載入中...
相關課程
登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Proving Vector Dot Product Properties : Proving the "associative", "distributive" and "commutative" properties for vector dot products.
相關課程
0 / 750
- 在這個影片中 我要證明一些
- 關於點積的基本性質
- 你可能會感覺到
- 我講的東西有些簡單
- 坦率地說 確實是這樣
- 我之所以這麽做有兩個原因
- 其一 這類性質
- 你會在線性代數課上
- 經常被問到
- 但更重要的是
- 現階段我們正在建立
- 關於向量的理論基礎
- 有些東西是不能隨便假設的
- 你必須親自證明出所有的東西
- 我第一個要證明的是
- 關於點積的性質
- 當對向量做點積時
- 如果用v點乘w
- 乘積的先後順序
- 沒有關係
- 我就要證明它等於w點乘v
- 應該怎麽做呢？
- 我們用關於向量證明的
- 一般模式
- 就是具體寫出這些向量
- v就是[v1,v2,……,vn]
- 這個就是v
- 令w等於
- 向量[w1,w2,……,wn]
- v・w是多少？
- v・w等於――
- 我換一種顏色―― v1乘以w1
- 加上v2乘以w2 加到vn乘以wn
- 很好
- 那麽w・v是多少呢？
- 對於w・v―― 根據定義
- 就是將分量的乘積相加
- 我寫出來
- 從而就能得出結果
- 它等於w1v1+w2v2
- 加到wnvn
- 顯然二者相等
- 因爲如果將二者的
- 第一項作比較
- 它們顯然是相等的
- 即v1w1=w1v1
- 我可以這麽說是因爲
- 實數的交換律是成立的
- 這裡我們處理的是向量
- 我們處理的是這種怪異的乘法
- 稱作點積
- 但現在我可以肯定地說它們是相等的
- 因爲這就是一般的乘法
- 它滿足交換律
- 我拼寫一下“交換律”
- 我們曾經學過―― 我不知道什麽時候學的
- 可能是二三年級
- 反正它們是相等的
- 並由此可得
- 這兩個向量的點積也相等
- 你可以通過交整流量的順序
- 來改寫每一項
- 這都是基於純量乘法的性質
- 或者說是實數乘法的性質
- 由此我們知道這兩項是相等的
- 或者說這兩項相等
- 我們已經證明了在做點積時
- 向量的先後順序不影響結果
- 下面我們要考慮
- 點積是否滿足
- 分配律
- 我再定義另一個向量x
- 另一個向量x
- 你們一定知道我將如何定義它
- 即[x1,x2,……,xn]
- 現在要搞清楚點積
- 是否像我期望的那樣滿足分配律
- 如果用v加上w
- 然後整體乘以x
- 首先
- 點乘的先後順序沒有關係
- 我就這麽寫 也可以用x點乘這個和式
- 這都沒有區別
- 因爲剛剛證明了交換律
- 如果分配律成立
- 那麽它應當
- 等於v・x+w・x
- 如果這些都是數值
- 並且這是一般的乘法
- 那麽可以用x乘以括號裏的每一項
- 就像我寫的一樣
- 我們來證明點積是否滿足交換律
- v+w是多少？
- v+w等於――
- 就是將對應分量相加
- 即v1+w1 v2+w2
- 直到vn+wn
- 這就是上面那項
- 然後將它乘以向量[x1,x2,……,xn]
- 得到什麽？
- 我們得到
- 式(v1+w1)x1+(v2+w2)x2
- 加到(vn+wn)xn
- 我就是做了這兩項的點積
- 就是將對應分量相乘
- 然後相加
- 這就是點積
- 這是(v+w)・x
- 我寫下來
- 這是(v+w)・x
- 下面我們處理這一項
- 我寫在這
- v・x是多少？
- 我們見過v・x
- 就是v1x1
- 它們不是向量
- 它們都是分量
- 加上v2x2 加到vnxn
- w・x是多少？
- w・x等於w1x1+w2x2
- 加到wnxn
- 將這兩項加起來得到什麽？
- 注意 這是兩個純量相加
- 這是個純量 這是個純量
- 我們不在做向量加法
- 這是一個純量
- 這是一個純量
- 將它們相加得到什麽呢？
- v・x+w・x等於
- 式(v1x1+w1x1)+(v2x2+w2x2)
- 加到(vnxn+wnxn)
- 我知道這很無聊
- 但你應該能看出
- 我們正在處理的是實數的運算
- 可以把x提出來 然後得到什麽？
- 我寫在這
- 它等於―― 我們把x提出去
- 提出因子x
- 得(v1+w1)x1+(v2+w2)x2
- 加到(vn+wn)xn
- 可以看出
- 它與這個式子相等
- 從而我們就證明了
- 這個表達式
- 與這個表達式相等
- 或者說分配律
- 對於點積同樣適用
- 我知道這很簡單
- 究竟爲什麽還要講這些呢？ 我這麽做是因爲
- 我們要建立完整的體係
- 不能光靠假設
- 這個證明是十分顯然的
- 一般地 當我做向量加法
- 和純量乘法時
- 我沒有證明
- 但事實上是應該加以證明的
- 其實你完全可以證明交換律
- 或者對於純量乘法
- 可以證明它的分配律
- 方法和上述方法一樣
- 許多教材中
- 都把它們作爲學生的課後練習
- 因爲這很簡單
- 作者認爲不值得贅述
- 我還要介紹最後一個性質
- 即結合律
- 我來告訴大家
- 如果取某個純量
- 用它乘以某個向量v
- 然後用它跟w做點積
- 如果通常的乘法交換律
- 是成立的
- 則它應當等於――
- 這依然有個問號
- 因爲我還沒有證明
- 它應當等於c(v・w)
- 我來證明它
- c乘以向量v是多少
- cv等於
- 向量[cv1,cv2,……,cvn]
- 然後點乘向量w 我們已經知道怎麽算
- 結果是多少？
- 等於這項乘以w的第一項
- 即cv1w1加上這項乘以w的第二項
- 即cv2w2
- 直到cvnwn
- 很好
- 這是左邊的結果
- 我們來算右邊
- v・w是多少？
- 我寫在這
- 我們做過很多次了
- 它就等於v1w1+v2w2+……+vnwn
- 我已經懶得算了
- 我想大家也看膩了
- 但是作爲練習 這還是有必要的
- 如果要求你計算
- 你必須能夠算出來
- 那麽c乘以這項是多少呢？
- 如果用純量乘以這項
- 這與用純量
- 乘以這一項相同
- 我是在用一個純量乘以――
- 我們根據
- 關於實數運算的
- 分配律得到
- 得到cv1w1+cv2w2
- 加到cvnwn
- 從而看出這項等於這項
- 因爲這項等於這項
- 現在最困難的部分是――
- 我記得當我第一次接觸線性代數時
- 我發現當教授
- 要進行證明的時候
- 我就感覺到很麻煩
- 因爲這看起來太顯然了
- 觀察它們的分量之後
- 就會發現這太顯然了
- 它能夠轉化成
- 每個分量相乘 然後加和
- 這就是結合律
- 它很顯然―― 還要證明什麽呢？
- 我花了些時間
- 把剛才的過程寫下來
- 教授們不想我們做什麽驚天動地的
- 他們僅要求我們證明
- 當處理每個分量的時候
- 所需要做的就是假設關於實數的
- 分配律 結合律 交換律都成立
- 從對於向量的點積運算
- 就可以用相似的方法
- 證明相同的性質
- 我希望你能發現它的用處
- 在下節課中
- 我們會用這些工具
- 來證明一些關於向量的
- 一些有趣的性質