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Expressing a Projection on to a line as a Matrix Vector prod
相關課程
- 上一個影片中講過
- 一條直線可以被定義爲
- 某個向量的純量倍--寫成這樣
- 顯然這個倍數 可以是任意實數
- 現在來定義一個變換
- 以前我沒怎麽提到過變換
- 不過這的確是變換
- 我們定義一個到直線L的投影
- 把它看成一種變換
- 在影片裏 在二維空間中來表示這種變換
- 但通常它可以是
- 從n維空間到n維空間的變換
- 那麽方向向量x到直線L的投影
- 是x和這個
- 方向向量的點積
- x點乘這個方向向量
- 除以方向向量和自身的點積
- 這個整體乘以直線L的方向向量
- 這就是這個變換的定義
- 了解到這個定義時
- 會有很多新的東西引申出來
- 當一個向量和自身做點積時
- 結果是什麽呢？
- 如果用一些向量
- 和自身做點乘
- 它等於這個向量長度的平方
- 那麽可以把它改寫成xv
- 除以v長度的平方 再乘以向量v
- 那如果v的長度是1豈不更好
- 它的長度等於1
- 如果v的長度等於1
- 或者換種說法
- v是單位向量
- 那麽投影的公式
- 可以簡單的寫成x?v
- 這個整體
- ――前面是一個常係數――所有這些
- 乘以向量v
- 你可能會問 我們如何判斷
- 這是不是一個單位向量呢？
- 你會發現――
- 容我畫個圖先
- 類似於上一個影片裏
- 找一條直線
- 這條直線的方向
- 由向量v決定
- 可以是直線中
- 任意一個向量
- 像這樣給定向量v
- 如果向量v
- 不是單位向量
- 那麽v的長度就不等於1
- 如何用單位向量定義直線呢？
- 可以將v正規化
- 這樣定義單位向量
- 這樣定義單位向量
- 稱它爲u 這就是一個單位向量
- 它等於1除以v的長度乘以向量v
- 以前影片裏 我講過單位向量
- 這樣就建立了單位向量
- 它和其他向量方向相同
- 實質上也就是
- 向量乘以1除以自身長度
- 總而言之 我們可以定義表示這條直線
- v的任意倍
- 可以等同爲
- 單位向量u的任意倍
- 這裡u可以表示成v的若干倍
- 像這樣重新定義這條直線
- 如果重新定義直線L
- 等於任意倍數的單位向量
- 倍數可以是任意實數
- 投影的定義就可以化簡
- x到直線L上的投影 可以化成x?單位向量
- 乘以單位向量
- 在上次影片裏
- 當有兩個向量時
- 其中向量v定義了直線
- v是[2,1]
- x等於[2,3]
- 如果想這樣定義的話
- 先要化成單位向量
- 方法是
- 先得到大小
- 向量v的大小
- 等於22+12
- 取其平方根
- 那麽就寫成
- 等於22+12
- 取平方根等於√5
- 就定義u--單位向量
- 爲1除以這個，乘以v
- 1除以√5乘以[2,1]
- 可以乘開 也可以這樣放著
- 寫成這種形式就可以
- 對於任意向量v
- 都能找到單位向量
- 它們方向相同
- 前提是我們處理的是非零向量
- 對於其他定義
- 都可以如此化簡
- 用單位向量
- 代替向量v
- 那麽來看
- 一個n維空間到n維空間的變換
- 需要注意的是我們
- 不知道這是不是線性變換
- 可以這樣寫
- 如果這是一個
- 線性變換
- 那麽它需要滿足
- 兩個條件
- 如果
- 取兩個向量對L的投影
- 表示成向量a加上向量v
- 取它們的和
- 如果是一個線性變換
- 那麽就相當於
- 每一個對直線L做投影
- 然後加起來
- 如果是這樣
- 那麽按照我們的定義
- 可以用單位向量 這樣簡單些
- 等於a+b 就是x?u
- 這個整體乘以單位向量
- 因爲點乘滿足分配率
- 所以等於(a・u+b・u)・u
- 這些是單位向量
- 這個整體乘以向量u
- 這部分是純量
- 純量乘法有分配率
- 所以這等於(a・u)・u
- 它們是相同的純量
- 加上(b・u)・u
- 這部分就
- 恰好等於
- a在L上投影
- 在這裡
- 根據這個定義
- 假定處理的是
- 這條直線上的單位向量
- 這就等於 a在L上的投影
- 加上b到L上的投影
- 判斷線性變換的
- 首要條件就是
- 向量和的投影等於
- 向量投影的和
- 第二個條件是
- 純量倍向量的投影等於
- 向量投影的純量倍
- 可以寫成
- 投影到L上的
- 純量倍的向量a
- 等於c倍的a?單位向量u
- 乘以向量u
- 這個比較容易理解
- 這裡是純量
- 根據點積的規則
- 這個等於c<i>(a・u)・u</i>
- 也就等於c倍的
- a在L上的投影
- 對於線性變換
- 有這兩種條件
- 所以在n維空間中對直線L
- 做投影是線性變換
- 這意味著 我們可以把它
- 用矩陣變換表示
- x到L上的投影
- 可以換種方式表示
- 而且意思不會改變
- x?單位向量u 定義了這條直線
- 在u上畫一個標記表示
- 它是單位向量
- 再乘以單位向量u
- 那麽就得到了一個向量
- 如何將它寫成
- 矩陣向量乘積的形式呢？
- 可以將其寫成
- 矩陣和向量x的乘積
- 這樣的形式
- 因爲實際上是在處理矩陣
- 那麽考慮二維空間的情況
- 假定到L的射影
- 是R2到R2的映射
- 可以將此拓展到
- 任意維度
- 如果在R2中處理
- 那麽矩陣A
- 是2×2矩陣
- 在其他影片中
- 我們學過如何找到A
- 先找以標準基向量
- 作爲行向量的矩陣
- 是0,1
- 或者是1,0和0,1
- 然後對每一個行向量
- 進行轉換
- 那麽A就等於
- 第一個行向量就等於
- 到直線L的投影
- 我們來用橙色標記 在這兒
- 接下來
- 用這些點乘u
- 寫個u
- 也就是單位向量 假設
- u可以改寫成單位向量
- 即[u1,u2]
- 像這樣
- 用它點乘那個單位向量
- 我來把它寫下來
- 寫在這邊
- 我們先要解決投影的問題
- 在直線L上的投影
- 這樣寫
- 這個投影就等於
- 這些點乘這個向量
- 我來寫一下
- 向量[1,0]點乘向量u
- u等於[u1,u2]
- 用這個整體乘以單位向量
- 寫成這樣
- 乘以向量u1,u2
- 這就是轉換之後矩陣的
- 第一個行向量
- 第二個行向量同理
- 不過我先不對這個向量做投影
- 我們的定義是
- 用這個向量點乘單位向量
- 所以
- 用[0,1]向量
- 點乘單位向量[u1,u2]
- 用這個來乘以
- 單位向量 [u1,u2]
- 看起來很複雜
- 但是當做完變換後
- 應該很簡單
- 來試試
- 做這個點積的時候 會得到什麽呢？
- 寫下來看看
- 矩陣A變成1乘以u1 加0乘以u2
- 也就是u1
- 這整個部分等於u1
- 這兩部分點積的時候
- 乘以[u1,u2]
- 它就是矩陣的第一列
- 第二個行向量 也就是這兩個的點積
- 0乘以u1加1乘以u2
- 得到u2乘以單位向量[u1,u2]
- 如果把它們乘開 就可以得到
- 可以寫成行向量的形式
- u1・u1等於u12
- u1乘以u2 等於u1u2
- u2乘以u1 等於u2・u1
- u2乘以u2等於u22
- 給出任意單位向量可以得出
- 任意向量在這個被這個向量限定的直線
- 被這個向量限定的直線上的投影
- 表述起來很麻煩
- 回到之前講的
- 如果要找到任意向量到直線上的投影
- 把它寫下來
- 就要做和上一個影片相同的處理
- 像這樣的一個向量v
- v等於向量[2,1]
- 這個v
- 如何找到投影到直線L的和變換
- 其中直線由v決定
- 在這條線上
- 這條線由v定義
- 首先要把v化成單位向量
- 化成方向相同的
- 單位向量
- 變成單位向量u
- 已經在這裡做過了
- 也就是除以它的長度
- v除以它的長度
- 那麽單位向量就是
- 1除以√5再乘以v
- 也就等於
- 是(1/√5)v
- 從單位向量開始
- 來構造矩陣
- 進而得到變換矩陣
- 這個作爲u,那麽矩陣就等於
- 這個u
- 那麽矩陣就等於
- u1的平方
- 換種方法寫
- 向量u定義了這條直線的單位向量
- 就等於2/√51/√5
- 和1/√5
- 像這樣乘開
- 如果要構造矩陣
- A就等於u12
- 平方等於什麽？
- 等於2的平方4
- 除以√5的平方，5
- 等於4/5
- u1乘以u2等於多少？
- 等於2倍的1/5
- 嗯 2/5
- 把這兩個乘起來
- u2乘以u1
- 同理
- 相乘時 順序可以顛倒
- 也是2/5
- u2的平方
- 1/√5的平方就等於1/5
- 於是得到
- 這就是構造投影矩陣的一般方法
- 這種投影---我們有
- 如果這是坐標原點
- 有另外向量x
- 就可以定義變換
- 在直線L上的投影
- L等於純量倍的單位向量u
- 在這裡
- 是一個實數
- 得到了直線L
- 任意向量x到直線L的投影
- 就等於這個矩陣
- 等於[4/5,2/5;2/5,1/5]乘以x
- 結果非常整齊
- 就把一切化簡成了
- 矩陣的乘法
- 用矩陣對向量x作用
- 得到向量到
- L上的投影
- 看這個向量a
- 用它和這個矩陣相乘
- 就能得到投影
- 在直線上的投影
- 如果用這個向量--
- 呃 應該穿過坐標原點
- 我盡量畫得標準一些
- 如果用這邊這個向量
- 用它乘以這個矩陣
- 你就會得到這個向量
- 這個向量在直線上
- 相減之後 是正交的
- 定義已經很清楚了
- 可以看成是向量在直線上的影子
- 我想已經講得很清楚了
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