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Relating invertibility to being onto and one-to-one : Relating invertibility to being onto (surjective) and one-to-one (injective)
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- 兩個影片之前 我們學習了一個函數
- 從集合X到集合Y的映射是可逆的
- 若且唯若
- 我寫成一個if兩個f
- 若且唯若對於每一個y 我把這個寫下來
- 我用黃色來寫
- 對於每一個屬於上域的元素y
- 存在一個唯一的
- 我把它寫得粗一些
- 一個唯一的屬於定義域的x
- 使得f(x)=y
- 那就是說 如果我把定義域畫在這
- 這是X 然後我再畫上域在這 就是Y
- 我們說這個函數f是可逆的
- 我們知道可逆的意思
- 它的意思是有另一個函數
- 稱作逆
- 可以本質上
- 如果計算它結合f
- 它就像在X上做恆等函數
- 或者如果你計算f結合它
- 它就像在Y上做恆等函數
- 我們已經做了很多次了
- 所以在這我就不再重覆了
- 我們知道什麽事可逆性
- 但是我們又學過它是可逆的若且唯若
- 對於每一個y 你取任意y
- 任意屬於上域的元素y
- 存在唯一的x
- 使得f(x)=y
- 我這麽寫
- 如果這是一個x 比方說這是一個x0
- f(x0)就等於y
- 所以這個y會等於f(x0)
- 你在這作用這個函數
- 它會把它映到這個點
- 它不會是可逆的如果你有這個
- 如果你有X中的兩個元素映射到這
- 這種情形下 就會打破可逆性
- 因爲之後你就不會有唯一這個條件
- 你必須有一個唯一的x映射到這
- 我剛剛畫得 這個粉色的對應
- 我們沒有一個唯一的x映射到y
- 我們有兩個X中的元素映射到y
- 現在 基於在上次影片中我講的內容
- 這是什麽意思？
- 如果我有一個唯一的x映射到每一個y
- 那就意味著 必須要有一個一對一的映射
- 那個f必須是一對一的
- 我寫下來
- 換一種說法
- 就是f是一對一的或者是嵌射
- 如果我們有兩個元素映射到同樣的y
- 那就會破壞這個條件
- 我們就不能說是一對一的 我們就不能說
- 存在一個唯一解x
- 對於在這的這個等式
- 現在 這個另一部分是對於每一個y
- 你可以任取y
- 存在一個唯一的x映射到那
- 不可能有某個y在這
- 比方說有某個y在這
- 沒有元素映到它
- 如果是這種情況下
- 那麽我們不會有可逆性的條件
- 所以那樣就是不可逆的
- 每一個Y中的元素
- 必須被映射到
- 所有這些元素都必須被映射到
- 而且它們只能
- 被X中的一個元素映射到
- 每一個元素都被唯一的元素映射到
- 現在 在上次影片中
- 怎樣稱呼一個
- 映射到上域中的每一個元素的函數呢？
- 這的每一個元素 換一種說法叫什麽
- 就是一個函數映射到上域中的每一個元素
- 上次影片中我解釋說
- 這個概念稱作一個蓋射或者映上的函數
- 所以我做這個影片的全部的原因就是
- 因爲我只想重申這個條件
- 對於可逆性利用術語
- 我在上次影片介紹給你們的
- 給定這個聲明對於每一個y
- 那是上域的一個元素
- 存在一個x映射到它
- 我們就可以說f是蓋射
- 如果我們說f是蓋射
- 那就意味著 每一個這的元素都被映射到
- 但是它可能被映射 也許這個元素在這
- 會被多於一個的元素同時映射到
- 蓋射自身不會
- 構成這個條件――存在一個唯一的映射
- 從一個X中的元素到Y中的那個元素
- 所以爲了得到這個條件 爲了滿足
- 這個可逆性要滿足的唯一性的條件
- 我們必須說 f同樣必須是嵌射
- 顯然
- 也許不太正式的術語稱呼這二者
- 你稱這個映上了
- 你可以稱這個一對一的
- 那麽利用術語
- 上次影片我們學到的
- 我們可以重申這個可逆性條件
- 我們可以說 一個函數是一個映射
- 從定義域X到上域Y 它是可逆的
- 若且唯若 我把它寫出來
- f既是蓋射又是嵌射
- 或者我們可以說 f是可逆的
- 若且唯若 f是映上的和一對一的
- 這些就是一些特殊的表達方式去說明
- 對於每一個上域中的y
- 有一個唯一的x作用f映射到它
- 而且對於每一個y 沒有多於一個元素映射到它