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Introduction to the Null Space of a Matrix: Showing that the Null Space of a Matrix is a valid Subspace
相關課程
- 我們再來複習一下次空間
- 然後來看看是不是我們可以定義一些有趣的
- 處理矩陣和向量的次空間
- 所以一個次空間――比如我有某個次空間
- 哦 就稱它爲次空間S吧
- 如果下述條件成立它就是次空間――
- 這都是複習――0向量――
- 我這樣來講――
- 0向量 是屬於S的
- 所以它包含0向量
- 然後如果v1和v2都在次空間內
- 則v1加上v2也在次空間內
- 這就是說
- 次空間在加法下是封閉的
- 你可以相加任何兩個向量
- 你就會得到次空間內的另一個向量
- 然後最後一點 如果你還記得
- 就是次空間在乘法下封閉
- 使得如果c是實數 它是一個純量
- 如果我乘以
- v1是次空間內的向量
- 則如果我將任意的實數
- 與這個次空間內的向量相乘
- 就是v1我就得到次空間內的另一個向量
- 所以它在乘法下封閉
- 這些都是次空間的性質
- 這就是次空間的定義
- 如果你稱某個東西是次空間
- 這些條件必須都滿足
- 現在我們來看看是否能做一些有趣的
- 關於矩陣向量乘法的理解的東西
- 比如我有矩陣A――
- 我寫成漂亮的黑體
- 它是一個m×n的矩陣
- 我對於下述東西很感興趣
- 我要建立齊次方程
- 我們要來講一講它爲什麽是齊次的
- 好 我等一會兒再說
- 我們先來建立這個方程
- 矩陣A乘以向量x等於0向量
- 這是齊次方程
- 因爲這裡有一個0
- 我要問――
- 我在講次空間
- 如果我取所有的x――
- 如果我取全體所有的
- 所有滿足這個方程的x的集合
- 這是一個次空間嗎？
- 我們來考慮一下
- 我要取所有的Rn中的x
- 記住 如果矩陣A有n列
- 則我定義了
- 矩陣乘法
- 如果x有r個分量
- 如果x有n個分量
- 那才是有定義的
- 我來定義一個集合
- 包含所有Rn中的向量
- 它們滿足
- 方程A乘以x
- 等於0
- 我的問題是 這是一個次空間嗎？
- 這是一個成立的次空間嗎？
- 第一個問題是 它包含0向量嗎？
- 要是它包含0向量
- 那麽0向量必須滿足這個方程
- 任何一個m×n的矩陣A乘以0向量是多少？
- 我們來寫出矩陣A
- 矩陣A a11 a12
- 直到a1n
- 然後這個 向下的列
- 我們向下直到am1
- 然後向下直到
- 這裡 到amn
- 我要將這個和0向量相乘
- 這個有n個分量
- 所以0向量的n個分量是0 0
- 有n個0
- 這裡的分量數必須
- 和列數是相同的
- 但是當你取積的時候
- 這個矩陣外積 得到的是什麽？
- 我們得到了什麽？
- 好 上面的第一項是a11乘以0
- 加上a12乘以0 加上這裡的每一項乘以0
- 你把它們都加起來 a11乘以0
- 加上a12乘以0 直到a1n乘以0
- 所以結果是0
- 現在這一項是a21<i>0 加上a22<i>0</i></i>
- 加上a23<i>0 直到a2n<i>0</i></i>
- 這個 明顯地 是0
- 繼續這樣做
- 因爲所有這些都是 實際上――
- 你可以把它看做是點積――
- 我沒有定義行向量
- 與行向量的點積 但我想你應該理解――
- 這些每個元素 乘以
- 這個向量對應的分量
- 當然啦 你總是以0相乘
- 然後相加
- 所以你什麽也沒得到 只是一串0
- 所以0向量滿足這個方程
- 即A乘以0向量等於0向量
- 這是非常不尋常的標志
- 我把它寫成這樣
- 因爲我不喜歡
- 總是把0寫成黑體
- 來使得你們認出它是一個向量
- 所以我們證明了第一點成立
- 0向量是這個集合中的一個元素
- 我來定義我的集合
- 我定義它爲
- 我等一會兒再告訴你們爲什麽我稱它爲
- 那麽現在我們知道了0向量
- 是集合N中的一個元素
- 現在比如我有兩個向量
- 即v1和v2它們是――
- 我寫下來
- 比如說我有兩個向量 v1和v2
- 它們都是這個集合中的元素
- 這意味著什麽？
- 這意味著它們都滿足這個方程
- 這就意味著A――矩陣A――
- 乘以向量v1是0
- 這是由定義得到的
- 它們是這個集合中的元素
- 這就意味著它們必須滿足這個
- 字這也就意味著A乘以向量v2
- 是0向量
- 要使這個在加法下封閉
- A乘以向量v1加上向量v2
- 這兩個向量的和
- 應該是N中的一個元素
- 但我們來看看它是什麽
- 這兩個向量的和是這個向量
- 這個等於――
- 我還沒有證明這個
- 我沒有做證明這個的影片
- 但證明這個很簡單
- 僅由矩陣向量乘法的定義就可以
- 由矩陣向量乘法
- 可以發現分配律
- 或許我應該做一個關於這個的影片 但嚴格來說
- 你僅需要理解
- 每一項的結構
- 這個等於Av1加上Av2
- 我們知道這個等於0向量
- 而這個也等於0向量
- 如果你將0向量和它本身相加
- 這個全體還是0向量
- 所以如果v1是N中的元素 v2也是N中的元素
- 就是說它們都滿足這個方程
- 那麽v1加上v2也仍然是N中的元素
- 因爲當我將A與它相乘時
- 我又得到了0向量
- 我把這個結果也寫下來
- 我們現在知道哦v1+v2也是N中的元素
- 而我們要說明的最後一點
- 就是它在乘法下封閉
- 比如說v1是我們定義的空間中的元素
- 它滿足這個方程
- 那麽c<i>v1呢？</i>
- 它是N中的元素嗎？
- 好 我們來看看
- 矩陣A乘以這個向量是什麽 好
- 我要將這個和這個純量相乘
- 我要算得另一個向量
- 我不想寫大寫的V
- 小寫的v 它是一個向量
- 這個等於什麽？
- 好 再一次地 我沒有證明
- 但它是一個非常直接的結論
- 說明了當你處理純量時
- 如果你有一個純量
- 你是在與矩陣相乘之前將這個純量
- 與向量相乘
- 或是將這個矩陣先乘以向量
- 然後再算純量都沒有關係
- 所以要證明
- 這個等於c乘以矩陣A是很顯然的――
- 我把它寫成漂亮的黑體 乘以向量v
- 這兩個是相等的
- 或許我應該在影片裏講一講這一點
- 但還是留給你們做吧
- 你 按部就班地 理解
- 分量與分量的機理
- 然後就會明白了
- 但很顯然地 如果這是真的 我們已經知道v1
- 是這個集合中的元素
- 這就意味著A乘以v1是0向量
- 所以這個就意味著
- 這個就化簡成c0
- 仍然是0
- 所以cv1是N中的元素
- 所以它在乘法下是封閉的
- 我先假定這個是成立的
- 但或許我要在另一個影片裏證明這個
- 但我要做這些來說明
- 這個集合N是一個次空間
- 這是一個次空間
- 它包含0向量
- 它在加法下封閉
- 它在乘法下封閉
- 事實上我們用一個特殊的名字來稱呼它
- 我們稱之爲 我們稱
- 爲A的零核空間
- 或許我們可以把A寫成――
- 或許我不應該寫成
- 我們來用橙色吧
- 橙色的N等於――
- 這個的含義就是A的零核空間
- 或許我們可以講零核空間寫成是
- 橙色的N 而按照字面含義
- 如果我給出任意矩陣A
- 我說 嘿 給我找到A的N 那是什麽？
- 照字面意義 你的目標是要找到所有
- 滿足方程Ax=0的x構成的集合
- 我要在下一個影片中來講解
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