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- 我認爲到目前爲止
- 你應該對線性相關有了一定認識
- 下面我們給出關於線性相關的
- 更準確的定義
- 那麽對於一個向量的集合――
- 先來定義向量的集合
- 設向量集合s爲
- v1 v2 直到vn
- 稱其爲線性相關的
- 若且唯若
- 這有時也寫成
- if後面再加一個f
- 所以有時寫成iff
- 有時寫成雙箭頭的形式
- 若且唯若下面等式得到滿足
- 我可以得到集合c1<i>v1</i>
- 取向量的線性組合
- 直到cn<i>vn</i>
- 等式最終等於0
- 要滿足這個等式
- 有時也寫作粗體的0
- 有時可以寫成――
- 如果不知道具體維數的話
- 就等於含一堆0的向量
- 我們不知道每個向量中
- 含有多少個分量
- 但我想你能理解
- 已知的向量集合是線性相關的――
- 注意是相關 不是無關――
- 向量是線性相關的
- 若且唯若該等式成立
- 其中ci不同時爲0
- 關鍵點是“不同時爲0”
- 換句話說
- 至少有一個不爲0
- 關於這種等式
- 我在之前的影片中討論過
- 稱一個集合是線性相關的
- 如果其中有一個向量
- 可以由其他向量的線性組合表出
- 我寫下來
- 我說過 一個向量可以――
- 我這麽寫吧
- 一個向量可以由
- 其他向量表出
- 我可以這麽寫
- 我寫得有點數學化了
- 在上個影片中
- 我講過線性相關意味著――
- 我任取向量v1
- v1是任取的
- v1可以由其他向量的組合
- 表示出來
- 它等於a1乘以v―― 我要仔細一些――
- 等於a2<i>v2+a3<i>v3</i></i>
- 一直加到an<i>vn</i>
- 這是之前講過的
- 如果這是線性相關的
- 這裡的任一個向量
- 都可以由其他向量的組合表出
- 那麽由它怎麽退出最開始的結論呢？
- 爲了說明“若且唯若”
- 我需要證明它能推出它
- 還要證明它能退出它
- 其證明很簡單
- 因爲如果這個等式兩邊都減去v1
- 就得到0=-1<i>v1+a2<i>v2+a3<i>v3</i></i></i>
- 直到an<i>vn</i>
- 我剛剛聲明過
- 這是線性相關的
- 這意味著可以用其他向量的組合
- 表示出這個向量
- 就是說-1<i>v1</i>
- 加上其他向量的組合 結果等於0
- 從而這個等式成立
- 並且至少有一個常數不爲0
- 我已經證明了
- 如果某個向量可以用
- 其他向量的組合表出
- 那麽這個條件一定是正確的
- 現在證明另一個方向
- 要證明如果這個條件成立
- 那麽其中一個向量就可以
- 用其他向量的組合表出
- 要證明這是真的
- 其中存在一個常數
- 注意不一定必須是這個常數
- 至少有一個不爲0
- 我們不妨假設――
- 這些都是任意的
- 我換種顏色
- 我用紫紅色來寫
- 不妨設c1不爲0
- 若c1不爲0
- 則可以在等式兩邊同時除以c1
- 得到什麽呢？
- 結果是v1+c2/c1<i>v2</i>
- 加到cn/c1
- 右邊等於0
- 然後可以在兩邊加上一些東西
- 或者說等式兩邊加上-v1
- 或兩邊減去v1
- 從而得到c2/c1<i>v2</i>
- 加到cn/c1<i>vn――</i>
- 這裡落了個vn―― 等於-v1
- 如果兩邊同時乘以-1
- 左邊全是負的
- 右邊變成正的
- 我剛剛證明了
- 如果至少有一個常數不爲0
- 則向量v1可以由
- 其他向量的組合表出
- 所以這個方向也是成立的
- 如果這個條件是正確的
- 那麽其中一個向量就可以由
- 其他向量的組合表出
- 如果其中一個向量可以由
- 其他向量的組合表出
- 那麽這個條件就是正確的
- 這兩個定義等價的
- 上述給出的就是其證明
- 也許它太有殺傷力了
- 我們對這的定義做一個檢驗
- 你也許會說
- 爲什麽要費這麽大勁講這些東西？
- 我花時間將這些內容
- 是因爲它是檢驗向量
- 是否線性相關的
- 一種極爲有用的方法
- 我們實踐一下
- 應用我們新學的工具
- 已知向量集合――
- 我寫在這
- 這樣能有效利用空間
- 假設已知向量[2,1]和[3,2]
- 問題是
- 二者是線性獨立的
- 還是線性相關的
- 如果它們是線性相關的
- 則意味著存在某個常數乘以[2,1]
- 加上某個常數乘以[3,2]
- 結果等於0
- 其中的常數不同時爲0
- 在解題之前
- 首先要明確我們要尋找什麽
- 如果二者中存在不爲0的
- 若c1或c2不爲0
- 這意味著該向量集合
- 是線性相關的
- 如果c1和c2都爲0
- 僅當此時等式成立――
- 我的意思是你總可以
- 把所有常數賦值爲0 使得等式成立
- 但是如果使等式成立的唯一方式
- 是令所有常數爲0
- 那麽該集合
- 就是線性獨立的
- 我們用數學的語言來說明
- 我們又回到了代數1課程中
- 爲了使之成立
- 就需要2<i>c1+3<i>c2等於――</i></i>
- 當我說它等於0時
- 實際上是指0向量
- 我可以寫成[0,0]
- 從而2<i>c1+3<i>c2</i></i>
- 等於0
- 然後有1<i>c1+2<i>c2</i></i>
- 等於0
- 這是一個二元一次方程組
- 兩個方程 兩個未知數
- 我們需要做些處理
- 將上式乘以1/2
- 如果乘以了1/2
- 就得到c1+3/2<i>c2=0</i>
- 如果用紅色的等式
- 減去綠色的等式 第一項等於0
- 2減去1又1/2――
- 1又1/2就是3/2
- c2的係數是1/2 等式右邊等於0
- 這很好解
- c1是多少？
- 把這項代回來 c2等於0
- 所以這項等於0
- 從而c1+0=0
- 所以c1也等於0
- 我們把它也代回到
- 上面的等式中
- 所以這個方程的唯一的解
- 就是c1=0 c2=0
- 所以它們同時爲0
- 所以這個向量集合是線性獨立的
- 這意味著
- 二者不能相互表出
- 不能把一個表示成另一個組合的形式
- 由於我們有兩個向量
- 並且它們線性獨立
- 我們知道它們能張成空間R2
- 它們所能張成的空間是R2
- 如果一個向量
- 是另一個向量的倍數
- 那麽其張成的空間就是R2中的一條直線
- 而非整個R2空間
- 而現在R2中的任何向量
- 都可以表示成它們的組合
- 我們做另一個例子
- 我在右邊寫
- 因爲有時候
- 當我寫了很多的時候
- 還沒來得及指明爲什麽
- 前面的內容就從屏幕中消失了
- 下個例子 已知向量集合
- 已知向量[2,1]
- 向量[3,2]
- 及向量[1,2]
- 我要確定它們是線性相關
- 還是線性獨立
- 我要做同樣的工作
- 需要用到開始的時候
- 我們證明的定理
- 如果它們是線性相關的
- 則我需要對這裡每個向量
- 賦予一定的權重
- c1乘以這個向量 加上c2乘以這個向量
- 加上c3乘以這個向量
- 右邊等於0
- 如果有一個係數是非0的
- 那麽這些向量
- 就是線性相關的
- 如果所有的係數都是0
- 則它們是線性獨立的
- 我們進行代數運算
- 這意味著2<i>c1+3<i>c2+c3</i></i>
- 等於上面的0
- 然照射燃料再處理下面的項
- 注意如果用純量乘以一個向量
- 就相當於對每個分量做乘法
- 對於1<i>c1</i>
- 有1<i>c1+2<i>c2+2<i>c3=0</i></i></i>
- 這個問題有許多值得思考的地方
- 如果已知三個二維向量
- 那麽其中一個是多余的
- 因爲 在最佳情況下
- 假設這個向量
- 和這個向量線性獨立
- 那麽它們能張成空間R2
- 這意味著二維空間中的
- 任何點或向量 都可以用
- 二者的組合表出
- 這樣的話 第三個向量自然包含在內
- 因爲它也是二維空間中的向量
- 所以它是線性相關的
- 然後
- 如果它們不是線性獨立的
- 即它們互爲倍數
- 這樣的話
- 這就是一個線性相關的集合
- 當已知三個向量
- 它們都在R2中
- 都是二維向量
- 那麽很容易推出
- 它們是線性相關的
- 但我要用定理
- 來證明一下
- 我要證明
- 存在非0的c3 c2和c1
- 使得這裡等於0
- 如果所有這些都爲0――
- 事實上可以令這些係數都爲0
- 但如果它們的值只能是0才能成立
- 那麽它們就是線性獨立的
- 下面來證明
- 隨機取一個c3
- 令c3=-1
- 那麽這兩個等式退化成什麽呢？
- 實際上有三個未知數 兩個方程
- 這說明此係統中
- 還缺少制限條件
- 如果確定c3―― 我已經對它賦值了
- 可以令c3爲任何值
- 如果令c3=-1
- 這兩個方程成爲什麽呢？
- 會得到2<i>c1+3<i>c2-1=0</i></i>
- 以及c1+2<i>c2-2=0</i>
- 對嗎？ 這裡是2乘以-1
- 下面怎麽做？
- 如果對第二個等式乘以2 會得到什麽？
- 得到2+4<i>c2-4=0</i>
- 將二式相減
- c1消去了
- 3<i>c2-4<i>c2等於-c2</i></i>
- 然後-1-(-4)
- 就是-1+4
- 從而再加上3 右邊等於0
- 從而得到――
- 我確認一下是否算對了
- -1減去-4
- 就是加4
- 得到正3
- 這是-2
- 從而-c2=-3 即c2=3
- 如果c2=3 c3=-1――
- 這裡做一個代換
- 得到c1加上2<i>c2</i>
- 就是加6 再加上2<i>c2</i>
- 就是減2 右邊等於0
- 從而c1+4=0
- 所以c1=-4
- 我給出了由c的組合
- 表示出的0向量
- 如果用-4乘以第一個向量[2,1]
- 這是c1 加上第二個向量[3,2]
- 減去1乘以第三個向量[1,2]
- 這應該等於0
- 我們來驗證一下
- -4<i>2等於-8 加上9 減去1</i>
- 就是-9加上9
- 結果是0
- -4+6-2 結果還是0
- 這就是三個向量地方線性組合
- 其中的係數都不爲0
- 但我們只需要
- 其中有一個係數不爲0即可
- 實際上我們知道三個係數都不爲0
- 所以當然至少有一個係數非0
- 這滿足條件
- 可以將它們表示成0向量
- 這說明了
- 這是一個線性相關的向量集合
- 這意味著有一個向量是多余的
- 你不能說
- 這是個多余的向量
- 因爲它可以由
- 這兩個向量的組合表出
- 你可以選擇這個向量
- 作爲多余的向量
- 可以用另外兩個將它表出
- 其實三個向量的地位是等價的
- 其中的任何一個
- 都可以由
- 另外兩個的組合表出
- 希望大家對線性相關
- 和線性獨立性有一種良好的直覺
- 我還會繼續這方面的內容
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