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Vector Triple Product Expansion (very optional) : A shortcut for having to evaluate the cross product of three vectors
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- 本次課我要講的是
- 三重積展開
- 它有一定的使用範圍和相應的公式
- 它實際上是三個向量的
- 外積的一種化簡
- 如果我取
- a b和c的外積
- 我要做的是將其表示出來
- 我要把它表示成
- 向量的內積的差的形式
- 不僅僅是內積
- 而是用內積乘以不同的向量的形式
- 你將我明白我的意思
- 這將表達式化簡了一些
- 因爲外積一般是不容易算的
- 需要大量的計算
- 至少我對此容易弄亂
- 對於計算處理一些向量
- 這不是必須知道的知識
- 但是我講這個知識點的
- 原因是我看到
- 印度理工大學的入學試題中
- 會考察大家
- 對不同形式的公式
- 以及三重積展開的掌握程度
- 我們來看看如何化簡它
- 我們先做b與v的外積
- 在所有的情況下 我都假設……
- 假設已知向量a
- 我稱之爲―― 它將是
- 向量a的x分量乘以單位向量i
- 加上y分量 不是b
- 加上向量a的y分量乘以單位向量j
- 加上向量a的z分量
- 乘以單位向量k
- 我可以對b和c做相同的處理
- 如果我稱by
- 就是說
- 關於b向量在j分量方向上的長度
- 那麽我們先來求這個外積
- 如果我取這個外積
- 就需要求這個行列式
- 我寫在這
- 於是b×c
- 就等於一個行列式
- 我把i j k寫在上面
- i j k 這都是由外積的定義得到的
- 沒有關於它的證明
- 這是是記錄內積的一種形式
- 如果你還記得
- 如何求三階行列式的值
- 然後我寫出b的x項 b的y項
- 和b的z項
- 然後對於c做同樣處理 有cx cy cz
- 於是它等於……
- 第一項是i分量
- 於是有i乘以b
- 忽略這一列和這一行
- 從而有bycz-bzcy
- 我就是忽略了這一列和這一行
- 只看這個二階的子行列式
- 這是減去bzcy
- 然後我們減去j分量
- 記住求行列式的值時符號是交替的
- 減去
- 我們忽略這一列和這一行
- 就得到bxcz
- 這是下標
- 希望能得到有趣的結果
- 從而減去bzcx
- 最後加上k分量
- 於是有bx乘以cy
- 減去bycx
- 這樣我們就處理了這個內積\N【口誤：應該是外積】
- 現在我要做的是……
- 抱歉 是處理了這個外積
- 我把大家弄暈了
- 我們剛剛求的是b和c的外積
- 現在我們要
- 取其與a的外積
- 要求a與這一項的外積
- 我們來算一下
- 我再建立一個矩陣
- 我把i j k寫在這
- 在寫上a的分量
- 就是ax ay和az
- 然後我們把這裡的向量擦去
- 我把它塗成黑色
- 用黑色的來做
- 這是負的j乘以x
- 我要做的是…… 這是減去j
- 我要把符號調換一下重新寫
- 這裡要變號
- 就有bzcx
- 減去bxcz
- 我把其他的都刪去
- 我就是把這個負號乘進來
- 這裡不能算錯
- 我把刷子的型號擴大一些
- 這樣擦起來方便
- 好的
- 我們還要消去這一項
- 我把刷子換回到原來的型號
- 現在我們來算這個外積
- 把它建立成一個行列式
- 我要關注那個量呢？
- 如果要把分量i j和k都算出來
- 那要花去很多時間
- 這裡我只計算i分量
- 只求出這個外積的x分量
- 然後我們可以求出分量i和j
- 從而就能得出
- 這一項化簡成什麽樣
- 這裡我們只計算i分量
- 這就等於i乘以……
- 我們考慮
- 這個二階矩陣
- 我們忽略有i的這一行和這一列
- 從而有ay乘以這些項
- 我寫出來
- 就是ay乘以bxcy
- 減去ay乘以bycx
- 然後再減去
- 這裡是用-az乘以這項
- 我們做一下
- 從而有-azbzcx
- 然後有-az乘以這項
- 就是加上azbxcz
- 現在我要做的是――
- 要證明它需要一個小技巧
- 我們需要得到想要的結果
- 我要加上
- 在減去相同的項
- 我要加上axbxcx
- 再減去axbxcx
- 這是-axbxcx
- 顯然表達式並未改變
- 我加上並減去了同一個項
- 我們看看能夠進行化簡
- 這只是三重積中的x分量
- 只是x分量
- 爲了化簡 我要提出一些因子
- 提出因子bx
- 我處理一下 提出因子bx
- 如果提出了因子
- 我將這個含有bx的項因式分解
- 再將這一項因式分解
- 還要將這一項因式分解
- 如果把bx提出來 就得到aycy
- 我不這麽寫
- 先對這一項因式分解
- 把axcx提出來
- 從而這一項就處理完了
- 然照射燃料再處理――
- 處理這一項――
- 加上…… 如果把bx提出來
- 就得到aycy
- 這一項用過了
- 我把這一項中的bx提出來
- 就剩下了azcz
- 這就是結果 我把因子bx提出來了
- 現在由這一項
- 我來提出因子-cx
- 提出-cx
- 如果要這麽處理
- 我們來考察這一項
- 將其提出後就得到axbx
- 得到axbx 將這項劃去
- 由這一項得到ayby
- 注意提出的是-cx
- 所以這是正的ayby
- 最後有azbz
- 這等於什麽？
- 綠色的這一項
- 就等於
- a與c的內積
- 這是a與c的內積
- 它是這兩個向量的內積
- 所以這就是a與c的內積乘以bx
- 也就是乘以b的x分量
- 再減去…… 我們要做相同的處理
- 再次說明 這是a與b的內積
- 即減去a・b
- 乘以c的x分量
- 我們不能忘了
- 所有的這些都要乘以單位向量i
- 我們現在考慮的是
- 整個三重積的x分量 或者說是i分量
- 於是我們把這一項
- 乘以單位向量i
- 下面要做相同的事情
- 我就不具體做了
- 因爲這需要大量的計算
- 但這也並不是很難吧
- 這是關於x分量的
- 如果對j分量
- 做相同的處理
- 就要加上……
- 如果對j分量做相同的處理
- 我們只需進行相應的匹配
- 關於x分量有bx和cx
- 關於j分量有by和cy
- 這不是特殊的分量
- 這裡是a・c
- 這裡是-a・b
- 如果你不相信的話
- 可以自己驗證一下
- 這與我們之前所做的是一樣的
- 最後求z分量 或者說是k分量
- 這裡還有個括號
- 同樣的道理 這裡有bz和cz
- 這裡是a・b
- 這裡是a・c
- 這變成什麽？ 我們怎麽化簡？
- 我們可以將其展開
- 從這些項裏
- 提出a・c
- 注意這一項後面還要乘以i
- 我不應該跳這麽多步
- 我要大家理解我講的內容
- 如果把含有i這項展開
- 我不這麽寫
- 我這樣寫
- 這有些亂
- 讓我……
- 把i寫在這 這也是i
- 我只是將x分量分配進來
- 就是這個x單位向量
- 或者說是i單位向量
- 我對j做同樣的處理
- 我把j寫到這裡
- 可以把j放到這裡
- 對k也做同樣的處理
- 把k放在這 把k放在這
- 那麽這等於什麽？
- 這個部分
- 這個部分
- 就等於a・c乘以……
- 我寫出來
- 即等於bx<i>i</i>
- 加上by<i>j</i>
- 加上by<i>j</i>
- 再加上bz<i>k</i>
- 然後由此
- 我們再減去這些含有a・b的項
- 即減去
- 減去a・b乘以相同的東西
- 你會注意到
- 這一項就是向量b
- 當你處理這項時 這是向量b
- 你會得到向量c
- 我寫在這裡
- 將會得到向量c
- 就像這樣
- 我們化簡了這個三重積
- 這花了我們很長時間
- 但是這是一種化簡
- 它可能看起來不像
- 但是這需要進行計算 很容易處理
- 我用不同的顏色來區分
- 如果有a叉乘b 再叉乘――
- 我換一種顏色――
- 再叉乘c
- 我剛講過它等於……
- 一種考慮方式是它等於：
- 取第一個向量
- 乘以這兩個向量的
- 內積
- 這裡有個括號
- 我們要先算括號裏的項
- 這裡取第一個向量
- 就是向量b
- 然後將它乘以
- 其他兩個向量的內積
- 就是a・c
- 然後再減去
- 減去第二個向量
- 減去第二個向量乘以
- 其他兩個向量的內積
- 就是a・b
- 這樣就做完了
- 這就是三重積
- 這就是三重積展開
- 再次說明
- 你不必記住這些
- 你總可以……
- 你可以通過筆算
- 自己算出來
- 你不用記住它
- 但是如果向量非常複雜
- 或者這出現在數學競賽中
- 你就會很快地將它化簡成
- 內積的形式
- 這個三重積展開公式
- 是非常有用的