載入中...
相關課程

登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions : Introduction to surjective and injective functions
相關課程
0 / 750
- 這次影片中 我想向你們介紹
- 某些很有用的術語
- 在我們討論函數及其可逆性的過程中
- 應該說這些術語
- 在你學習數學的過程中很可能會見到
- 比方說有一個函數
- 它是一個從集合X到集合Y的一個映射
- 我們已經多次畫這個圖了
- 但是再畫一次也無妨
- 這是集合X 或者說是定義域
- 這是集合Y 或者說是上域
- 別忘了上域是你想要映射到的集合
- 你沒有必要
- 映射到這個集合的每一個元素
- 甚至一個也沒映到
- 這就是所有的元素
- 你可能映射到的上域的元素所組成的集合
- 我們來看一下
- 如果在這有某個元素
- f會把它映到上域Y中的某個元素
- 第一個我想介紹給你們的思想或者術語
- 就是一個函數是蓋射
- 有時候這被稱作映上了
- 一個函數是蓋射或者說是映上了
- 如果對於上域中的每個元素
- 我這麽寫
- 如果對每一個 比方說y
- 它是上域中的一個成員
- 存在
- 這是表示存在的簡化符號
- 存在至少X中的一個元素x
- 這樣
- 我可以寫得 像這樣
- 我直接把它寫出來吧
- 如此以致f(x)=y
- 所以本質上說 你可以在這取任意y
- 每一個y
- 被至少一個X中的元素映到
- 比方說 我畫一個簡單的例子
- 不這樣用一些術語說明
- 比方說我有一個集合Y
- 就像這樣
- 比方說一個集合Y 我將把它畫得非常
- 比方說它有四個元素
- 元素A,B,C,D
- 這是集合Y
- 比方說集合X像這樣
- 比方說它有元素1,2,3,4
- 現在爲了說明函數f是蓋射 或者說是映上了
- 它的意思就是每一個這些元素
- 都必須被映射到
- 這是什麽意思?
- 如果這些每一個元素
- 畫幾個例子
- 比方說這個映到這
- 比方說這個映到這
- 比方說這個映到這
- 比方說 我在這再畫一個第五個元素
- 比方說這兩個元素都映射到D
- 所以f(4)=D f(5)=D
- 這是一個蓋射函數的例子
- 這些是映射f
- 這個函數就是映上了或者說是蓋射
- 爲什麽這樣?
- 因爲每一個這的元素都被映射到了
- 現在我給你們一個函數的例子
- 不是蓋射
- 我再在Y中加某些元素
- 比方說集合Y有另一個元素稱作E
- 現在突然間這不是蓋射了
- 爲什麽這樣?
- 因爲有Y中的某個元素
- 沒有被映射到
- 如果我告訴你 f是一個蓋射函數
- 它就意味著如果你計算 本質上
- 如果你映射所有這些值
- 每一個元素在這
- 都會被至少一個元素映射到
- 那麽你可以這樣
- 每一個元素可以是某種所謂一對一的映射
- 我會在以後進一步做定義
- 它可以就像這樣 像這樣
- 你可以甚至 它說至少一個 所以你可以
- 甚至這有兩個元素映到這的一個元素
- 核心要求是
- 每一個這的元素都被映射到
- 另一個方法去考慮它
- 就是取image
- 所以蓋射 我寫在這
- 我這樣寫
- 如果你說f是蓋射或者說是映上了
- 這是一個意思
- 這就意味著img(f)
- 別忘了這個像(image)是
- 所有f可能映射到的值
- 這就意味著img(f)=Y
- 現在 我們之前學過
- 像不一定要等於上域
- 但是如果你有一個蓋射或者映上的函數
- 像就等於上域
- 上域中的每一個元素都被映到
- 實際上像換一個詞就是值域
- 你也可以說range(f)=Y
- 別忘了如何區分
- 我畫過這個區別
- 當我們第一次討論函數的時候
- 上域和值域的區分
- 上域是你可以映射到的集合
- 你不一定要映射到每一個元素
- 值域是上域的一個子集
- 你必須要映射到
- 如果你想計算這個函數
- 在所有這些點的值
- 這些點你實際映射到的就是值域
- 也稱作像
- “像”這個詞
- 在線性代數中用的更多
- 但是如果像或者值域
- 等於上域
- 如果上域中的每一個元素都被映射到
- 那麽你處理的就是一個蓋射函數
- 或者說是映上的函數
- 現在 下一個我想介紹給你們的術語
- 是嵌射函數的概念
- 這在有些時候被稱作一對一的函數
- 我再畫一下定義域和上域
- 比方說這是定義域
- 這是上域
- 這是X 這是Y
- 如果我說f是一個嵌射 或者說是一對一的
- 那就意味著 對於每一個映射到的值
- 我這麽寫
- 對於每一個被映射到的值
- 我們說 我會用兩個不同的方法形容
- 至多一個x映射到它
- 另一種表達方式是
- 對於Y中的每一個元素y
- 我這麽寫
- Y中任意元素y
- 至多一個 我把most大寫
- 至多一個x 使得f(x)=y
- 可能沒有X中的元素映到它
- 比方說 可以有一個元素y
- 在這就沒有被映到
- 每一個其它Y中的元素都被映到了
- 但是就是這個元素沒有被映到
- 所以這種情況
- 我們不會得到一個蓋射函數
- 這不是映上的因爲這個元素
- 它是上域中的元素
- 但它不是像或值域的元素
- 它沒有被映到
- 但是這仍會是一個嵌射函數
- 只要每一個x映射到一個獨一無二的y
- 現在一個函數怎樣就不是嵌射或一對一的呢?
- 我想你可能明白
- 當有人說一對一的時候
- 如果兩個X中的元素映到了同樣的y
- 或者三個映到了同樣的y
- 這就意味著我們
- 面對的不是一個嵌射或者一對一的函數
- 這就是它全部的意思
- 我再畫一個例子在這
- 我們回到這裡的例子
- 當我加這個E的時候
- 我們說這就不再是蓋射了
- 因爲不是每一個元素都被映到了
- 這是一個嵌射函數嗎
- 不是
- 因爲有f(5)和f(4)都映射到D
- 就在這破壞了它的一對一性
- 和嵌射性
- 就在這破壞了它的蓋射性
- 現在我想把這個變成一個蓋射
- 和一個嵌射函數
- 我會刪掉這個對應
- 我會把f(5)映到E
- 現在每一個元素都是一對一的
- 不存在兩個不同的X中的元素
- 映到Y中同樣的元素
- 而且每一個Y中的元素現在都被映到了
- 這個映射是映上的 而且還是一對一的