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Vector Transformations : Introduction to the notion of vector transformations
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- 在上段影片中 我們看到了一些
- 更正式的定義
- 一個函數就是一個集合元素
- 到另一個集合元素的映射
- 如果這個是第一個集合X
- 我們稱之爲定義域
- 映射到的集合是Y
- 在本題中我們稱之爲上域
- 函數就是從X中特定的元素
- 映射到Y中的一個元素
- 當我說映射時 實際上就是建立一種聯係
- 如果你用不太抽象東西來思考
- 但在某種程度上更加抽象
- 你可以把X看成是一籃子香蕉
- Y是一籃子蘋果
- 對於每一個香蕉
- 你都把它和其中一個蘋果做聯係
- 從每一個香蕉到
- 每一個蘋果的映射 就是一個函數
- 我不知道這些對你們有沒有幫助
- 我只是想擴展你對於函數的先入之見
- 我的意思是 說你們以前見到的函數
- 也許是類似於這種形式
- 你們會說
- 一個函數是這裡有一些數
- 我會給你另外一些數
- 我會對那個數做一些東西
- 實際上函數的定義更加一般
- 它是一個集合中的元素
- 到另一個集合中元素的聯係
- 我們知道向量是集合中的元素
- 對吧？
- 特別的 如果我們說在某個向量x
- 是某個集合的一個元素
- 我們說是Rn中的一個元素
- 因爲我們要研究的就是它
- 它意味著
- 這是n元數組的的特殊典型元素
- 記得Rn是什麽嗎?
- Rn 我們在線性代數開始時
- 就定義了
- 我們把它定義爲所有n元數組x1,x2,xn的集合
- 其中x1,x2一直到xn
- 都是實數中的一個元素
- 很顯然Rn就是一個集合
- 這個就是Rn
- 顯然對於n的使用是隨意的
- 它可以是Rm 也可以是Rs
- n是一種對於有多少個分量
- 標志的占位符 它可以是R5
- 它可以是5元數組
- 當我說向量x是Rn中的一個元素
- 我們只是用另一種方式來
- 寫出n元數組
- 目前爲止 我們所有的向量都是行向量
- 這是我們目前爲止定義的唯一類型
- 它是一個有序數組
- 其中每一個元素都是R中的元素
- 它是n元的有序數組
- 它是含有n個有序元的數組
- x1,x2,一直到xn
- 其中每一個元素
- 或者說每一個x1,x2,..,xn
- 都是實數中的一個元素
- 根據定義 我的意思是說x
- 是Rn中的一個元素
- 如果x是Rn的中的一個元素
- 我在這裡畫出這兩個集合
- 這裡的集合是Rn
- 然後我來改變一下 爲了一般化
- 我來構造另一個集合
- 稱這個集合是Rm
- 這是一個不同的數字
- 它可以和n相同也可以不同
- 這個是m元數組 這個是n元數組
- 我們已經定義了 這些向量是Rn中的元素
- 在Rn中有一個向量
- 如果在Rn中和它相關
- 如果把它和Rm中的一些向量聯係
- 如果令它和向量y是相聯係的
- 如果有這種聯係 那麽它也是一個函數
- 這個也許對你來說已經很明顯
- 這個是一個從Rn映射到Rm的一個函數
- 實際上 我只是想
- 在這裡做一個小標記
- 當我在想這樣畫出箭頭時
- 它說明我在這兩個集合間做映射
- 我在這個集合中取元素
- 讓它和這個集合中的元素相關
- 在上段影片中你可能已經看到了
- 我想在這裡做邊注
- 因爲我意識到 它可能引起混淆
- 我給你們介紹另一種
- 寫出方程的方法
- f定義爲一個映射
- 它是從x到x2
- 我希望能注意符號
- 在集合之間有一個箭頭
- 指的是集合之間的映射
- 在箭頭的出發處
- 有一個小的垂直線
- 這是函數的定義
- 它告訴我們對於第一個集合中的x
- 在第二個集合中我會把它和---
- 在本題中 把它和x2聯係起來
- 無論如果 我只是想做一個邊注
- 但是我最終要做的是--
- 向量是集合中有效的元素
- 函數是集合元素間的映射
- 因此你可以得到向量的函數
- 在上段影片中
- 我曾經提到過一點
- 我說過向量--數值函數
- 如果上域是Rm的子集
- 而m＞1
- 那麽我們說函數是向量值的
- 它不僅映射到實數
- 它也映射到某些實數的m元數組
- 因此 如果你映射兩個空間
- 那麽你所研究的是向量值函數
- 我剛才做的都很抽象
- 我來研究一些向量
- 它也許能具體一些
- 定義函數f
- 是f(x1,x2,x3)=(x1+2<i>x2,3<i>x3)</i></i>
- 實際上
- 我還沒有在形式上定義坐標
- 但是我想你們
- 在基本代數訓練中就懂
- 這是函數的定義
- 它是基於我們引入的符號
- 我們可以說f是一個定義域爲R3的映射
- 它從R3映射 或者說
- 把R3中所有的數值和R2中的一些數相聯係
- 這個是二元數組
- 對吧？
- 這個是R2 這個是R3
- 對吧？
- 我來換一種寫法
- 如果我們只是想用向量的符號寫出來
- 我可以寫成f
- 爲f(x1,x2,x3)
- 它是等於這個向量
- 這個是兩個元素的向量
- 這個是R2上的一個向量
- 其中第一項是x1+2<i>x2</i>
- 第二項是3<i>x3</i>
- 我們繼續使用這種書寫方式
- 看我們能得到什麽
- 向量會得到什麽
- f([1,1,1])是多少？
- 有1+2<i>1=3</i>
- 第二項是3<i>1</i>
- 因此我得到向量[3,3]
- 很簡單 我來做另一個
- 只是對於映射做文章
- 如果我取R3中的向量[2,4,1]
- 我得到什麽？
- 它等於2+2<i>4</i>
- 它等於10
- 有2+2<i>4</i>
- 另一項是3乘以第三項
- 它等於向量[10,3]
- 怎樣實現可視化?
- 三維向量或者說是R3中的向量
- 不容易實現可視化
- 但是我想我可以嘗試實現可視化
- 這個是x1軸
- 這個是x2軸
- 這個是x3軸
- 第一向量是這個黃色的向量
- [1,1,1] 就像這樣――向量[1,1,1]
- 這個到這裡 這個是這裡
- 上面到1點在這裡
- 如果在 標準位置上畫出來
- 起點是原點
- 向量是這樣的
- 第二個是[2,4,1]
- 它是這樣的
- 這裡是2 這個方向是4
- 往上是1
- 它是這樣的
- 是[2,4,1]
- 我想你們可以理解
- 我畫出的這兩個向量
- 本質上是在定義域中的
- 定義域是R3
- 這個就是R3
- 我們來看看
- 函數把這些向量映射到哪裏
- 上域是什麽？
- 上域是R2
- 這個更容易可視化
- 我只需要畫出兩個軸線
- 我們稱之爲x1這個是x2
- f把這個黃色的向量
- 映射到[3,3]
- 我用黃色的畫出來 1,2,3
- 就是這個點
- 把它在標準位置上畫出來
- 是這樣的
- 因此 我們的函數是
- 從R3中的向量到R2中的向量
- 這個就是函數
- 類似的 如果我們取另一個函數
- 我們從[2,4,1]映射到[10,3]
- 圖像是這樣的
- 縱坐標是3
- 圖像是這樣的
- 這個向量 通過函數f
- 映射到這個向量 我用不同的顏色標記
- 這個R3中的向量
- 在函數的映射下得到了這個R2中的向量
- 這只是術語的轉變
- 當我們討論向量的函數時
- 我們傾向於是用“變換”這個詞
- 實際上它和函數一樣的
- 我不想讓你們感到混亂
- 因爲如果你看了
- 微分方程那個課
- 你會看到Laplace變換
- 它以函數作爲變換對象
- 但是在本題中
- 我們研究的是線性代數
- 這個變換的對象
- 是向量
- 我們使用它的方式
- 是作用於向量的函數
- 因此 作爲一般的標志
- 我們不用小寫的f
- 對於一個函數 人們用大寫的T
- 來表示變換
- 盡管我們不一定要用大寫的T
- 但是這個人們用的最多的
- 就像這個可以是g或者h
- 但是人們經常用小寫的f
- 我們用相同的方法寫出來
- 我們稱它是一個變換
- 在線性代數中
- 爲什麽它們用這個呢？
- 它是因爲你可以把它想象成
- 這個向量被變成了這個向量
- 或者說這個向量被變換成
- 這個向量
- 我這就是爲什麽它們用變換
- 而不用函數
- 它實際上很用意義的
- 當你在影片遊戲的
- 編程中時
- 我們所做的變換
- 是影片遊戲程序的關鍵
- 你把其中一個圖像變換成
- 另一個圖像
- 如果你把它看成是兩個不同角度的
- 或者是其它任何的圖像
- 我們在以後還會繼續研究
- 我只是想給你們引入這個標志
- 因此這些描述 我可以用T來代替所有的f
- 我可以定義一些變換
- 我只是想讓你們能習慣標志
- 類似的 我把它定義爲一個
- 從R3到R2的變換
- 我可以說T(x1,x2,x3)
- 等於二維數組(x1+2<i>x1,3<i>x3)</i></i>
- 我可以類似的把T放在這上面
- 因爲我用相同的方法定義了它
- T([1,1,1])
- 是等於[3,3]
- 你可能會說 Sal
- 爲什麽你要費盡這些辛苦
- 來用T替換f
- 我這樣做你們就不會混淆
- 因此當你們在的線性代數課本上看到
- 當你看到線性代數的問題
- 當你看到這個T
- 你很可能會說 哇 我從來沒有見過
- 他們所使用的這個美妙的詞語
- 叫做變換
- 這和函數的符號
- 是完全一致的
- 這是一個函數
- 在下段影片中
- 我會討論線性變換的問題
- 它是真正的線性函數
- 我會在下段影片中給出
- 更精確的定義
- 希望你們通過觀看影片
- 至少能有一種意識
- 你可以把函數應用到向量中
- 在線性代數中
- 我們稱之爲變換
- 希望這個例子能給你們一個
- 爲什麽它稱爲變換的
- 可視化的理解
- 是從一個向量變換到另一個向量
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