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Proof: Invertibility implies a unique solution to f(x)=y : Proof: Invertibility implies a unique solution to f(x)=y for all y in co-domain of f.
相關課程
- 給定一個函數f
- 它從集合X映到集合Y
- 爲了討論方便我們說
- 我們說f是可逆的
- 我想知道的是
- 這個等式到底意味著什麽
- 等式f(x)=y
- 我想知道對於每一個y
- 值域內的一個元素
- 對於每一個y 我寫下來 對於每一個y
- 一個屬於值域的元素有唯一的
- 大寫唯一的
- x屬於我們的定義域
- 如此以致 我寫如此以致
- 我寫出來
- 本打算把它以數學的形式寫出來 但是我想
- 有時候用一些語言寫出來反而更好
- 如此以致f(x)=y
- 如果我們
- 我把所有內容簡單地的畫出來
- 我們有一個集合X
- 這是X
- 我們在這有一個值域Y
- 我們知道f 如果你在這取某個點
- 我們稱它爲a 它是X的一個元素
- 對它作用這個函數f
- 它會映射到集合Y中的某個元素
- 這就是由f映到這
- 這是 目前 這告訴我們什麽
- 現在我想看看這個等式
- 我想知道是否我可以取任意的y
- 在這個集合中 任意的小寫y在這個集合Y中
- 比方說我取在這
- 比方說是b
- 我想知道的是 是不是有唯一的解
- 使得f(x)=b
- 有一個唯一解嗎？
- 所以一方面 你必須想想 有解嗎？
- 如果有解比方說
- 看比方說某個x在這
- 如果我對它作用這個變換f我就映到這
- 而且我還想知道它的唯一性
- 比方說 如果這就一個解就說它是唯一的
- 但是如果在這 還有一個解 它就不是唯一的
- 如果有多於一個的解
- 如果有另一個X中的元素
- 如果我把這個變換 作用到它身上同樣可得到b
- 這會使它不唯一 不唯一
- 那麽這次影片 我們想要討論的內容
- 怎麽說呢？ 就是可逆性它相關的這個思想
- 對於值域中任意的y有唯一解
- 我們簡單給出了
- 可逆性的定義
- 然後看看是否能得到一些建設性的結果
- 根據定義 f是可逆的意味著
- 存在就是這個往回看的符號
- 三個往回看的東西 這個表示存在
- 我認爲有時候 顯示一些數學符號是有好處的
- 我就這麽些
- 這意味著存在某個函數
- 我們稱它爲f逆 它是一個從Y到X的映射
- 如此以致 實際上這個冒號
- 同樣是如此以致的縮寫
- 我還是寫下來
- 如此以致f逆結合f
- 等於作用到X上的恆等變換
- 所以 本質上 它是說 看
- 如果我把f作用到X中某個點
- 然後在作用f逆
- 我就會重新得到這個點
- 這在本質上是相等的
- 或者說它在本質上不相等
- 它等同於作用了這個恆等函數
- 所以這是I x
- 所以你就會得到你輸入的元素
- 如此以致這個逆函數
- 用這個函數結合它的逆函數
- 等於這個恆等函數
- 這個函數的結合
- 用它的逆函數
- 等於這個恆等函數作用到Y
- 如果你把y作用上這個逆
- 然後你再作用這個函數
- 你會重新得到這個y
- 它等同於
- 直接應用這個恆等函數
- 這就是可逆性
- 這是我在上次影片定義的可逆性
- 現在我們關心
- 我們關心這個等式
- 我們考慮這個等式
- 我用粉色筆表示它 f(x)=y
- 我們想知道的對任意y
- 或者任意這個大集合Y中的小寫y
- 是否存在唯一的x解
- 所以可以做的是 我們知道f是可逆的
- 我從開始的時候就提到了
- 那麽給定f是可逆的
- 我們知道存在這個f的可逆函數
- 我可以應用f逆函數
- 它是一個從Y到X的映射
- 所以我可以作用它到任意Y中的元素
- 所以對任意y 比方說這是y的位置
- 我可以作用f逆到這個y
- 這樣會直接映到這
- 當然 f(x)=y
- 這些確實是同樣的點
- 所以我們應用f逆函數到這上面
- 如果我應用這個f逆函數到
- 這個等式的兩邊
- 這是Y中的一個元素
- 這是Y中相同的元素 對吧？
- 它們是同樣的元素
- 現在 如果我作用這個映射 這個反映射
- 到等式兩邊
- 它就會得到X中的某個元素
- 我們做一下
- 所以如果我作用這個逆函數
- 到這個等式兩邊
- 這是Y中的某個元素
- 我作用這個逆函數
- 就得到X中的某個元素
- 這會等於什麽呢？
- 在右手邊
- 我們就可以寫這個函數f逆y
- 這就是這裡的某個元素
- 但是這個左手邊的
- 這個等式會變成什麽
- 這個逆函數的定義是
- 當你把它結合f
- 你就會得到這個恆等函數
- 這就會等於
- 我這麽寫
- 這就等於f逆結合f(x)
- 這就等價於這個恆等函數
- 作用到x上
- 那麽這個恆等函數作用到x上是什麽
- 就是x
- 這些就劃成x
- 這化成x
- 所以 我們開始用到f是可逆的
- 我們用到了可逆性的定義
- 這存在這個逆函數
- 然後實際上 我們應用這個逆函數到
- 這個等式兩邊就說
- 看你給我任意y
- 任意這個集合Y中的小寫y
- 我能找到一個唯一的x
- 這是這個唯一的x滿足等式
- 想想我怎麽知道它是唯一的x
- 因爲這是唯一可能的逆函數
- 逆函數唯一是一個真命題
- 我在上次影片中已經證明過了
- 如果f是可逆的
- 它只有唯一的逆函數
- 我們知道 如果有兩個逆函數
- 但是我們發現最終得到是同一個逆函數
- 所以既然只有一個逆函數
- 它作用到這個大寫集合Y中的任意元素
- 我們知道我們有一個解
- 又因爲它是唯一的逆函數
- 函數在這種情況下只映射到一個值
- 然後我們知道這是一個唯一解
- 我寫下來
- 我們已經建立了如果f是可逆的
- 我用橘黃色寫
- 那麽這個等式f(x)=y對所有的
- 有點像v
- 被填滿了 對所有的
- 集合Y中的元素 有唯一解
- 這個唯一解 如果你真的關心它的話
- 等於這個逆函數作用到y上
- 可能看起來有點腦殘
- 但是你會發現
- 你必須對它嚴格精確地給出
- 以得到你想要的那個點
- 我們來看看反過來是不是對的
- 我們來看如果我們假設
- 我們來看如果我們開始假設
- 對所有集合Y中的y
- 這個解 等式f(x)
- =y有一個唯一解
- 我們假設這個 看看它是否可以得到另一個結果
- 如果給定這個 我們可以證明可逆性
- 我們考慮第一種方式
- 我們說對任意y
- 我再把集合畫出來
- 這是集合X 這是集合Y
- 現在我們做這個假設
- 你可以取Y中的任意元素
- 然後等式有一個唯一解
- 我們稱這個唯一解
- 我們可以稱它什麽
- 一個唯一解x
- 所以你可以在這取任意點 我已經給出了
- 現在我們假設 看 你在Y中取了一點
- 我可以在X中找到某個點如此
- 以致f(x)=y
- 不僅我可以給你找到
- 它還是唯一解
- 所以給定這些 我定義一個新的函數
- 我定義這個函數s
- 函數s是一個從Y到X的映射
- 它是從Y到X的一個映射 s
- 我們說s(y) 這
- 當然 y是集合Y中的一個元素
- s(y)等於
- f(x)=y在X中的唯一解
- 現在你會說 嗨 Sal
- 它看起來有點繞 但是好好考慮它
- 這是一個完全有效的函數定義
- 對吧？
- 我們在這開始 給我任意的y
- 你給我這個集合中任意的元素
- 我可以總幫你找到
- 這個等式的唯一解
- 好的 這就意味著在這任意點
- 可以和這個集合X中的唯一解相關聯
- 這個唯一解是
- 這個等式的這個唯一解
- 那麽 爲什麽我不直接定義一個函數說
- 看 我將關聯所有的元素y
- 和f(x)=y它的唯一解
- 這就是我怎樣定義這個函數
- 當然 這是完全有效的
- 映射從Y到X
- 而且我們知道這只含有一個合法值
- 因爲這個 任意值y 任意值小寫y
- 在這個集合中有一個f(x)=y的唯一解
- 所以這只能等於一個值
- 所以它已經定義好了
- 我們作用 我們在這去某個點
- 我用一個好顏色 我們稱這是b
- b是Y中的一個元素
- 我們找尋 我們做它的映射
- 用我們在這新定義的函數
- 我們從它出發映射它
- 這是S(b)在這
- S(b)是X中的一個元素
- 現在 我們知道S(b)是
- 根據定義的一個唯一解
- 它看起來有點循環 但是不是這樣的
- 我們知道S(b)是一個解
- 所以我們知道S(b)是
- f(x)=b的唯一解
- 那麽 如果情況是這樣 事實如此的話
- 我們就得倒這個
- 因爲這是這個函數的作用
- 它映射每一個y到這個等式的唯一解
- 因爲我們說過每一個y有一個唯一解
- 所以 如果這是事實
- 那麽f(S(b))是什麽
- 我只說過這是這個的唯一解
- 那麽如果我代入這個 我會得到什麽
- 我會得到b
- 或者換句話說這是
- f結合S作用到b等於b
- 或者換句話說
- 我們計算f結合S
- 這是一樣的 因爲如果我作用S到b
- 然後在作用f
- 這是結合
- 我直接重新得到b
- 這就是整個的過程
- 這是同樣的事情
- 這個在Y上的恆等函數作用到b
- 它等於b
- 我們可以說
- 我們可以說存在
- 我們知道這個函數存在
- 或者說我們總可以建立這個
- 我們已經知道這個存在
- 這個存在於我建立它的過程中 但是我
- 希望 我已經說明白了這是已經定義好的
- 那是根據我們的假設
- 這總存在X中的一個唯一解 對任意y成立
- 我以一個相當合理的方式定義這個
- 所以它確實存在
- 不僅它存在
- 而且我們還知道
- 這個f結合這個函數
- 我剛剛構造的這個
- 等於Y上的恆等函數
- 現在我們做另一個嘗試
- 我們取一個特定的 我再畫一下這些集合
- 這是集合X
- 我取集合X中的某個點稱它爲a
- 我再在這畫集合Y
- 我們可以作用這個函數到a
- 我們會得到集合Y中的一個元素
- 它映到了這
- 我們稱它爲f(a)
- 現在 如果我作用這個神奇的函數 一般地
- 給你集合Y中的任意元素
- 我將會給你
- 這個等式在X中的唯一解
- 我把它作用到這
- 我作用S到這
- 所以 如果作用S到這
- 它會給我唯一解
- 我寫下來
- 如果我作用S到這 我將作用S到這
- 可能我不能再映到這
- 我沒有暗示
- 它一定會映回到這
- 所以 我作用S到這
- 那這到底指哪？
- 這個點在哪？
- 所以這是S作用到這點f(a)
- 我們知道這是唯一解
- 所以 這等於這個
- 等式f(x)=y的唯一解
- 或者說這個y就成爲f(a)
- 對吧？
- 別忘了 這個映射s映射
- 從任意元素f(a)到
- 等式f(x)等於f(a)的唯一解
- 這是映射從f(a)到這個唯一
- 所以這個S(f(a))將會映射到
- 或者這
- 會等於這個
- 等式f(x)等於Y中這個元素的唯一解
- 這個所謂的元素y是什麽
- 它是f(a)
- 你可能會把它形容得非常繞
- 但是如果是我
- 在你們學習線性代數之前
- 我會說 看 如果我有這個等式
- 是f(x)=f(a)
- 這個等式的唯一解是什麽？
- 這個x等於什麽？
- x會等於a
- 那麽這個等式
- f(x)=f(a)的唯一解就等於a
- 我們知道有唯一解
- 因爲這是我們的前提條件之一
- 所以這就等於a
- 或者我們可以寫S(f(a))=a
- 或者說s結合f等於
- 作用到a等於a
- 或者說S和f的結合是
- 作用到集合X的恆等函數
- 對吧？
- 這是一個映射從X到X
- 所以我們可以寫s結合f
- 是恆等函數作用到X
- 那麽 我們目前已經做了什麽
- 我們開始於你任意
- 在集合大寫Y中取y 我們將
- 有一個唯一解x使得該式成立
- 使得f(x)=y
- 這是我們開始假設的前提條件
- 我們構建這個函數S
- 就是映射任意這的元素
- 代入它這個等式的唯一解
- 好了
- 現在從這 我們說過這確實存在
- 不僅它存在 而且我們算出
- f結合我們構建的函數
- 等於作用到集合Y的恆等函數
- 然後我們同樣了解到那個S
- S結合f是作用到X上的恆等函數
- 我寫這個
- 我們了解了這個 我們同樣了解到
- f結合S等於作用到Y的恆等函數
- S明確存在 因爲我構造了它
- 我們知道它定義好了因爲任意y
- 對任意y在這這有一個解
- 所以給定這個 我們能夠找到函數f
- 我能夠找到一個函數
- 這二者都滿足
- 這是根據定義得到的
- 它的意思就是可逆
- 別我忘了 這就意味著f是可逆的
- 別忘了f是可逆的
- 爲了滿足f是可逆的
- 這就意味著必須存在某個函數
- 如果f是一個映射從X到Y
- 可逆意味著
- 必存在某個函數f的逆
- 是一個映射滿足從Y到X
- 所以我可以寫存在一個函數
- 這個逆函數結合原函數
- 應該等於恆等函數作用在X上
- 這個逆函數和原函數
- 原函數結合
- 這個逆函數
- 應該是恆等函數作用到Y上
- 我們只需要找一個函數
- 它存在 就是S
- 滿足這兩個式子成立
- 我們可以說S等於f逆
- 所以f確實是可逆的
- 確實你發現這是滿足的
- 這個證明是非常精細和非常微妙的
- 因爲我們一直在集合X和Y間豎鍛
- 但是我們已經說明了如果f
- 在這個影片一開始
- 我們說明如果f是可逆的 那麽對任意y有
- 一個唯一解對於等式f(x)=y
- 影片的第二部分
- 我們說明了另一方向也是對的
- 就是如果 我這麽寫
- 如果對所有Y 大寫Y的一個元素
- f(x)=x有一個唯一解
- 那麽f是可逆的
- 事實上
- 這兩個假設相互推導可得到
- 我們可以寫下這個影片的最終結論
- 那就是f是可逆的 如果f
- 一個映射從X到Y是可逆的
- 這是對的 若且唯若
- 我們可以寫一個雙向箭頭
- 或者可以寫成iff
- 所以這二者可以互相推導
- 若且唯若對所有的y 對每一個y
- 是集合Y中的一個元素存在一個唯一
- 我可像這樣寫
- 意味著存在一個唯一的x對。。。
- 或者我這樣寫 存在一個唯一解
- 對於等式f(x)=y
- 這就是這次影片 我們得到多重點
- 一個函數的可逆性意味著
- 這個等式存在一個唯一解
- 對任意屬於我們函數的值域中的y
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