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Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions : Introduction to surjective and injective functions
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- 這次影片中 我想向你們介紹
- 某些很有用的術語
- 在我們討論函數及其可逆性的過程中
- 應該說這些術語
- 在你學習數學的過程中很可能會見到
- 比方說有一個函數
- 它是一個從集合X到集合Y的一個映射
- 我們已經多次畫這個圖了
- 但是再畫一次也無妨
- 這是集合X 或者說是定義域
- 這是集合Y 或者說是上域
- 別忘了上域是你想要映射到的集合
- 你沒有必要
- 映射到這個集合的每一個元素
- 甚至一個也沒映到
- 這就是所有的元素
- 你可能映射到的上域的元素所組成的集合
- 我們來看一下
- 如果在這有某個元素
- f會把它映到上域Y中的某個元素
- 第一個我想介紹給你們的思想或者術語
- 就是一個函數是蓋射
- 有時候這被稱作映上了
- 一個函數是蓋射或者說是映上了
- 如果對於上域中的每個元素
- 我這麽寫
- 如果對每一個 比方說y
- 它是上域中的一個成員
- 存在
- 這是表示存在的簡化符號
- 存在至少X中的一個元素x
- 這樣
- 我可以寫得 像這樣
- 我直接把它寫出來吧
- 如此以致f(x)=y
- 所以本質上說 你可以在這取任意y
- 每一個y
- 被至少一個X中的元素映到
- 比方說 我畫一個簡單的例子
- 不這樣用一些術語說明
- 比方說我有一個集合Y
- 就像這樣
- 比方說一個集合Y 我將把它畫得非常
- 比方說它有四個元素
- 元素A，B，C，D
- 這是集合Y
- 比方說集合X像這樣
- 比方說它有元素1,2,3,4
- 現在爲了說明函數f是蓋射 或者說是映上了
- 它的意思就是每一個這些元素
- 都必須被映射到
- 這是什麽意思？
- 如果這些每一個元素
- 畫幾個例子
- 比方說這個映到這
- 比方說這個映到這
- 比方說這個映到這
- 比方說 我在這再畫一個第五個元素
- 比方說這兩個元素都映射到D
- 所以f(4)=D f(5)=D
- 這是一個蓋射函數的例子
- 這些是映射f
- 這個函數就是映上了或者說是蓋射
- 爲什麽這樣？
- 因爲每一個這的元素都被映射到了
- 現在我給你們一個函數的例子
- 不是蓋射
- 我再在Y中加某些元素
- 比方說集合Y有另一個元素稱作E
- 現在突然間這不是蓋射了
- 爲什麽這樣？
- 因爲有Y中的某個元素
- 沒有被映射到
- 如果我告訴你 f是一個蓋射函數
- 它就意味著如果你計算 本質上
- 如果你映射所有這些值
- 每一個元素在這
- 都會被至少一個元素映射到
- 那麽你可以這樣
- 每一個元素可以是某種所謂一對一的映射
- 我會在以後進一步做定義
- 它可以就像這樣 像這樣
- 你可以甚至 它說至少一個 所以你可以
- 甚至這有兩個元素映到這的一個元素
- 核心要求是
- 每一個這的元素都被映射到
- 另一個方法去考慮它
- 就是取image
- 所以蓋射 我寫在這
- 我這樣寫
- 如果你說f是蓋射或者說是映上了
- 這是一個意思
- 這就意味著img(f)
- 別忘了這個像（image）是
- 所有f可能映射到的值
- 這就意味著img(f)=Y
- 現在 我們之前學過
- 像不一定要等於上域
- 但是如果你有一個蓋射或者映上的函數
- 像就等於上域
- 上域中的每一個元素都被映到
- 實際上像換一個詞就是值域
- 你也可以說range(f)=Y
- 別忘了如何區分
- 我畫過這個區別
- 當我們第一次討論函數的時候
- 上域和值域的區分
- 上域是你可以映射到的集合
- 你不一定要映射到每一個元素
- 值域是上域的一個子集
- 你必須要映射到
- 如果你想計算這個函數
- 在所有這些點的值
- 這些點你實際映射到的就是值域
- 也稱作像
- “像”這個詞
- 在線性代數中用的更多
- 但是如果像或者值域
- 等於上域
- 如果上域中的每一個元素都被映射到
- 那麽你處理的就是一個蓋射函數
- 或者說是映上的函數
- 現在 下一個我想介紹給你們的術語
- 是嵌射函數的概念
- 這在有些時候被稱作一對一的函數
- 我再畫一下定義域和上域
- 比方說這是定義域
- 這是上域
- 這是X 這是Y
- 如果我說f是一個嵌射 或者說是一對一的
- 那就意味著 對於每一個映射到的值
- 我這麽寫
- 對於每一個被映射到的值
- 我們說 我會用兩個不同的方法形容
- 至多一個x映射到它
- 另一種表達方式是
- 對於Y中的每一個元素y
- 我這麽寫
- Y中任意元素y
- 至多一個 我把most大寫
- 至多一個x 使得f(x)=y
- 可能沒有X中的元素映到它
- 比方說 可以有一個元素y
- 在這就沒有被映到
- 每一個其它Y中的元素都被映到了
- 但是就是這個元素沒有被映到
- 所以這種情況
- 我們不會得到一個蓋射函數
- 這不是映上的因爲這個元素
- 它是上域中的元素
- 但它不是像或值域的元素
- 它沒有被映到
- 但是這仍會是一個嵌射函數
- 只要每一個x映射到一個獨一無二的y
- 現在一個函數怎樣就不是嵌射或一對一的呢？
- 我想你可能明白
- 當有人說一對一的時候
- 如果兩個X中的元素映到了同樣的y
- 或者三個映到了同樣的y
- 這就意味著我們
- 面對的不是一個嵌射或者一對一的函數
- 這就是它全部的意思
- 我再畫一個例子在這
- 我們回到這裡的例子
- 當我加這個E的時候
- 我們說這就不再是蓋射了
- 因爲不是每一個元素都被映到了
- 這是一個嵌射函數嗎
- 不是
- 因爲有f(5)和f(4)都映射到D
- 就在這破壞了它的一對一性
- 和嵌射性
- 就在這破壞了它的蓋射性
- 現在我想把這個變成一個蓋射
- 和一個嵌射函數
- 我會刪掉這個對應
- 我會把f(5)映到E
- 現在每一個元素都是一對一的
- 不存在兩個不同的X中的元素
- 映到Y中同樣的元素
- 而且每一個Y中的元素現在都被映到了
- 這個映射是映上的 而且還是一對一的