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- 我們現在擁有了
- 用來理解Rn的線性次空間的工具
- 我寫下來
- 我們常稱其爲Rn的一個次空間
- 我們處理的東西都是線性的
- Rn的次空間
- 我要在這裡給出定義
- 假設已知向量組V
- V是向量的子集合 即Rn的某個子集合
- 我們已經講過 當考慮Rn時
- 把它看做是無窮大的向量集合
- 其中的每個向量都含有n個分量
- 我不給出正式的定義
- 它就是向量的集合
- 我的意思是有時候
- 我們把它看做多維空間
- 但是如果我們想
- 進行抽象的描述
- 則它就是所有向量的集合
- 它是一個集合――
- 可以記分量爲x1 x2 直到xn――
- 其中的每一項
- 每一個xi 對於任意的i
- 都是實數集中的一員
- 對嗎？
- 這就是Rn的定義
- 它就是包含所有向量的巨大的集合
- 一個無限大的集合
- 對於V 我稱之爲
- 我稱之爲Rn的一個子集
- 這意味著――
- 它可以是所有的向量
- 我一會兒會講解
- 也可以是這些向量的一個子集
- 也許它是所有向量去掉某個向量
- 爲了使V稱爲次空間――
- 我已經說了它是Rn的一個次空間
- 這可能會有幫助
- 如果這個小圓圈代表Rn
- 這是Rn中所有向量的集合
- V是它的一個子集
- 它可以是整個的Rn
- 我一會在說明
- 假設這個代表V
- V是這些向量的一個子集合
- 若要使V稱爲一個次空間
- 下面是定義 如果V是次空間
- 或者說是Rn的線性次空間
- 這是定義 它要滿足三個條件
- 受限V中要包含0向量
- 這是0向量
- 每個分量都是0 總共有n個0
- V要包含0向量
- 這應該是大寫的V
- 如果對於V中的某個向量x
- 我寫下來 如果向量x在V中
- 如果x是V中的一個向量
- 那麽當對x乘以任何實數時
- 如果x在V中
- 要使得V是Rn的一個次空間
- 那麽就需要x乘以任何純量後仍在V中
- 這是滿足的第二個條件
- 這個性質大家應該很熟悉
- 這就是封閉性
- 對於集合中的任何元素
- 這表示對數乘的封閉性
- 我換一種顏色寫出來――
- 這是對於數乘的封閉性
- 以下是一種通俗的解釋
- 如果取集合中的一個元素
- 將它乘以一個純量
- 結果仍在這個集合中
- 如果乘以一個純量之後
- 結果不在原集合中
- 如果得到的向量
- 不在原集合中
- 那麽它就不是一個次空間
- 爲了使它成爲一個次空間
- 如果將子集中的每個向量乘以一個實數
- 我是在實數係中定義的次空間
- 如果將它乘以任意的實數
- 我會得到這個子集中的另一個元素
- 這是需要滿足的第二個條件
- 第三個條件是 如果取兩個向量
- 比如說這是向量a
- 這是向量b
- 這是使得V是次空間的
- 第三個必要條件
- 如果a在―― 抱歉――
- 如果向量a在集合V中
- 並且b也在集合V中
- 要使得Rn是一個次空間
- 就需要a+b也在V中
- 這是對於加法的封閉性
- 我寫下來
- 加法的封閉性
- 以下是通俗的理解方法
- 如果已知子集中的兩個元素
- 將它們相加――
- 這是子集中的任意兩個元素――
- 將它們相加
- 則它們的和也在原子集中
- 這就是對於加法的封閉性
- 就是說當對集合中的兩個向量相加時
- 其得到的向量仍在這個集合中
- 得到的向量
- 不會在集合之外
- 若有一個Rn的子集
- 即Rn中的一些向量構成的子集
- 其中包含0向量
- 並且滿足對數乘和加法的封閉性
- 則其構成一個次空間
- 故次空間需要滿足這些條件
- 並且滿足這些條件的空間是次空間
- 這就是次空間的定義
- 這可能有些太抽象了
- 我們來做一些例子
- 我不知道通過這些例題
- 是否能夠讓大家了解得更透徹
- 但我認爲如果訓練足夠多
- 那麽你就能對次空間
- 形成一種直觀的感覺
- 我們來做些例題
- 因爲我要保持
- 數學上相對的正規性
- 比如已知最基本的集合
- 對於向量的集合
- 其中只含有一個向量 就是0向量
- 我寫一個粗體的0
- 或者也可以這麽寫
- 集合中的唯一向量是0向量
- 那麽
- 我們在空間R3中討論
- 從而R3中的0向量就像這樣
- 我要知道的是
- 已知的集合V是否是R3的次空間
- 要想其成爲次空間必須滿足三個條件
- 它要包含0向量
- 其實集合中的唯一元素就是0向量
- 故其確實含有0向量
- 含有0向量 滿足
- 那麽它對數乘封閉嗎？
- 這意味著 如果取集合中的任何元素
- 其實只有一個元素
- 然後將其乘以一個純量
- 應該得到這個集合中其他向量
- 或者得到原向量本身
- 我們看 這個集合中僅有一個向量
- 所以取集合中的一個元素 即0向量
- 將其乘以任意純量
- 得到什麽呢？
- 得到c乘以0
- 結果還是0
- 得到的結果就是僅有的這個向量
- 它是封閉的
- 所以說它對數乘封閉
- 也可以對這個向量乘以任何純量
- 得到的結果肯定還是這個
- 得到的結果總是0向量
- 這個條件也滿足
- 那麽它對加法封閉嗎？
- 如果對向量本身加上該集合中的任意元素
- 其實集合中僅有一個向量
- 要加上集合中的另一個元素
- 我們只有一個選擇
- 如果加上它 能得到什麽？
- 結果是這樣的
- 結果還是這個
- 故其對加法滿足封閉性
- 這條也滿足
- 所以得出結論
- 這個R3的平凡的子集
- 它含有0向量 它是一個次空間
- 雖然它是一個平凡的次空間
- 但是它確實滿足次空間定義的條件
- 無論對集合中的元素進行怎樣的處理
- 它都不會跑到次空間外面去
- 也就是說
- 它對數乘和加法封閉
- 我們再來做一道例題
- 這可能是你能夠理解更加清楚
- 這是一個關於
- 不構成次空間的例子
- 這是坐標軸
- 若已知某個子集
- 我們不知道它是否能構成次空間
- 稱這個集合爲S
- 它等於向量[x1,x2]
- 這是R2中的某個向量
- 我要加一些限制條件
- 即x1大於等於0
- 所以這個集合包含R2中
- 所有第一分量大於等於0的向量
- 如果作個圖 將會是什麽樣呢？
- 我們會得到一些東西
- 我們可以沿著任何方向移動
- 對嗎？
- 可以任意上下移動
- 但是有限制條件
- 即這些要大於等於0
- 所以所有的第一個坐標
- 都大於等於0
- 對於這個分量 我們可以上下任意移動
- 這是R2的一個子集
- R2是整個的笛卡爾坐標平面
- 這個R2的子集包括所有的縱坐標
- 常簡稱爲y坐標
- 它包括所有縱坐標
- 以及第一和第四象限
- 希望你還記得象限的方位
- 這是第一象限
- 這是第四象限
- 現在的問題是 S是否是R2的次空間
- 第一個問題 它是否包含0向量？
- 在R2空間的情形
- 就是它是否包含[0,0]？
- 顯然
- 它包含[0,0]
- 已知x大於等於0
- 所以第一個分量可以是0
- 而第二個分量沒有限制條件
- 故向量[0,0]
- 一定在集合S中
- 第一個條件滿足
- 我們繼續進行
- 如果將集合中的任意兩個向量相加
- 其結果是否還在這個集合中？
- 我來舉幾個例子
- 這不是證明
- 如果將這兩個向量相加
- 會得到什麽？
- 把這個放到上面 得到這個向量
- 將兩個向量相加
- 得到什麽？
- 將它們首尾相接
- 會得到這樣一個向量
- 我正式將它寫出來
- 比如已知
- 集合中的兩個向量
- 假設第一個是[a,b]
- 將它加上[c,d] 結果是多少？
- 得到a+c―― 這裡是d――
- 下面是b+d
- 由於這一項大於0
- 這一項也大於0
- 這是集合的限制條件
- 如果這兩項都大於0
- 並將它們相加
- 那麽這一項就大於0
- 我們不用管這一項
- 它可以是任何東西
- 我們沒有對第二個分量
- 加任何的限制條件
- 因此它對加法封閉
- 那麽對數乘是否封閉呢？
- 考慮一個特殊的情況
- 取向量[a,b]
- 已知向量[a,b]
- 取任意的實純量
- 任意的實純量
- 比如將其乘以-1
- 乘以-1
- 乘以-1之後 得到[-a,-b]
- 如果把它畫出來 如果這是――
- 令[a,b]=[2,4]
- 就像這樣
- 對它乘以-1之後得到什麽？
- 得到[-a,-b]
- 得到這個向量
- 顯然能夠看出它在限制區域之外
- 如果把它看成位置向量的話
- 它落在次空間之外
- 或者不用從圖像中觀察
- 而是從理論上考慮
- 如果這項是正的
- 那麽這一項――
- 我們先假設這是正的
- 它一定不爲0
- 它一定是一個正數
- 那麽這一項一定是負數
- 當對其乘以-1時
- 對於它的任意一個元素
- 都不爲0
- 最終得到的結果
- 落在次空間之外
- 結果不是原集合中的一員
- 因爲集合中的元素要滿足
- 第一個分量大於0
- 而這裡的第一個分量少於0
- 所以我畫出的這個R2的子集
- 不是一個次空間 爲什麽呢？
- 因爲它對
- 數乘不封閉
- 從而它不是R2的次空間
- 現在我要問一個有趣的問題
- 某些向量張成的空間是什麽？
- 比如說要求
- v1 v2 v3張成的空間
- 我不告訴你
- 這些向測定工具體有幾個分量
- 它是Rn的一個次空間嗎？
- 其中n是每個向量
- 所含有的分量數
- 我們選一個元素
- 我們定義U爲――
- 這些線性組合張成的空間中所有向量的集合
- 定義U爲張成的空間
- 要確定U是否是一個次空間？
- 我們這麽考慮
- 在U中隨機取一個元素
- 這個集合含有0向量嗎？
- 當然
- 如果對所有這些向量乘以0
- 比如0<i>v1+0<i>v2</i></i>
- 這些都是向量
- 我們剛剛有把它們加粗
- 再加上0<i>v3</i>
- 就得到0向量
- 所有項都是0
- 所以它一定含有0向量
- 這是三個向量的線性組合
- 它在張成的線性空間中
- 現在從中任意取一些向量
- 爲了保證它是集合中的成員
- 意味著你可以表示――
- 稱之爲向量x――
- 這意味著它可以用
- 這些向量的線性組合表出
- 線性組合
- 是c1<i>v1+c2<i>v2+c3<i>v3</i></i></i>
- 對嗎？
- 我表示出了x
- 它是集合中的成員
- 所以它可以由
- 這三個向量的線性組合表出
- 那麽它對數乘封閉嗎？
- 我將它乘以
- 任意的常數
- c<i>x是多少？</i>
- 我向下移動一下
- c<i>x等於多少？</i>
- 我換一個不同的記號
- 將它乘以任意的常數a
- a<i>x等於多少？</i>
- a乘以c1乘以v1――
- 我就是將等式兩邊同時乘以a――
- a<i>c2<i>v2 加上a<i>c3<i>v3</i></i></i></i>
- 對嗎？
- 它是任意的常數
- 這是另一個任意的常數
- 這是另一個任意的常數
- 這是另一個任意的常數
- 我要聲明
- 我所做的就是
- 將等式兩邊乘以一個純量
- 顯然 這裡的表達式
- 我可以將它改寫
- 改寫成c4<i>v1+c5<i>v2</i></i>
- 其中這是c5 這是c4
- 再加上c6<i>v3</i>
- 這是這三個向量的
- 另一個線性組合
- 所以這是這三個向量的線性組合
- 張成的空間
- 顯然這是其中的一個線性組合
- 它在張成的線性空間中
- 這項也在U中
- 它在那三個向量張成的空間中
- 所以它對數乘封閉
- 下面要說明它對加法封閉
- 然後就能知道――
- 這個例子是三維的
- 但是如果向量張成的空間是次空間
- 則你可以將它拓展到n維的情況
- 我來證明
- 這裡已經定義了x
- 再定義U中的另一個向量
- 它可以寫成這三個向量的線性組合
- 令它等於
- d1乘以v1
- 加上d2乘以v2 加上d3乘以v3
- 那麽x+y是多少？
- 兩個向量相加 結果是多少？
- 簡單地相加即可
- x+y表示這一項加上這一項
- 它等於多少？
- 將它們相加會得到
- 式子(c1+d1)<i>v1+(c2+d2)<i>v2</i></i>
- 再加上(c3+d3)<i>v3 對嗎？</i>
- 這裡有個v3 這裡也有個v3
- 將它們的係數相加
- 顯然它是另一個線性組合
- 這些都是常數
- 這是任意的常數
- 這是任意的常數
- 這是任意的常數
- 所以這項就是v1 v2 v3的
- 線性組合
- 有定義可得
- 它是v1 v2 v3張成的空間
- 因此它對加法封閉
- 現在你也許會說
- 你講的是
- 任何向量張成空間是次空間
- 我具體舉一個例子
- 例如取由一個向量張成的空間
- 定義U是由
- 這個向量張成的空間
- 舉個簡單的數
- 假設這個向量是[1,1]
- 顯然它不是一個次空間
- 從圖像上來考慮
- 向量[1,1]是什麽樣子呢？
- 向量[1,1]就像這樣
- 對嗎？
- 而向量[1,1]張成的空間是――
- 它處在標準位置――
- 向量[1,1]張成的空間
- 是這些向量的所有線性組合
- 我們沒有別的項可加了
- 所以這就是
- 原向量伸縮後的形式
- 如果將它按比例放大
- 則得到的向量就像這樣
- 如果將它縮小
- 則得到的向量就像這樣
- 如果進入負的區域
- 用不同的數值乘以這個向量
- 將它們都化成
- 標注形式
- 則會得到
- 這樣的一條直線
- 你可能覺得它不像這個次空間
- 那我們就來驗證條件
- 顯然它包含0向量
- 我們可以將它乘以0
- 它張成的空間就是對原向量進行伸縮
- 如果還有其他向量
- 可以將它們加起來
- 但顯然這是0向量
- 所以說它含有0向量
- 那麽它對數乘封閉嗎？
- 張成的空間是所有這些向量的集合
- 如果對c取任意的實數
- 將它乘以[1,1]
- 這就是張成的空間
- 顯然 將它乘以任意的數值
- 則它就會等於張成空間中的其他向量
- 最後驗證它是否對加法滿足封閉性
- 對於張成空間中的任意兩個向量
- 假設已知空間中的向量a
- 可以將它
- 用某個純量c1乘以向量[1,1]表出
- 又已知另一個向量b
- 我可以用c2乘以向量[1,1]
- 將它表出
- 那麽這等於什麽呢？
- 它等於
- 它本質上等於――
- 我需要一些空間――
- 它等於(c1+c2)乘以向量[1,1]
- 這是顯然的
- 顯然它在張成的空間中
- 它就是這個向量按比例伸長
- 這項也在張成的空間中
- 它也是這個向量按比例伸長
- 並且這項也在這個向量張成的空間中
- 因爲這是另一個純量
- 可以稱之爲c3
- 從圖像上考慮
- 如果取這個向量
- 將它加上這個向量
- 即將它們首尾相接
- 就會得到這個向量
- 這個綠色的向量
- 不知道你是否能看清
- 我用紅色來寫
- 結果得到這個向量
- 你可以將這條直線上的
- 任何兩個向量相加
- 結果得出的向量還會在這條直線上
- 這條直線上的任何向量乘以一個純量之後
- 其結果將會等於這條直線上的另一個向量
- 所以它對數乘是封閉的
- 對加法也是封閉的
- 並且還包含0向量
- 所以這個簡單的空間是一個次空間
- 這也支持了上述觀點
- 一般地
- 我可以令其爲n個向量的集合
- 在這選出三個向量
- 也可以選n個向量
- 討論的方法相同
- 那麽這n個向量張成的空間
- 就是Rn的一個次空間
- 我已經在那做過說明