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- 假設已知兩個非0的向量
- 其中一個向量是x
- 另一個向量是y
- 它們都在空間Rn中且非0
- 從而可以看出它們的絕對值――
- 我換一種顏色
- 這個顏色比較好
- 這兩個向量的點積的
- 絕對值――
- 注意 這個結果是一個純量
- 它少於等於二者長度的乘積
- 我們已經定義了點積
- 也定義了長度
- 它少於等於二者長度的乘積
- 進一步地
- 等號成立的唯一條件
- 這兩個向量的點積
- 等於它們長度之積的唯一情況是――
- 等號成立的
- 唯一條件是――
- 我寫下來――
- 即其中一個向量可以看做
- 另一個向量的常數倍
- 也就是說它們是共線的
- 即其中一個向量
- 是另一個向量的伸長或縮短
- 若且唯若向量x
- 等於向量y的常數倍時
- 我們把
- 這個不等式
- 稱作Cauchy-Schwarz不等式
- 我們來證明它
- 因爲你不能僅從表面理解
- 我能單純地接受它
- 下面我要構造一個函數
- 構造一個函數――
- 它是變量t的函數
- 定義函數p(t)等於
- 等於某個向量的長度
- 這個向量是ty-x 其中t是純量
- 就是這個向量的長度
- 這是一個向量
- 再加一個平方
- 在繼續進行之前
- 我還要強調一點
- 如果要取一個向量的長度 我寫在這
- 若要取向量v的長度
- 我希望大家知道
- 這是一個正數
- 至少是大於等於0的
- 因爲這裡是平方和
- 這是v2? 一直到vn?
- 所有這些都是實數
- 當對一個實數平方時
- 結果總是大於等於0的
- 當把它們加起來時
- 得到的結果
- 當然也大於等於0
- 在對其開根號
- 取主平方根 即正的平方根
- 得到的結果
- 大於等於0
- 所以任何實向量的長度
- 都大於等於0
- 這就是實向量的長度
- 它大於等於0
- 在之前的影片中
- 應該是上上個影片
- 我也講了
- 一個向量的長度的平方可以寫成
- 該向量與自身做點積
- 我重新寫一下這個向量
- 這個向量長度的平方等於
- 那個向量與自身的點積
- 從而等於(ty-x)・(ty-x)
- 在上個影片中
- 我告訴了大家
- 你可以把向量的點積
- 近似理解爲常數的乘積
- 它們的結合律
- 分配律和交換律是類似的
- 所以當對其做乘法時
- 你可以把它看做
- 兩個二項式相乘
- 你可以按照常規的代數二項式乘法的方法
- 來計算這個點積
- 用到的就是分配律
- 但要注意 這同常數的乘法還是有區別的
- 我們做的是點積
- 是向量的乘法
- 或者說是向量的一類乘法
- 把括號打開
- 有ty・ty
- 我寫下來
- 這是ty・ty
- 然後得到――
- 我這麽做
- 然後得到-x・ty
- 我不說“乘以”
- 而應該說是“點乘”
- 這是x・ty
- 然後有ty・(-x)
- 然後是-ty・x
- 最後一項是x・x
- 它可以看做是(-1x)・(-1x)
- 可以寫成+(-1x)
- 這可以看做是加上-1
- 所以這是(-1x)・(-1x)
- 我們看一下
- 這就是上式
- 展開後的形式
- 這其實不能算作化簡
- 但是我可以用交換律和分配律
- 來改寫這個表達式
- 它等於(y・y)t?
- t是一個純量
- 減去―― 事實上應該是2倍的
- 這兩項是相等的
- 它們僅僅是排列不一樣
- 我們已經知道點積滿足結合律
- 所以等於2(x・y)t
- 也許我應該換一個顏色
- 從而這兩項就化成這一項
- 然後如果重新排列這一項
- 會得到-1乘以-1
- 它們消去了 從而符號是+
- 並且僅剩下x・x
- 我換個顏色
- 用橘黃色吧
- 從而這項就化成了這項
- 當然 這項化成了這項
- 注意 我所做的
- 就是改寫這個式子
- 這項大於等於0
- 我把它寫在這
- 這兩個式子是相等的
- 我只是改寫了一下
- 所以這個式子大於等於0
- 下面要做一個替換
- 來化簡這個表達式
- 然後再反替換回來
- 將它定義爲a
- 定義這一項是b
- 就是-2x・y這項
- 保留t
- 定義這項
- 將它定義爲c
- 即x・x=c
- 那麽這個表達式化成了什麽呢？
- 它化成at?減去――
- 我要注意顏色的使用――
- 然後是bt+c
- 我們當然知道
- 它大於等於0
- 它與上面這項相等
- 都大於等於0
- 我把p(t)寫在這
- 這項現在大於等於0
- 對於任意的t成立
- 對於任給的實數t
- 我取函數在b/2a處的值
- 我確定可以這麽做
- 因爲我確定
- 分母上不會出現0
- a是這個向量與自身做點積
- 並且已知它是非0的向量
- 它是這個向量長度的平方
- 它是非0向量
- 對於上面這些項
- 當你取其長度時
- 結果都是正的
- 所以這一項是非0的
- 它是非0的向量
- 從而2乘以這個點積
- 也是非0的
- 所以我們可以這麽做
- 不用擔心除以0的事
- 它等於什麽呢？
- 它等於――
- 我還用綠色來寫
- 要換顏色太麻煩了
- 它等於a乘以這個表達式的平方
- 即b?/4a?
- 將2a平方得到4a?
- 減去b乘以這項
- 即b乘以） 這是常數的乘法
- 即b乘以b/2a
- 這是常數的乘法
- 再加上c
- 我們這道這個式子大於等於0
- 如果將其化簡 得到什麽呢？
- 這裡的a消去了
- 分子上是b?
- 從而有b?/4a-b?/2a
- 就是這一項
- 再加上c 這個這項大於等於0
- 我改寫一下
- 如果分子分母同時乘以2
- 會得到什麽？
- 得到2b?/4a
- 我這麽做是因爲
- 我要使分母相同
- 那麽得到什麽？
- 得到b?/4a-2b?/4a
- 化簡之後是什麽？
- 分子是b?-2b?
- 從而就得到-b?/4a+c
- 大於等於0
- 這兩項相加得到這項
- 如果在等式兩邊加上這項
- 得到c大於等於b?/4a
- 這項在左邊是負的
- 如果在兩邊同時加上它
- 則右邊的項就變成正的
- 我們得到的東西
- 是一個不等式
- 現在把變量替換回去
- 看看得到什麽
- 我開始做的替換在哪？
- 它在這
- 進一步化簡
- 兩邊同時乘以4a
- a不僅是非0的
- 而且是正的
- 這是它長度的平方
- 並且我已經講過
- 任何實向量的長度都是正的
- 我之所以要強調
- a是正的是因爲
- 如果兩邊同時乘以它
- 不等式就不用變號
- 那麽在做替換之前
- 我在兩邊同時乘以a
- 得到4ac大於等於b?
- 得到這個
- 我煞費苦心地做到了這一步
- 我說過a一定是正數
- 因爲它是向量長度的平方
- y・y是y的長度的平方
- 它是一個正值
- 它一定是正的
- 我們在實數範圍內處理問題
- 現在來做替換
- 那麽4a就是y・y
- y・y也是――
- 我還寫在這
- y・y就是y的長度的平方
- 這是y・y 它等於a
- 我在之前的影片中講過y・y
- 乘以c
- c是x・x
- x・x就等於
- 向量x的長度的平方
- 這是c
- 從而4ac
- 大於等於b?
- 那麽b是多少？ b就在這裡
- 從而b?等於2(x・y)?
- 我們得到了這個結果
- 我們下面怎麽做呢？
- 抱歉 應該是對整個這項平方
- 這一項才是b
- 我們看看能否進行化簡
- 我們得到―― 我換一種顏色
- 4乘以y的長度的平方
- 乘以x的長度的平方
- 大於等於――
- 如果對這項平方
- 就得到4(x・y)
- 再乘以(x・y)
- 事實上
- 這麽寫會更好一些
- 寫成4(x・y)?
- 下面兩邊同時除以4
- 這不會改變不等式
- 兩邊的4就消去了
- 現在對等式兩邊
- 同時開平方
- 則兩端開平方之後得――
- 這些都是正值
- 所以這邊開平方
- 就是每一項的開方
- 這是根據指數的性質
- 如果對兩邊開方
- 就得到y的長度乘以x的長度
- 大於等於這一項的開方
- 我們開方後取正值
- 不等式兩邊開方後
- 都取正值
- 這使得我們
- 避免了許多麻煩
- 從而正的平方根
- 就是x・y的絕對值
- 嚴格地說
- 這個是絕對值
- 因爲這一項
- 可能是負值
- 但當平方之後
- 你應當注意
- 當開方之後
- 還保持正值
- 否則的話 當我們取主平方根後
- 就會産生混亂
- 我們取正的平方根
- 就是――
- 如果取絕對值
- 就確定了值是正的
- 這是我們的結果
- 向量點積的絕對值
- 少於等於這兩個向量長度的乘積
- 從而就證明了
- Cauchy-Schwarz不等式
- 我最後要說的是
- 如果x是y的常數倍
- 會怎麽樣？
- 如果這樣的話 絕對值是多少？
- x・y的絕對值
- 它等於―― 等於什麽？
- 如果進行替換
- 則它等於cy・y的絕對值
- 它就是x・y
- 從而等於
- 根據結合律
- 它等於絕對值――
- 我們已經確定
- 絕對值總是正的
- 然後是y・y
- 這等於c乘以y的長度――
- 等於y的長度的平方
- 從而等於c的大小――
- 或者說常數c的絕對值
- 乘以向量y的長度
- 我可以改寫這一項
- 如果你對其不確定的話
- 可以自己證明一下 但是這一項――
- 我們可以把c放入絕對值中
- 這是個很好的證明練習
- 直接證明就可以
- 只需應用長度的定義
- 並且用它乘以c
- 從而等於cy的長度乘以――
- 我應該說cy的長度乘以y的長度
- 有幾個向量沒有標上記號
- 我給它們標上
- 這是x
- 所以它等於x的長度乘以y的長度
- 我給大家介紹了
- Cauchy-Schwarz不等式的第二部分
- 式子兩邊相等
- 若且唯若它們互爲對方的常數倍
- 如果你對我講的某些步驟
- 還有些疑惑
- 那麽你可以去證明一下
- 例如 證明||cy||
- 與|c|<i>||y||</i>
- 是相等的
- 無論如何 我希望你能發覺它的用處
- 在證明線性代數中的一些結論時
- 我們經常會
- 用到Cauchy-Schwarz不等式
- 在下面的影片中
- 我會更直觀地爲大家講解
- 爲什麽這個不等式
- 與向量的點積有關