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Preimage and Kernel Example : Example involving the preimage of a set under a transformation. Definition of kernel of a transformation.
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- 從R2到R2的變換
- 它本質上是
- 乘以一個矩陣
- 我們知道所有的線性變換
- 可以用“乘矩陣”表示
- 這個矩陣等於[1,3;2,6]
- 乘以定義域內的任意向量
- 即乘以[x1,x2]
- 假設有上域內的一個子集
- 我把它畫在這
- 這個是定義域
- 即R2
- 從而我的函數
- 或者說R2中的變換
- 即從R2映到R2的這個映射
- 上域是R2\N【注意區分“值域”和“上域”】
- 它映到自身
- 爲了簡便起見
- 我把上域畫在這
- 從而我們的變換 也就是映射
- 對於這裡的任意元素
- 它的變換將會是
- R2中的某一點
- 如果取R2的子集會怎麽樣
- 假設這個子集只由這兩個向量構成
- R2中的0向量 以及向量[1,2]
- 它是逐點對應的 假設取這一點
- 我換一種顏色
- 假設這是R2中的0向量
- 我不是在按坐標作圖
- 我只是表示出它在這裡 在R2中
- 這是0向量
- 假設向量[1,2]在這裡
- 向量[1,2]
- 我要知道的是
- 對於定義域中的所有向量
- 哪一個的變換映到這個子集中
- 映到這個點
- 我本質上要知道
- 我要知道S的原像
- 那麽S的原像是 我要仔細一些
- 要求T的子集S的原像
- 我說過要仔細一些
- 因爲如果你說某個集合的原像
- 而不說它在哪個變換下
- 這表明取的是……
- 當提到某個集合的像時
- 它表示取我給出的
- 整個變換的像
- 大概在兩節課之前
- 但當取一個集合的像或者原像時
- 你需要確定是在哪個變換下
- 我們要求的是在變換T下
- 上域的一個子集的原像
- 我把它寫成T^-1(S)
- 在上節課我們學過
- 這是定義域中的所有元素
- 對這些x作變換
- 像是上域子集中的元素
- 我們就是要找這個子集的原像
- 對吧？
- 它還可以怎麽寫？
- 你可以把它寫成
- 我們試圖求出
- 定義域中的所有x 它要滿足……
- 稱這個矩陣爲A
- 要滿足Ax是S中的一員
- 這意味著Ax要等於這項
- 或者等於這項
- 也就是說Ax
- 需要等於0向量
- 或者Ax
- 等於向量[1,2]
- 這個表示與上面的表示
- 是同一件事
- 我只是把實際的變換Ax代進去
- 寫得更詳細一些
- 用實際的集合來表示
- 集合中只有兩個向量
- 那麽如果要確定S的原像
- 這是S在T下的原像
- 就是這個集合
- 事實上我們要找到
- 所有滿足這兩個等式的x
- 從而對於這個等式
- 我們要找到所有滿足它的x
- 第一個等式
- 是[1,3;2,6][x1,x2]=[0,0]
- 它就是這個等式
- 我們要求出其所有解
- 你可能已經看出來了
- 它的所有解
- 所有滿足條件的x
- 構成了這個矩陣的零核空間
- 我想我已經說明過了
- 這不是唯一的等式
- 我們還要解這個方程
- 我用藍色的來寫
- S在變換T下的原像是
- 這個等式的所有解 加上下式的所有解
- 即[1,3;2,6][x1,x2]=[1,2]
- 我們可以通過增廣矩陣來解出它
- 這裡的增廣矩陣爲[1,3,0;2,6,0]
- 這裡的增廣矩陣爲[1,3,1;2,6,2]
- 下面要把它化成行簡化階梯型矩陣
- 將第二行乘以-2 再加上第一行
- 用它代替原來的第二行
- 得到什麽？
- 第一行不變
- 即1,3,0
- 對這邊也同時處理
- 兩邊同時做
- 第一行是不變的
- 是1,3,1
- 在這兩種情況下
- 因爲我只想將左邊的增廣矩陣
- 化成行簡化階梯形
- 我做同樣的行變換
- 我用第一行的2倍加上第二行
- 即2-2<i>1=0</i>
- 和6-2<i>3=0</i>
- 顯然0-2<i>0=0</i>
- 這裡2-2<i>1=0</i>
- 還有6-2<i>3=0</i>
- 並且2-2<i>1=0</i>
- 得到的都是0 我們實際上已經做完了
- 我們已經把這些增廣矩陣
- 都化成了行簡化階梯形
- 那麽我們應當怎樣解出
- 滿足這些條件的x1和x2呢？
- 你應該能看出第一列
- 是主列
- 它與變量x1有關
- 從而得到x1是軸元
- 我們知道第二列不是主列
- 因爲其中不含有1
- 它與x2有關
- 既然x2不是主列
- 那麽x2就是一個自由變量
- 這意味著 我們可以將x2設爲任何數
- 我們給x2設一個值
- 設x2=t 其中t是一個實數
- 這種情況下 x1等於多少呢？
- 從而這個上面的等式 我寫出來
- 如果我們回溯到這
- 它表示x1+3x2=0
- 上面的這條線表示x1+3x2=1
- 如果x2=t
- 則這個等式化爲x1+3t=0
- 兩邊同時減去3t
- 得到x1=-3t
- 從而由這個等式得到x1等於……
- 如果用t來代替x2
- 就得到x1=1-3t
- 如果要把方程組的解
- 寫成向量的形式
- 也就是這個方程的解集
- 即這個等式的解集
- 它將是[x1,x2]=多少？
- 它等於
- x2等於t乘以……
- x2就等於t
- 我寫在這
- x2就等於t乘以1
- 就等於t
- 我在上面定義過了
- 那麽x1等於多少呢？
- 它等於-3乘以t
- 如果把t看做一個純量
- 則這裡就是-3乘以t
- 這就是第一個方程的解
- 其中t是實數
- 它就是向量[-3,1]的常數倍
- 如果把它看作位置向量
- 它就是R2中的一條直線
- 我一會再畫出來
- 這就是第一個方程的解
- 然後求第二個方程的解
- 我們怎麽來做？
- 它將是…… 我要保證你能看到上面的內容
- 它是[x1,x2] 我們來看一看
- x2還是t<i>1</i>
- 我這麽寫
- 它等於t<i>1</i>
- 這是x2
- x1是多少？
- x1等於1-3<i>t</i>
- 如果在這寫-3 那麽就有-3<i>t</i>
- 但我們需要有一個1減去它
- 或者說1+(-3)<i>t</i>
- 我們能做的是
- 我們可以說這個解集
- 等於右邊的集合
- 即有1+(-3)<i>t=x1</i>
- 這裡是0
- 從而x2=0+t
- 或者說x2=t
- 這就是第二個方程的解集
- 於是對於S的原像
- 注意S就是上域中的兩個點
- S在變換T下的原像本質上是
- 所有滿足這兩個方程的x的集合
- 我們來作個圖
- 我把坐標圖打開
- 這看起來有些亂
- 我在下面作圖
- 把結果複製粘貼一下
- 我要將它粘到這
- 這是得到的兩個結果
- 我在換回到寫字筆
- 我現在把圖像畫在這
- 我們一起看
- 第一個方程的解集
- 是向量[-3,1]的常數倍的集合
- 向量[-3,1]就像這樣
- 就像這樣
- 這是向量[-3.1]
- 而實際的解集是
- [-3,1]的所有常數倍的向量
- 這是個逗號
- 對嗎？ 如果我取所有[-3,1]常數倍的向量
- 那麽結果就像這樣
- 如果用2乘以它
- 就得到[-6,2]
- 就是這個向量
- 就是這裡的所有點
- 我盡量畫的簡潔一些
- 我想你明白我的意思
- 它就是這樣的一條線
- 這就是這個解的圖像
- 這個解的圖像是什麽呢？
- 首先有個向量[1,0]
- 先在這裡畫出[1,0]
- 再加上向量[-3,1]的常數倍
- 加上它的常數倍
- 如果只加上向量[-3,1]本身
- 就畫到這裡爲止
- 但我們要求的是 它的所有的倍數
- 因爲這裡有個t
- 從而就得到另一條直線
- 其斜率相同
- 只是平移了一小段距離
- 向右移動了一個單位長度
- 我爲什麽要這麽做呢？
- 注意我們要求的是
- 滿足某些條件的向量
- 我把坐標關掉
- 既滿足在定義域內 當進行變換時
- 映到值域的某個子集內的向量的集合
- 映到[0,0]或者[1,2]
- 我們通過求解這兩個方程
- 得到了這些向量
- 我們知道 關於這兩條直線
- 我把坐標打開
- 它們對應某些點
- 當進行變換時
- 我在同一個圖上畫
- 它們對應…… 當進行變換時
- 它們映到點[0,0]和[0,1]
- 就在這裡
- 所以所有這些點
- 當進行變換時
- 實際上就是這些藍色的點
- 它們映到[0,0]
- 因爲我們已經解出了上面這個方程
- 而所有橘黃色的點
- 當進行變換後
- 映到點[1,2]
- 對於這條藍色的線
- 它有一個特殊的名字
- 我之前稍微提到過一些
- 藍色直線中的所有點
- 我稱這個集合
- 給它命名爲B
- 對於這條藍色直線
- 它表示這個向量集
- 而其中的所有點
- 當我對藍色直線上的向量做變換後
- 或者說取藍色票集合在變換T下的像
- 它都映到0向量
- 它等於0向量自己構成的集合
- 我們在這裡見過
- 在這個影片的開始部分
- 我曾經指出過 對於這個集合
- 它等於零核空間 對嗎？
- 零核空間就是滿足下面條件的向量構成的集合
- 即如果將向量乘以這個矩陣就得到0
- 下面的概念與之類似
- 這個變換由矩陣定義
- 我們要問滿足條件
- 當進行變換後得到0的所有x的集合什麽？
- 對於這個概念 這個藍色的直線
- 它稱作變換T的核
- 有時將它記作Ker(T)
- 它實際上就是這個意思
- 如果進行變換
- 我這麽來寫
- 它是定義域R2中滿足下面條件的向量的集合
- 即通過變換得到0的
- 那些向量的集合
- 這就是核的定義
- 如果這個變換等於
- 某個矩陣乘以某個向量
- 我們知道任何線性變換
- 都可以寫成一個矩陣與向量之積
- 那麽T的核就是
- A的零核空間
- 我們在之前見到過
- 希望你覺得這對你有幫助