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Proof: Relationship between cross product and sin of angle : Proof: Relationship between the cross product and sin of angle between vectors
相關課程
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- 這個影片的目的是
- 定義外積 並且開始
- 額。。。。
- 我想是三個影片之前――
- 在那裏我們知道了
- 兩個非零向量的點積
- a?b 等於它們的長度
- a的長度和b的長度的乘積
- 乘以它們夾角的餘弦值
- 我們以這兩個東西開始
- 在R3中的外積的定義
- 它唯一有定義的地方
- 然後是這個結果
- 我們想要得到這樣的一個結果
- 兩個向量的外積的長度
- 很明顯地 當你計算一個外積時
- 得到的是一個向量
- 但是如果你取它的長度你得到的是一個數值
- 你得到的是一個純量值
- 它等於每一個向量的長度的乘積
- 就是a的長度乘以
- b的長度
- 再乘以它們夾角的正弦值
- 這是一個很優雅的結果
- 因爲它說明了
- 它們是一個相同硬幣的兩面
- 點積是餘弦值 外積是正弦值
- 我確信你們以前看過這個
- 你們已經見過這個了
- 如果你們看過我的物理課的話
- 我甚至做了一整集的影片來討論
- 它們起源背後的真正的意義
- 我希望你們再看看那個影片
- 我可能會再講一講這一點
- 在線性代數的課程中
- 但這個影片的目的是要向你們證明它是正確的
- 是要證明由這個和這個 我可以得到這個
- 現在如果你們相信我
- 你可能會說 哦 我以前看過這個了
- 我僅僅認爲它就是這種情形
- 那麽你不用再看這個影片的余下的部分了
- 因爲我現在會告訴你
- 這很麻煩
- 這會是一個很長很長的證明
- 但如果你們想要忍受看這個證明
- 就讓我們來開始證明這個結果吧
- 我要從這個地方開始這個證明
- 從計算a×b的長度的平方開始
- 這就是a×b
- 我要來計算
- 這個向量的長度的平方
- 在很多影片裏我們都看過了
- 我已經不止一次地用這種方法
- 如果我僅有某一個任意的向量
- 就設是任意的向量
- 我取它的長度的平方
- 這個就是等於它與自己作點積
- 或是它的所有項的平方
- 加和直到xn的平方
- 那麽這個等於什麽？
- 這個就等於這個向量
- 我們只有三個分量 所以它等於
- 每一個分量的平方和
- 讓我來把它寫下來
- 它等於這一項的平方
- 我先來把它寫下來
- 就是(a2b3-a3b2)2
- 再加上這一項的平方
- 就是加上(a3b1-a1b3)2
- 最後 再加上這一項的平方
- 就是加上(a1b2-a2b1)2
- 這個等於什麽？
- 首先把它展開
- 展開它
- 這裡的這一項
- 我們必須要作一個
- 二項式展開
- 我們已經做過許多次了
- 這個等於a22b32
- 然後這兩項相乘
- 再乘以2
- 所以減去2
- 這就把它乘出來了
- 減去2a2a3b2b3
- 再把它按照順序排列出來
- 再加上a32b22
- 這一項的平方
- 然後加上這一項
- 加上a32b12
- 減去2乘以這兩項的乘積
- 減去2a1a3b1b3
- 加上這一項的平方
- 就是a12b32
- 最後 是這一項的平方
- 所以就是加上a12b22減去2a1a2b1b2
- 加上a22b12
- 所以就是這樣
- 我們來看看是不是我們可以寫成這種形式――
- 好 我要按照這種形式寫
- 這樣在後面會很有用
- 我要做的就是
- 我要提出a2 a1 a3的平方項
- 所以我可以把它寫成――
- 我再換一種顏色
- 這個等於 如果只寫a12
- a12項在那裏？
- 這個在這裡
- 而這項在這裡
- 所以a12b22加上b32
- 這是b32
- 很好
- 那麽現在a22項在那裏？
- 加上a22乘以――有這一項和這一項
- 所以是乘以b12
- 這就是結果了
- 加上b32
- 最後 再換另一種顏色
- 換回黃色吧
- 加上a32乘以――
- 這就是這一項和這一項
- 所以就是b1和b2
- 所以是b12加上b22
- 很明顯地
- 我不能忽略所有這些
- 在中間的東西 所有在這兒的東西
- 所以加上
- 或許我應該寫成-2乘以所有這些東西
- 我快點兒來寫 就是a2a3b2b3
- 加上a1a3b1b3
- 加上a1a2b1b2
- 就是這樣
- 讓我們先把這個放一邊
- 把它先放一邊
- 先不管這個方程
- 記住 這個式子是
- a×b的長度的平方
- 這就是所有的
- 記住這一點
- 現在 再作另一個差不多一樣複雜
- 和冗長的計算
- 我們來取這裡的這個結果
- 我們知道這個a×b的長度
- 乘以cosθ的大小或長度
- 等於a?b
- 這是相同的
- 就如同我們作點積
- 就是a1b1加上a2b2加上a3b3
- 現在 要確定
- 我能把這個最複雜的問題算出來
- 兩邊同時取平方
- 如果在這邊取平方
- 就得到a2b2cos2θ
- 然後就得到了(a?b)2
- 或是得到這整個的平方
- 那麽這整個的平方是什麽？
- 對我來說 很容易再寫一遍
- 不寫成平方的樣子
- 而是再乘以(a1b1+a2b2+a3b3)
- 我們來做一些多項式乘法
- 首先
- 把這個和這些每一個相乘
- 得到a1b1乘以――這裡a1b1
- 我在這裡算
- 得到a12b12加上a1――
- 加上這個乘以這個
- 加上a1a2乘以b1b2
- 加上這個乘以這個
- 加上a1a3乘以b1b3
- 好了
- 現在再算第二項
- 我們要把這個和這些每一個相乘
- 所以a2b2乘以a1b1
- 這就是這個了
- 就是a2b2乘以a1b1
- 我寫在這裡
- 因爲這是相同的 所以最後
- 我們要簡化它
- 這就是這個乘以這個
- 然後我們就得到這個乘以這個
- 我們把它寫在這裡
- 就是a22b22
- 這裡再寫個加號
- 最後 這個中間項乘以第三項
- 我在這裡寫下來
- 加上――a2a3b2b3
- 現在 就剩下一項了
- 或許我應該用藍顏色
- 我必須把這個和每一項相乘
- 所以a3b3乘以a1b1
- 這和這項相同
- 因爲有a3
- 我寫這裡
- 得到a3b3乘以a1b1
- 然後就得到這個乘以這個 就是這個
- 因爲它是a3b3乘以a2b2
- 在這裡寫一個小加號
- 最後 就是它和自己相乘
- 就是a32b32
- 所以如果把它們都相加
- 會得到什麽？
- 再換種顏色
- 得到a12b12
- 加上 我要用特定的顏色
- 來寫特定項
- 加上a22b22
- 加上a32b32
- 加上 用這個 用白色寫
- 加上 這裡得到什麽？
- 得到這項乘以2
- 得到這項乘以2
- 然後是是這項乘以2
- 所以加上2乘以a1――我寫下來
- 加上2乘以a1a2b1b2――這就是這項
- 加上這裡的這項
- 加上a1a3b1b3
- 最後 加上這個
- 就是a2a3加上b2b3
- 也許你已經注意到了一些有趣的東西
- 如果你比較這一項
- 如果比較這裡的這一項
- 和這一項
- 它們是相同的
- 得到a1a2b1b2 a1a2b1b2
- 這一項和這一項是相同的
- 再看看其它項 我選用一種鮮豔的顏色
- 就是a1a3b1b3 a1a3b1b3
- 這項和這項是相同的
- 最後 如果比較a2a3b2b3
- 這兒不是加號
- 這兒只有一項
- 所以a2a3――都是相乘
- 就是a2a3b2b3 a2a3b2b3
- 這項和這項是相同的
- 用這個表示 當要展開它時
- 我們得到2乘以這個 +2乘以這個
- 這裡的這項就是展開的結果
- 得到-2乘以這個
- 我們來看看能不能簡化這個
- 如果我們把這個和這個相加會得到什麽？
- 我們試試
- 結果很令人興奮
- 得到a×b 模長的平方
- 我們要把這個和這個相加
- 所以加上a模長的平方乘以b的模長的平方
- 乘以它們夾角的餘弦值
- 這個等於什麽？
- 等於這個加上這個
- 我們再簡化一下
- 這個加上這個等於什麽？
- 我們說過了這是-2乘以這個
- 這是+2乘以這個
- 所以這個――我說清楚一些
- 這個就消去了
- 當加這兩項的時候
- 這個和這個就消去了
- 這些就消去了
- 感謝上帝
- 消去了
- 使我們的生活更簡單了
- 我們還剩下什麽？
- 我們還剩下這個加上這個
- 我們有a12
- 所以我們對於a12項的係數相加
- 對a22項的係數相加
- 對a32項的係數相加
- 我們得到什麽？
- 得到a12乘以這個係數
- 加上這個係數
- 得到b12加上b22加上b32
- 這些東西看起來不太亂了
- 很驚人
- 然後就得到+a22乘以
- 所有係數相加
- 所以b12加上b22加上b32
- 最後 用黃色 得到+a3――對不起
- 我本想用黃色
- 得到a32然後得到這個
- 得到b12 b22 b32
- 所以b12加上b22加上b32
- 正如你所見到的 所有項
- 都和(b12+b22+b32)相乘
- 所以最後提取公因子
- 得到了非常有趣的東西
- 這個等於
- 如果把它提出來的話
- 得到b12+b22+b32
- 乘以a的平方項 乘以a12加上
- a22加上――我有點兒興奮了
- 原始展開式在這兒――a32
- 所以這兩個式子相等
- 但這個呢？
- 我怎麽用另一種方式寫這個？
- 這個和b?b
- 或b的模長的平方相等
- 這個呢？
- 這是a模長的平方
- 這是向量a的模長的平方
- 這就是a?a
- 我再重新寫一下
- 就得到a的長度――用深一點的綠色
- a×b的平方加上這個東西
- 加上――加上 我還是
- 複製和粘貼一下吧
- 這很簡單
- 加上這個東西
- 爲什麽它不行？
- 如果control 複製 粘貼
- 它不好使
- 好吧 加上這個
- a模長的平方乘以b模長的平方
- 乘以夾角的餘弦值
- 等於這個
- 如果從兩邊消去這個會得到什麽？
- 會得到什麽？
- 我們得到a×b模長平方
- 等於這個減去這個
- 我們可以提取公因子――我來寫下來
- 事實上 我來化簡掉它
- 如果兩邊同時消去
- 可以提出它
- 減去a的模長的平方
- 乘以b的模長的平方乘以
- 夾角的餘弦值的平方
- 我們可以提取a2b2
- 這兩個向量長度的平方 對吧？
- 我來改變一下排序
- 這個等於a模長的平方
- 乘以b的模長的平方乘以――
- 這很令人興奮――乘以
- 當提取這個公因子時 你得到1
- 減去cos2θ
- 那麽1減去cos2θ是多少？
- 好 sin2θ加上cos――
- 這是最基本的三角函數公式
- 即sin2θ+cos2θ
- 等於1
- 所以從兩邊消去cos2θ
- 得到sin2θ
- 等於1減去cos2θ
- 這就是sin2θ
- 然後發生了什麽
- 如果兩邊都開平方的話？
- 這很令人興奮
- 得到a×b的模長
- 等於a的模長
- 乘以b的模長
- 乘以它們的夾角的正弦值
- 我對兩邊取開方
- 最後得到了結果
- 我從沒想過我會算出它來
- 你們得到了滿意的結果
- 你不必把它看做
- 是一個大成就
- 幸運的是 你們對結果滿意
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