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Vector Dot Product and Vector Length : Definitions of the vector dot product and vector length
相關課程
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- 我們已經學習了
- 有關向量的一些定義
- 我們定義了向量加法
- 大家已經學過了
- 如果已知兩個向量
- 一個是[a1,a2,……,an]
- 我們定義過向量加法
- 另一個向量
- 是[b1,b2,……,bn]
- 將它們相加
- 我們定義向量加法――
- 會得到第三個向量
- 其中的每一個分量
- 就是由兩個向量的對應分量
- 相加而得
- 所以這裡是a1+b1 a2+b2
- 直到an+bn
- 這個我們已經學過
- 並且在之前的影片中也多次使用到
- 我們還學過向量的數量乘法
- 我們可以稱之爲數乘運算
- 它是這樣的
- 若有實數c
- 用它乘以
- 向量[a1,a2,……,an]
- 我們將向量的數乘定義爲――
- 某個常數乘以一個向量得到新向量
- 其每個分量
- 就是常數與對應的分量相乘得到的
- 即[ca1,ca2,……,can]
- 學習過這兩個運算之後
- 你可能會說
- 如果能夠將
- 兩個向量做乘法豈不是很完美
- 這是用常數乘以一個向量
- 就是將它按比例放縮
- 這種放縮變換
- 你可以在三維以下的空間中
- 想象到
- 這就是將向量的尺寸進行變換
- 我們還沒有精確地定義向量的尺寸
- 但你應該能理解這種運算
- 對於向量的乘法
- 實際上有兩種方式
- 本次課中我先定義其中一種
- 就是向量的點積
- 我們用a・b表示點積
- 這實際上是借用了
- 乘法的記號
- 這裡不能寫作叉乘(×)
- 那其實是向量的
- 另外一種乘法
- 那麽點積就是―― 它很容易做
- 因爲在理論上很直觀
- 不像叉積
- 它很有趣
- 因爲――
- 這是[a1,a2,……,an]
- 這個向量乘以向量b
- 即[b1,b2,……,bn]
- 結果等於它們對應分量相乘
- 即a1b1+a2b2+a3b3
- 加到anbn
- 這是什麽 它是向量嗎？
- 不是的 它是一個數值
- 是一個實數
- 我們剛剛做了乘法
- 然後將對應項相加 得到一堆實數
- 所以這是一個實純量
- 就是說這是一個純量
- 在點積運算中 你將兩個向量相乘
- 得到的結果是純量
- 我來舉幾個例子
- 可能我講的有些抽象
- 假設
- 取向量[2,5]
- 將它與向量[7,1]做點積
- 結果就等於2乘以7
- 加上5乘以1 就是14+6 抱歉
- 是14+5 等於19
- 所以這兩個向量的點積是19
- 我再舉一個例子
- 我認爲它很簡單
- 我用淡紫色的筆來寫
- 好的
- 已知向量[1,2,3]
- 用它點乘向量[-2,0,5]
- 等於1乘以-2 加上2乘以0
- 加上3乘以5
- 就是-2+0+15
- -2+15等於13
- 這就是由點積定義得到的
- 下面要講另一個定義
- 要定義一個向量的長度
- 你可能會說
- 我知道長度是什麽
- 當我是小孩子的時候我就會量長度了
- 爲什麽要等到大學才學
- 也學你在上大學之前就接觸過
- 但是在大學課程中
- 所謂的長度是什麽呢
- 事實上我們過去討論的向量
- 都是在R3空間中
- 或者是更低維數的空間中
- 而現在這些向量
- 可能會含有50個分量
- 我們將要定義的向量的長度將會發揮作用
- 即使一個向量有50個分量
- 那麽向量長度的定義是――
- 它與我們所了解的
- 向量的長度是一致的
- 如果取向量a的長度
- 我們用雙豎線記號
- 來表示向量的長度
- 向量a的長度是――
- 下面是定義
- 它等於每個分量的
- 平方和的開方
- 將它們加起來
- 加上a2的平方 一直加到an的平方
- 這很直觀
- 記這個向量爲b
- 如果取
- 向量b的長度
- 結果是什麽？
- 結果
- 是√(2?+5?)
- 它等於根號下―― 這是多少？
- 是4+25
- 就是√29
- 這就是向量的長度
- 你可能覺得你已經知道了
- 這就是由勾股定理得到的
- 如果畫出向量b―― 我畫出來
- 這是坐標軸
- 把向量b以標準形式畫出來
- 就像這樣
- 向右2個單位 1個單位 2個單位
- 向上5個單位
- 1 2 3 4 5個單位
- 就像這樣
- 向量b就像這樣
- 由勾股定理
- 如果要求出
- 這個向量在R2中的長度
- 如果把它畫在二維空間中
- 橫向的長度是2
- 縱向的長度是5
- 那麽由勾股定理
- 這段距離就是√(2?+5?)
- 與我們這裡做的一樣
- 向量長度的定義
- 與一維 二維及三維空間中
- 長度的度量是一致的
- 但是其優勢在於
- 現在我們可以考慮
- 有50個分量的向量的長度
- 但我們知道
- 高維空間中的長度不好想象
- 沒有實際意義
- 但我們依然可以用這個記號表示長度
- 並將我們習慣使用的長度
- 抽象化
- 現在我們可以把長度和點積聯係在一起
- 如果我把a與自己做點積會發生什麽？
- a・a是多少？
- 它等於―― 我把它寫出來
- 向量[a1,a2,……,an]
- 點乘向量[a1,a2,……,an]
- 它等於a1乘以a1 即a1?
- 加上a2乘以a2
- 即a2?
- 一直加
- 加到an乘以an
- 即an?
- 這是什麽？
- 這與根號下的這項
- 是一樣的
- 二者等價
- 從而可以寫出
- 向量長度的定義
- 我們可以利用點積的定義
- 將長度寫成點積的形式
- 它等於根號下向量自身的點積
- 如果兩邊平方
- 則向量長度的平方
- 等於向量自身的點積
- 這種表示很簡潔――
- 要想完全表示出來是很繁瑣的
- 而這種表示卻很簡潔
- 在今後的課程中我都是用這種表達式
- 這節課我介紹了點積
- 和向量的長度 下次課
- 我會介紹它的一些性質
- 雖然它們很簡單
- 但是我還是要列出所有的性質
- 以便在今後的證明中使用