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Lin Alg: Showing that A-transpose x A is invertible : Showing that (transpose of A)(A) is invertible if A has linearly independent columns
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- 好的
- 假設有矩陣A
- 它是一個n×k矩陣
- 它不是一個任意的n×k矩陣
- 我們要求這個矩陣A的列
- 是線性獨立的
- 從而有a1 a2 一直到ak
- 它們是線性獨立的
- 它們是線性獨立的行向量
- 我寫下來
- a1 a2等等 A的所有行向量
- 一直到ak 它們是線性獨立的
- 這意味著什麽？
- 這意味著
- 式x1a1+x2a2+...+xkak=0的唯一解
- 它的唯一的解
- 是所有的x都等於0
- 就是說所有的xi都等於0
- 這是由線性獨立所推出的
- 另一種寫法是
- 對於這個方程的所有解
- 即未知數是[x1,x2,...,xk] 右邊等於0
- 這個方程的所有解
- 所有的這些x都必須爲0
- 這是另一種表達方式
- 我們見過很多次了
- 這是個0向量
- 如果所有這些都爲0
- 這就表明
- Ax=0的唯一解
- 就是x等於0向量
- 或者說――
- 這是由於
- 這些行向量線性獨立
- 我們由行向量的線性獨立性
- 可以推出
- 由於Ax=0的唯一解
- 是x=0
- 於是我們知道A的零核空間
- 一定等於0向量
- 或者說它是一個僅含有0向量的集合
- 以上是一些複習
- 對於n×k
- 我們不知道它的維數
- 它可能是一個方陣
- 我們也不知道
- 它是否是可逆的
- 但是我們可以用它來構建一個可逆方陣
- 我們來研究A的轉置乘以A
- 即A'A
- A是一個n×k矩陣
- 於是A'就是一個k×n矩陣
- 從而A'A就是一個k×k矩陣
- 它是一個方陣
- 這對於構造可逆方陣來說
- 是個很好的開始
- 我們看看它是否是可逆的
- 關於A 我們什麽信息也不知道
- 我們只知道它的行向量是線性獨立的
- 我們看看A'A是否可逆
- 本質上 要證明它是可逆的
- 如果我們可以證明
- 它的所有行向量是線性獨立的
- 那麽我們就知道它是可逆的
- 如果我們有―― 在影片的結尾
- 我還會回到這裡
- 如果已知一個方陣
- 其行向量線性獨立――
- 注意 線性獨立的列
- 當你把它們化成行階梯形式時
- 它們是與主列相聯係的
- 如果有一個方陣
- 那麽就有――
- 如果是個k×k矩陣
- 這意味著――
- 一個矩陣的行簡化階梯形
- 會有k個主列 並且是k×k的
- 是一個k×k的方陣
- 這是唯一一個有k個主列的k×k矩陣
- 這是一個單位方陣
- k×k的單位方陣
- 如果在化爲行簡化階梯形過程中
- 並且得到單位方陣
- 這意味著該矩陣可逆
- 我把這留在結尾再說
- 我只是想告訴你
- 如果可以證明――
- 我們已經知道這是個方陣
- 即A'A是一個方陣
- 如果可以證明
- 若A的行向量線性獨立
- 則A轉置乘以A
- 其行向量依然線性獨立
- 若行向量線性獨立
- 則它是個方陣
- 這表明當我們將它
- 化成行最簡階梯形時
- 會得到單位方陣
- 這表明這個矩陣是可逆的
- 我們來看看是否可以證明
- 這個矩陣的所有行向量是線性獨立的
- 假設有向量v
- 假設向量v屬於
- A'A的零核空間
- 這意味著如果我取
- A'A 乘以向量v
- 會得到0向量
- 對嗎？
- 如果我在等式兩邊
- 同時乘以這個家夥的轉置會得到什麽？
- 我會得到v轉置――
- 我寫在這裡
- 在這邊乘以v的轉置
- 在這邊也乘以v的轉置
- 你可以將它看做是矩陣與向量的乘積
- 對嗎？
- 一般地
- 如果用一個行向量乘以一個行向量
- 其本質上就是在做點積
- 所以這個方程的右邊
- 就是用0向量點乘任何向量
- 結果總是0向量
- 那麽等式左邊是多少呢？
- 我們曾經見過
- 如果有轉置―― 我們可以將它看作
- 盡管這是一個向量的轉置
- 你仍可以將它看作――
- 它是一個行向量
- 但你可以將它看作一個矩陣
- 對嗎？
- 假設v是k×1矩陣
- 於是v轉置就是1×k矩陣
- 我們曾經介紹過
- 它等於顛倒之後的乘積
- 等於顛倒之後的乘積的轉置
- 如果取這兩項的乘積 並做轉置
- 它就等於這兩個矩陣分別做轉置
- 再顛倒相乘
- 由此 我們可以將這項用下述項代替
- 即(Av)的轉置――
- 我們將這個向量乘以Av
- 就是乘以這個向量
- 結果等於0向量
- 這項是多少？
- 如果取向量的轉置
- 這是一個向量
- 注意 雖然我有
- 這裡的矩陣和向量的乘積
- 但是當用一個矩陣乘以這個向量時
- 其結果是另外一個向量
- 這是一個向量 這也是一個向量
- 如果取某個向量
- 用它的轉置乘以它本身――
- 我們之前講過
- 這就等於y・y
- 兩個表示方法是等價的
- 所以這裡這項就等於(av)・(av)
- 那麽右邊等於多少呢？
- 右邊等於0
- 這裡我要做一個修正
- 當我用v轉置乘以0向量時
- v轉置有k個元素
- 並且0向量
- 也有k個元素
- 當我取這個類似點積的乘積時
- 就是在做v・0
- 所以說這是v和0向量做點積
- 結果是0 這個0是純量
- 這個值是純量的0
- 我應該講明白了
- 否則的話就沒有意義了
- 對於等式右邊
- 當我用0向量
- 乘以v的轉置時
- 得到的是純量的0
- 而不是0向量
- 所以(av)・(av)=0
- 或者可以說
- av長度的平方等於0
- 這表明av必然等於0
- 長度爲0的向量一定是0向量
- 對於av―― 我換一種顏色
- 這個顏色用得太久了
- 我們知道av一定等於0
- 等於0向量
- 它一定等於0向量
- 因爲它的長度是0
- 下面我們從這裡開始
- 假設v屬於A'A零核空間
- v可以是其中的任意一個元素
- 由這個假設表明
- v也屬於
- A的零核空間
- 意味這裡有av=0
- 我寫下來
- 如果v屬於A'A的零核空間
- 那麽v也屬於A的零核空間
- 對於A的零核空間
- 因爲A的行向量線性獨立
- 所以其中只含有一個向量
- 即只含有0向量
- 如果這項屬於
- A'A的零核空間
- 從而它也屬於A的零核空間
- 那麽它就只能是一個向量
- 這裡只含有一個元素
- 從而v一定等於0向量
- 換句話說
- A'A的零核空間中任何向量v
- 一定是0向量
- A'A的零核空間
- 等於A的零核空間
- 等於僅含有0向量的集合
- 這對我們有什麽用呢？
- 這表明A'Ax=0的
- 唯一解
- 就是0向量
- 唯一解就是x=0
- 對嗎？
- 因爲A'A的零核空間
- 就等於A的零核空間
- 其中只含有0向量
- 零核空間就是這個方程的唯一解
- 所以如果這就是唯一的解
- 就意味著A'的行向量
- 是線性獨立的
- 你可以
- 通過對x賦予權重
- 寫出行向量的所有線性組合
- 我們開始時已經做過
- 這與上述情形類似
- 如果所有的行向量是線性獨立的
- 那麽就有
- A'A的行向量線性獨立
- 並且它是一個方陣
- 這是由定義得到的
- 現在我們知道對於A'A
- 如果對它―― 我這麽做
- 這表明A'的行簡化階梯形
- 將會等於
- k×k單位方陣
- 這表明A'A是可逆的
- 這是個簡單的結果
- 我由一個矩陣出發
- 它的行向量是線性獨立的
- 它不是一個任意的矩陣
- 不是隨便什麽矩陣都可以
- 要求它的行向量必須是線性獨立的
- 但其維數可以任意
- 不要求必須是方陣
- 當我可以構建出一個方陣
- 就是A'A
- 現在我們知道
- 它的行向量也是線性獨立的
- 它是一個方陣
- 並且它是可逆的