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- 我們在好多個影片以前
- 就學習了向量長度的概念
- 但我發現我忘記提到
- 一個重要概念了
- 這個概念 在作某些變換的時候
- 將非常有用――
- 準確地說
- 是下個影片中我將介紹的“投影”
- 我忘了要講的概念
- 就是單位向量的概念
- 單位向量其實就是
- 長度爲1的向量
- 我們已經定義過向量的長度
- 它的長度爲1
- 如果某個向量是單位向量
- 假設這個向量u是個單位向量
- 它是Rn中的一個向量
- 也就是說 向量u
- 看著是這樣
- 它有n個分量 從u1一直到un
- 我們知道這個向量的長度 對吧？
- 我們知道向量的長度
- 有時候也叫向量的模
- 就等於根號下的
- 所有分量的平方和
- 你可能已經想到
- 這其實就是
- 某種程度上 這是畢達哥拉斯定理的推廣
- 因此它的長度就是u12+u22
- 一直加到un2
- 然後再取平方根
- 如果這是個單位向量
- 如果這是個單位向量
- 這是個單位向量的話
- 那就意味著
- u的長度是1
- 這與我們
- 考慮的空間維數無關
- 這個空間可以是R100也可以是R2
- 在任意的空間中
- 一個單位向量
- 長度都是1
- 這就引出了一個當然的問題
- 如何構造一個單位向量呢？
- 假設有一個向量v
- 假設它不是單位向量
- 它可以表示爲v=[v1,v2,…,vn]
- 我想把它變成某個向量u
- u是個單位向量
- 它有同樣的方向
- u跟v具有相同的方向
- 但u的長度是1
- 我要如何構造這個向量u呢？
- 可以這麽做 我先算出v的長度
- 我們可以先求出v的長度
- 我們知道怎麽求
- 只要直接應用這個向量長度的定義
- 那麽當我求出v的長度
- 然後用向量v乘以它的時候會怎麽樣呢？
- 如果我假設u等於
- 1/|v|再乘上向量v呢？
- 會發生什麽？
- 如果我求這個向量的長度
- 得到什麽？
- u的長度就等於
- 這個純量的長度
- 我們知道這個就表示一個數 對吧？
- 它等於這個純量
- 假設v是個非零向量
- 這個純量乘以向量v的模長
- 我們可以把
- 這個純量提到式子前面
- 我們可以證明――
- 我覺得在之前的影片中已經證明過了――
- |cv|就等於
- c乘以|v|
- 我寫一下
- 這其實就是
- 我這裡的方法
- 如果我求c乘以向量v的模長
- 它會等於c乘以|v|
- 我曾經證明過這個
- 在我第一次介紹向量長度的概念的時候
- 因此我們得到這個會等於
- 1比上|v|――
- 這其實就是c――乘上
- 那麽這個
- 就是這裡的這個
- 再乘上這個 乘上|v|
- 那麽這個會等於什麽？
- 一個數的倒數乘以這個數
- 就會等於1
- 因此這就是個單位向量
- 如果你要求一個單位向量――
- 有時候也叫正規化向量――
- 使它與向量v同向
- 你只需要
- 用Rn空間裏向量模長的定義求出|v|
- 然後用1比上這個長度
- 乘以向量v――
- 那麽這只是個純量――
- 然後你就得到了要求的向量u
- 我來舉個例子
- 保證你弄明白
- 假設在R3空間中有向量v
- 假設v=[1,2,-1]
- 向量v的長度是多少？
- 向量v的長度就等於
- 根號下的12+22
- 再加上(-1)2
- 那就等於
- 1+1+4的平方根――
- 也就是√6
- 這就是v的長度
- 如果我要構造一個正規化向量u
- 使它與向量v同向
- 我可以直接令u
- 等於1/|v|――
- 1/√6――乘以v
- 也就是乘以[1,2,-1]
- 也就是各分量分別等於1/√6
- 以及2/√6
- 還有-1/√6
- |u|等於1的證明
- 就留給你們來做
- 我再向你們介紹一個
- 經常看到的東西
- 當一個向量是單位向量時
- 在表示向量字母的上面
- 往往畫的不是這個小箭頭
- 表示一個單位向量的時候
- 往往是畫一個尖號表示 像這樣
- 這就表示我們處理的是
- 一個單位向量
- 對於那些學過向量分析課程
- 或者學過一點工程學的人
- 可能很熟悉
- 向量i,j和k
- 爲什麽這裡是尖號呢?
- 是因爲它們都是R3中的單位向量
- 它們都是R3中的向量
- 同時它們都是單位向量
- 它們實際上是R3中的基向量
- 那些已經
- 看過我關於線性變換影片的人
- 它們與向量e1――
- 我們同樣可以加上尖號――
- 它們與向量e1 e2和e3等價
- 也就是R3中的標準基向量
- 現在我已經把它介紹給你了
- 以後的影片中 我就可以使用
- 單位向量的概念了