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相關課程
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- 在上次的影片中 我們定義了一種變換
- 在R2空間內旋轉任意向量就會得到
- R2空間內另一個旋轉後的向量
- 在這次影片中 有必要擴展這部分內容
- 我打算在R3空間內做這件事情
- 所以我要定義一個旋轉變換
- 仍然稱它爲θ
- 這次將有一個映射從R3映到R3
- 你想象一下 旋轉一定角度的思想
- 變得有點複雜了
- 當我們處理三維情形的時候
- 那麽這次我們將繞x軸旋轉
- 我這樣稱它
- 這樣將繞x軸旋轉
- 這次影片可以看到我們做了什麽
- 就可以簡單地推廣到其他軸的旋轉上
- 如果你想繞x軸旋轉
- 然後y軸
- 然後z軸旋轉 旋轉不同的角度
- 你們就可以簡單地一次次應用這個變換
- 我們將涉及很多細節
- 在以後的影片中
- 但是這次將給你們提供一些手段去說明
- 這個以前影片中學習過的思想
- 實際上是可以擴展到多維情形的
- 尤其是三維情形
- 那麽我先來明確一下
- 我們將要做什麽
- 我先來畫一些軸線
- 這是x軸
- 這是y軸
- 這是z軸
- 當然 這是R3空間
- 但是對任意R3中的向量
- 我將繞x軸反時針旋轉它
- 我們將這樣旋轉
- 所以如果有個向量
- 我就把它畫在z平面
- 因爲在視覺上看得比較清楚
- 但是如果有一個向量在z平面上
- 它會一直在z平面
- 但是它會反時針旋轉
- 一個角度θ 像這樣
- 現在 有點複雜的是向量
- 不在z平面
- 如果我們有某個向量
- 有x分量像這樣
- y分量和z分量
- 像這樣
- 然後當你旋轉它
- 它的z分量和分量會發生變化
- 但是它的x分量不變
- 那麽它會看起來像這樣
- 我看看能不能給它畫準
- 然後當我旋轉這個向量
- 它看起來會是這樣
- 無論怎樣 我不知道我畫的像不像
- 但是這是繞x軸旋轉
- 我認爲你們能理解
- 根據上次影片
- 我們想構建一個變換
- 我稱這個旋轉3θ
- 或者我稱它是“3-θ旋轉”
- 既然它處理的是R3空間
- 我們想要做的是去求某個矩陣
- 所以可以把對x做3旋轉 下標θ寫成
- 某個矩陣A乘以向量x
- 既然這是一個變換從R3到R3
- 這個當然是3×3矩陣
- 上一次影片我們知道要想算出這個
- 你只需要把這個變換應有到
- 單位方陣上
- 所以我們要做的就是
- 我們從R3中的單位方陣入手
- 它將會是3×3的
- 它就是[1,0,0；0,1,0；0,0,1]
- 每一列就是R3中的基向量
- 就是e1 e2 e3
- 我可能寫得有點小
- 每個部分是R3的基向量
- 我們需要做的就是應用這個變換到
- R3的每一個基向量上
- 所以我們的矩陣A會像這樣
- 我們的矩陣A會是一個3×3矩陣
- 第一列是這個變換
- 3旋轉 下標θ
- 作用到這個行向量[1；0；0]上
- 然後我們把它作用到
- 這個中間的行向量上
- 你已經理解這個思想
- 我就不把所有的東西都寫出來了
- 我把該旋轉作用到[0；1；0]
- 然後我將把它作用到 我在這寫
- 3旋轉 下標θ
- 我把它作用到最後一行向量上
- 就是[0；0；1]
- 我們看過很多遍了
- 那麽我們來應用它
- 我們來在R3中旋轉每一個基向量
- 我們把它們沿x軸旋轉
- 那麽首項 如果我畫一個R3
- 它會變成什麽樣
- 它方向指向x軸方向 對吧
- 如果我們稱這個爲x維
- 如果第一項對應我們的x維
- 第二項對應我們的y維
- 第三項對應到
- 我們的z維
- 這個向量就是一個單位向量
- 延伸出來像這樣 對吧？
- 所以如果我沿x軸旋轉這個向量
- 它會發生怎樣的變化？
- 不變
- 這是x軸
- 所以當你旋轉它 它不會改變它的方向
- 或是大小 或是其他的什麽
- 所以這個向量
- 就是這個向量本身[1；0；0]
- 當你旋轉它不會有任何變化
- 現在這些變得有趣了
- 爲了做這件事情 我畫zy軸
- 我先畫z
- 那麽這是z軸 這是y軸
- 現在這個基向量是在y方向上單位1
- 所以這個向量就是這樣
- 它的長度爲1
- 然後當你沿x軸旋轉它
- 當我想這樣畫它的時候 你就可以想象x軸
- 就是電腦屏幕向外方向
- 那麽我就可以把它畫成這樣
- 像箭尖向外指
- 我們不像這樣把它畫出一個角度
- 我們就畫它垂直伸出電腦屏幕
- 所以如果你想旋轉這個向量
- 這個藍色的向量 一個角度θ
- 它會變成這樣
- 我已經在以前的影片中做過這件事情了
- 它的新坐標是什麽
- 首先
- 它的x坐標完全發生改變了嗎？
- 它的x坐標之前是0
- 因爲它分解不到x維上
- 它只是停留在zy平面上
- 它之前是0
- 當你旋轉它 他始終在zy平面上
- 所以它的x方向 或者說x部分
- 一點也不會變
- 所以x方向始終還是0
- 然後新的y方向呢？
- 完全按照之前影片中介紹的方法來做
- 我們算出這個會是它的新的
- 我覺得我沒有必要在這畫一個向量
- 但是這個長度將會
- 是它的新的y分量
- 這個長度會是
- 它的新的z分量
- 那麽它的新的y分量是什麽
- 我們在上次影片中做過
- 所以我不會摳太多細節
- 但是cosθ是什麽？
- 這個向量的長度是1 對吧？
- 這些是標準基向量
- 重要的一點 使它們成爲
- 一個漂亮的單位基向量是它們的長度爲1
- 所以我們知道cosθ等於
- 鄰邊比上斜邊
- 鄰邊在這
- 斜邊在哪
- 它等於1
- 所以這個鄰邊
- 我們可以說 它是我們新的第二分量
- 我們的第二項
- 等於cosθ 對吧？
- 這是A
- 你完全可以忽略掉第一項
- 這等於cosθ
- 那麽它的新的z分量會變成怎樣？
- sinθ等於對邊
- 這條邊比上1
- 所以它就等於它的對邊
- 這個向量對應的那條對邊的長度
- 就是它的新的z部分 一旦它被旋轉
- 所以你得到sinθ在這
- 現在我們把所有問題都移到做z方向
- 那麽這個z基向量
- 在這張圖上它會變成怎樣
- 我把它重新畫一下
- 使得事情變得簡單一點
- 這是z軸 這是y軸
- 我的z基向量e3
- 它看起來就像這樣
- 它只沿z方向
- 所以首先
- 我們先把它旋轉一個角度θ
- 我把它像這樣旋轉
- 這是一個角度θ
- 它的之前的x項是0
- 它根本沒有x方向上的分量
- 當然我們始終還在zy平面上
- 所以它不會在x方向上有什麽變化
- 所以它始終是0
- 現在它的新的y部分變成怎樣
- 它的新的y坐標 我們這樣稱呼它
- 會是這個長度
- 或者說是這個坐標
- 我們怎樣把它算出來？
- 這個長度完全等同於這個長度
- 如果我們稱這個爲這個角度的對邊
- 我們知道sinθ等於
- 這個對邊比上這個向量的長度
- 就是1
- 所以它就等於對邊
- 所以這個對邊等於sinθ
- 但是我們新的坐標是在z軸左側
- 所以前面有個負號
- 我們之前的影片遇到過這種情況
- 所以它就是一個-sinθ
- 這個點 這個坐標
- 所以它是-sinθ
- 然後最後
- 它的新的z坐標是怎樣的
- 它會是這個長度
- 我們知道這個長度 如果稱它爲鄰邊的話
- 我們知道這個cosθ等於
- 這個除以1
- 所以它等於鄰邊
- 所以就把cosθ寫在這
- 我們就得到了這個變換矩陣
- 做完了
- 我們的變換矩陣A就是這個
- 所以現在我們可以說我們新的變換
- 這個影片介紹的就是這樣
- 稱它爲3 因爲它是在R3空間內的一個旋轉
- 也許我應該稱它爲3 下標x
- 因爲它是一個沿x軸方向的旋轉
- 你們已經學會了這個思想
- 它就等於這個矩陣
- 重新把它整理出來
- 這樣來做
- 我把這些都刪了 我沒有必要重新寫
- 我們這個影片介紹的變換
- 對x做該旋轉 這個變換等於
- 這個矩陣乘以一個R3中的向量x
- 你或許會說 嗨 Sal
- 這個很像以前我們做的結果
- 如果你還記得上次影片的時候
- 當我們定義了在R2中的旋轉
- 我們得到一個變換矩陣
- 與這個很像
- 這個說得通
- 因爲我們必須
- 在zy平面上反時針做旋轉
- 現在你或許會說“Sal，爲什麽這個很有用？”
- 你擴展它到三維或者說R3
- 在做R2的時候就看到
- 爲什麽這個有用
- 它是一種特殊的情況
- 你們只是繞x軸旋轉
- 我做它有兩個原因
- 一方面向你們展示你可以擴展到R3
- 另一方面 如果你考慮這個問題
- 很多你們可能想在R3中做的許多旋轉
- 可以首先被描述爲繞x軸旋轉的情形
- 我們在這個影片做的
- 然後繞y軸旋轉
- 然後也許繞z軸旋轉
- 這就是一種情況
- 我們處理繞x軸旋轉的情形
- 但是你也可以做同樣的事情
- 去定義旋轉變換矩陣
- 繞y軸和z軸
- 然後你可以一步步的應用它們
- 我們將討論很多這方面的內容
- 在以後當我們開始應用
- 一個變換接一個變換
- 無論怎樣 希望你們能發現這個還是有用的
- 這就是R2中旋轉的推廣了