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Normal vector from plane equation : Figuring out a normal vector to a plane from its equation
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- 本節課我們的任務是
- 在給出平面方程的情況下
- 如何求出這個平面的
- 法向量
- 我們先給出一個平面
- 我們從這裡開始――
- 我大致畫出一個平面
- 顯然它是向四周延伸的
- 假設已知這個平面
- 假設已知該平面的一個法向量
- 這就是平面的法向量
- 它等於ai+bj+ck
- 這就是平面的法向量
- 假設我們已知―― 這個法向量
- 垂直於平面上的任何向量
- 假設已知平面上一點
- 我們已知某個點
- 坐標是xp
- 這裡的下標p代表平面(plane)
- 所以這是平面上一點(xp,yp,zp)
- 我們選取一個原點
- 假設這是坐標軸
- 我來畫出中軸線
- 假設這個中軸線就像這樣
- 這是z軸 這是y軸
- 這是y軸
- x軸是這樣出來的
- 這是x軸
- 你可以把它化簡成位置向量
- 這是位置向量 我把它化成這樣
- 我畫成這樣
- 它的一部分在平面後面
- 已知一個位置向量
- 這個位置向量就是xpi+ypi+zpk
- 它指定了這個坐標
- 這個在平面上的坐標
- 我給它命個名
- 就稱之爲位置向量
- 稱它爲p1
- 它是平面上一點
- 這是p1
- 它等於這項
- 我們可以在平面上另取一點
- 這是特別爲……
- 我們剛提到平面上的任何其他的點(x,y,z)
- 我們知道(x,y,z)在平面上
- 所以我們取這點爲(x,y,z)
- 這表明它可以由
- 另一個位置向量表示
- 這個位置向量就像這樣
- 我們用虛線
- 來表示在平面下方的部分
- 對於這個位置向量
- 我給它命個名
- 稱之爲點p 而不是那個特定的點p1
- 它就等於xi+yj+zk
- 我建立這個向量的原因是
- 在給定平面上某個特定點
- 以及給定平面上其他任一點(x,y,z)的
- 情況下
- 我要建立一個
- 在這個平面上的向量
- 我們之前學過
- 我們試著求出平面的方程
- 在這個平面上的向量
- 就等於這兩個向量之差
- 我用藍色的來寫
- 如果用黃色的向量減去綠色的向量
- 我們取這個向量
- 就會得到一個向量
- 如果這樣來看
- 這個向量連接這兩個點
- 雖然你平移了這個向量
- 但是依然能得到
- 在這個平面上的一個向量
- 甚至――
- 如果從這些點中的一個出發
- 它一定在這個平面上
- 從而這個向量就像這樣
- 它就在這個平面上
- 這個向量在這個平面上
- 這個向量是p-p1
- 這就是向量p-p1
- 它就是這個位置向量
- 減去這個位置向量
- 或者說這個綠色的位置向量
- 加上這個平面上的
- 藍色的位置向量
- 就等於這個黃色的向量
- 它們首尾相接 得到這個向量
- 我做這些的原因就是
- 現在我們可以取
- 藍色向量與紫紅色向量的內積
- 我們之前也做過
- 結果一定等於0
- 因爲這個向量在這個平面上
- 而這個向量垂直於平面上的任何向量
- 所以結果等於0
- 從而就得到了平面的方程
- 在我向下進行之前
- 我要確定一下
- 我們是否已知藍色向量的分量
- p-p1就是這個藍色的向量
- 我們只需將對應分量相減
- 結果就是
- 即等於(x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k
- 我們講過它在平面上
- 這個法向量
- 垂直於這個平面
- 取二者的內積
- 結果就等於0
- 也就是n點乘這個向量
- 結果等於0
- 它也等於 這個a乘以這個表達式
- 我在這裡做
- 我換一種好點的顏色
- a乘以這項
- 就等於ax-axp 加上b乘以這項
- 就是加上by-byp
- 我要確定有足夠多的顏色
- 然後加上這項乘以這項
- 就是加上cz-czp
- 所有這些等於0
- 現在我要做的是 我要將這個式子改寫一下
- 對於所有這些項
- 我要選對顏色
- 對於所有含ax的項
- 注意這是平面上滿足這個式子的
- 任何x
- 所以對於ax by和cz
- 把它們保留在等式右邊
- 從而有ax+by+cz等於――
- 我要做的是
- 在等式兩邊同時減去這些項
- 另一種方式是
- 我們它們移動到…… 我來做一下
- 不是很麻煩
- 我把它們移動到
- 等式的左邊
- 我在等式兩邊加上axp
- 也就等價於減去-axp
- 所以這等於正的axp
- 然後是byp加上
- 我們同樣用綠色來做
- 加上byp 最後加上czp
- 從而就等於右邊的式子
- 我這麽做的原因是――
- 我在之前的課上已經做過
- 我們試圖求出平面的表達式
- 或者說是平面的方程
- 現在你會說
- 如果已知一個法向量
- 並且知道平面上的一個點
- 假設爲(xp,yp,zp)
- 那我們就能快速求出平面的方程
- 但我要用另一種方式
- 我希望你能夠――
- 如果我給出
- 如果我給出
- 如果我給出平面的方程
- 假設是Ax+By+Cz=D
- 這是平面的一般方程
- 如果給出它
- 我希望你能夠
- 快速指出法向量
- 怎麽做呢？
- 這個ax+by+cz
- 與這一項完全是相似的
- 我把它重新寫一下
- 把這一項寫清楚
- 這項就是ax+by+cz
- 等於右邊所有的項
- 抱歉 是左邊的
- 我來複製粘貼一下
- 複製粘貼
- 我只是將方程左右調換了順序
- 但是你能看到所有這些項
- 這個a就是這個A 這個b就是這個B
- 這個c就是它
- 而D就相當於所有這些項
- 這項是一個數值
- 它就是一個數值
- 我們假設已知
- 法向量是多少
- 即已知a b和c
- 已知其具體的值
- 那麽這是什麽 這項就是D
- 這就是得到平面方程的方法
- 現在如果我給出平面的方程
- 那麽其法向量是多少？
- 我們剛才見過
- 對於法向量 這個a相當於這個A
- 這個b相當於這個B
- 這個c相當於這個C
- 開始給出的這個平面的法向量
- 它的分量是a b和c
- 所以如果已知平面的方程
- 則對於法向量
- 這個平面的法向量
- 就是Ai+Bj+Ck
- 如果給出了平面的方程
- 則法向量是很容易求的
- 我給大家舉個例子
- 如果已知
- 三維空間中的某個平面
- 假設這是-3
- 盡管這也適用於更高維的情形
- 假設有-3x
- 加上√(2y) 減去
- 或者說加上7z 等於π
- 這看上去很誇張 也不是很誇張吧
- 這是三維空間中的平面
- 那麽它的法向量是多少呢？
- 你可以逐個地
- 逐個地取這些係數
- 從而得到平面的法向量
- 就是-3i+√2j+7k
- 可以忽略D的部分
- 可以忽略它的原因是
- D只對平面有平移的作用
- 但是不會使得平面産生傾斜
- 所以如果這是個常數e或是100
- 對法向量都沒有影響
- 它垂直於所有這樣的平面
- 因爲這些平面相互可以通過平移得到
- 它們的傾斜程度是一樣的
- 所以它們的法向量的方向相同
- 它們的法向量指向
- 同一個方向
- 希望你覺得這對你有幫助
- 在此基礎上
- 可以定義三維空間中
- 或者平面中的任何兩點的距離
- 或者到平面上的最短距離