東西化簡就是2<i>2=4</i>
- 4乘-2
- 整個東西化簡後是-8
- 現在 這裡這個東西 我們有1<i>0=0</i>
- -1乘4
- 這個是-4乘-2
- 這整個東西就是+8
- 你得到 1<i>2=2 -1<i>3</i></i>
- 等於-3
- 那麽得到-1
- 那麽這個就是負的――我是說你得到2-3
- -1乘3
- 那麽這個是-3
- 那麽你得到8-3
- 這裡就是-5
- 你得到3乘-5這裡
- 那麽 3<i>(-5)=-15</i>
- 我們要確保――額 這是個愚蠢的錯誤
- 如果你有個8-3 這個是8 這個是減
- 這個等於5
- 很簡單
- 你的腦子要燒掉了
- 如果長時間這麽做下去的話
- 而你有一個3<i>5=15</i>
- 得到15
- 然後得到15
- 這一項加這一項是15-8
- 等於7
- 就是 很幸運的 我僅僅避開了
- 一個小錯誤 然後我們得到了正確的答案
- 不過比起我們上一集的計算來說
- 要簡化很多了
- 而它簡化了很多 是因爲我們選擇了一行
- 有很多的0在其中
- 所以我們只用其中兩項來算而不是四項
- 像在上集裏那樣
- 而你也可以一樣來做 選擇一列
- 有很多個0的
- 你只要保證你總是
- 用的是棋盤圖的規則