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- 本节课我们要做的是
- 从平面外的一点出发
- 或者说不一定在平面上
- 我在这画一个点
- 假设这个点的坐标
- 是(x0,y0,z0)
- 我们可以指定其为位置向量
- 我可以这样画出位置向量
- 这是位置向量 我画出一条虚线来表示
- 这个位置向量
- 是x0i+y0j+z0k
- 它就表示这个坐标
- 我要做的是求出
- 这个点到这个平面的距离
- 显然 我可以求出
- 很多种距离
- 比如说这两个点间的距离
- 或者这两个点的距离
- 或者这两个点的距离
- 而我要求出的是
- 我要求出最短的距离
- 你会通过以下方式
- 求得最小的距离
- 即通过到平面的这段垂直的距离
- 或者说是到平面的法距离
- 希望你能够
- 从直观上来理解
- 如何计算这个距离
- 首先我们能做的是
- 我们来构造一个向量
- 它处于这个平面外的点
- 和平面上的某个点之间
- 在上次课中我们已经给出了
- 平面上的一个点
- 即(xp,yp,zp)
- 我们来构造这个向量
- 我来构造这个橘黄色的向量
- 它有这个平面出发
- 即它的尾部在平面上
- 然后脱离平面 我用橘黄色的来画
- 它脱离了平面
- 到达这个位置
- 即(x0,y0,z0)
- 那么什么是？
- 那么我们怎么来指定这个向量
- 对于那个向量
- 我称之为
- 我给它命个名
- 哪个字母还没用过？
- 称那个向量为f
- 向量f就是
- 这个黄色的位置向量
- 减去这个绿色的位置向量
- 所以它就等于每一个对应坐标……
- 它的x坐标就等于
- 这个x坐标之差
- 而这个y坐标
- 就等于这个y坐标之差
- 它就等于x0-xp
- 乘以分量i
- 加上(y0-yp)j
- 加上…… 我们换到下一行
- 加上(z0-zp)k
- 好的
- 这个向量由平面上出发
- 指向这一点
- 我们要求出……
- 我们要求出这个距离
- 我们要求出这段黄色的距离
- 这段距离就是 如果我由平面的法方向出发
- 一直延伸到这个点
- 这就是最短的距离
- 你可以从图像上看出来
- 因为如果你考虑……
- 这里形成了一个直角三角形
- 所以这是
- 这个直角三角形的底沿着这个平面
- 而这条边垂直于平面
- 这是一个直角
- 你会发现如果我取任何点
- 如果取平面上的任何其他的点
- 就会形成直角三角形的斜边
- 显然对于这条最短的边
- 或者说到平面的最短路径
- 就是与斜边相对的这段距离
- 这条边总比这条边短
- 如果已知这个向量
- 我们如何求出
- 我们如何求出这个长度
- 我们如何求出这个蓝色的长度
- 其实我们可以求出这个向量的长度
- 所以我们可以
- 这个条边的长度就是
- 这个向量的长度
- 所以它就是向量f的长度
- 我们求出了这个长度
- 但我们的目的是求这个蓝色的长度
- 我们可以考虑一下 如果这有一个角度
- 如果有一个角度θ
- 我们可以直接使用
- 直接使用三角函数的方法
- 设本题中这个距离是d
- 从而对于cosθ
- 我们知道cosθ
- 就等于斜边的这个邻边……
- 这个邻边长度是d
- d是这条邻边
- cosθ就等于d除以这条斜边的长度
- 而斜边的长度等于这个向量的长度
- 它等于向量f的长度
- 或者可以说
- 向量f的长度乘以cosθ
- 我只是对等式两边加倍
- 乘以向量x的长度
- 向量f的长度乘以cosθ等于d
- 但是你也许会说
- 你知道z是多少
- 抱歉 我们知道f是多少
- 我们可以求出
- 我们可以求出它的长度
- 但是我们不知道θ是多少
- 那么应当如何来求出θ呢？
- 我们来考虑一下
- 这个角度θ 它与某个角度相同
- 这段长度不一定
- 非得与这个法向量的长度相同
- 但二者的方向一定是相同的
- 所以这个角度就等于
- 这个向量与法向量之间的夹角
- 你可能会回忆起前期的线性代数课中
- 有关两个向量内积的内容
- 它与二者夹角的
- 余弦值有关
- 为了让你能回忆起来
- 我来在等式左边除以或乘以
- 法向量的长度
- 我乘以并除以相同的数值
- 并不对其数值产生影响
- 那么我将要
- 乘以法向量的长度
- 然后除以
- 再除以法向量的长度
- 实际上乘以的倍数是1
- 我并没有改变它的值
- 但在处理时 应当注意
- 上面这个表达式
- 它就是法向量
- 与这个向量f的内积
- 这项是一个内积
- 它就等于n・f
- 它就等于两个向量长度的乘积
- 再乘以二者夹角的余弦值
- 所以我们关心的最短距离
- 就等于
- 这个向量与法向量的点积
- 除以这个长度
- 除以法向量的长度
- 除以法向量的长度
- 我们来做一下
- 我们来取法向量和这个向量的内积
- 我们在上次课中已经做过了
- 这个法向量
- 如果已知平面的方程
- 就可以直接得出法向量
- 它的分量就是
- x y z项的系数
- 这是它的法向量
- 我们来逐个取内积
- 于是n・f就等于
- A乘以(x0-xp)
- 从而就等于――
- 我用粉色的来做――
- 于是有Ax0-Axp
- 然后加上B乘以y分量
- 就是加上By0 我把B分配到每一项
- 减去Byp 然后再加上
- 我再换一种颜色
- 这个C 这是为了避免颜色过于相近
- 加上C乘以z分量
- 即加上Cz0-Czp
- 所有这项除以法向量的长度
- 那么法向量的长度是多少呢？
- 它就等于法向量与自身做内积再开根号
- 也就等于这些项的平方
- 再相加
- 先开根号
- 根号下
- 我要把
- 这个根号写得好看一些
- 根号下a2
- 加上b2 加上c2
- 那么这项能化简成什么呢？
- 我将它重写一下
- 这是问题中所求距离
- 这一项就等于所求距离
- 我们看看是否能化简
- 首先可以取所有含0的项
- 它们包括
- 平面外的点
- 注意平面外的点(x0,y0,z0)
- 从而有Ax0+By0+Cz0
- 这些项等于什么呢？
- 它们等于
- 就等于-Axp-Byp-Czp
- 如果你还记得方程中的D
- 我们曾在上次课中
- 试着求出
- 平面的法向量
- D就是 如果你在这一点
- xp在这个平面上
- D就是Axp+Byp+Czp
- 或者可以求-D
- -D就等于
- 等于-A―― 这只是
- 大写和小写字母的区别
- 从而有
- 小写的a就等于大写的A
- 于是有-Axp-Byp-Czp
- 我只是用来上次课所学的内容
- 这就是D
- -D就是这一项
- 这也就是这里我们所得到的
- 即-Axp-Byp-Czp
- 所以所有的这项 这项 还有这项
- 化简成-D
- 注意这是大写的-D
- 这是平面方程中的D
- 而不是这个表示距离的d
- 这是距离的分子部分
- 而距离的分子部分就是
- 根号下
- A2加上B2加上C2
- 这就做完了
- 这表明了
- 任何点到平面的距离
- 这是一个非常直观的公式
- 因为我们所做的就是 如果我们已知……
- 如果给出……
- 我举个例子
- 如果有平面x-2y+3z=5
- 这是一个平面
- 我取平面外一点
- 假设已知一个点
- 假设已知一个任意的点
- 假设这个点是(2,3,……
- 我要确定它不在平面上
- 这是2-6 等于负的这项
- 我随机取一个1
- 它显然不在平面上
- 因为有2-6+3
- 结果是-1
- 而不是5 所以这个点不在平面上
- 我们可以用刚才得到的公式
- 求出这个点到平面的距离
- 我们来逐个地算
- 从而有1*2
- 我用同一种颜色
- 1*2 减去2乘以……
- 我只需把数值代入
- 加上3乘以某项 减去5
- 这是分子 我要把它写完整
- 我来做一下
- 即有1*2-2*3+3*1
- 这还要减去5
- 因为我们把它移项到了左边
- 所有这些除以
- 所有这些除以
- 根号下
- 12就是1 加上(-2)2
- 就是4 加上32 就是9
- 结果是
- 这就是2 -6
- 然后是3 还有-5
- 这等于多少？
- 这是5 2+3=5 所以它们消去了
- 这是-6
- 所以这等于-6
- 除以根号下5+9=14
- 即除以根号下14
- 完成了
- 希望你觉得这有用处
- 你可以将其应用于其他例子