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反矩陣 (part 1 英語) : 2x2 矩陣的反矩陣
相關課程
- 我們已經學習了矩陣加法、矩陣減法和矩陣乘法
- 你們可能會想，有沒有對應的矩陣除法呢？
- 在講這一點之前，我先介紹一些別的概念
- 然後我們會看到
- 真正的矩陣除法可能不存在
- 但存在與除法類似的運算
- 在此之前，我先講什麽叫“單位方陣”
- “單位方陣”是這樣一個矩陣：
- 大寫的 I 表示一個“單位方陣”
- 當我用它乘上另一個矩陣A
- 其實我不知道這個點該不該寫，先不管它
- 當 I 乘以另一個矩陣A
- 得到的結果仍然是A
- 或者說當A乘以單位方陣 I 時，結果仍是A
- 這樣的矩陣 I 就叫“單位方陣”
- 我們都知道矩陣乘法裏，順序很重要
- 並不是任何兩個矩陣A和B
- 都有A乘以B等於B乘以A
- 這裡是特殊的情況，因爲 I 是特殊的矩陣
- 據上節課的知識可以看出
- I 能量和A相乘，說明 I 的行數等於A的列數
- 相乘的結果爲A，說明 I 的行數也等於A的行數
- 說明A是一個“方塊矩陣”，也就是行數等於列數
- 同理可以推出 I 也是維度相同的方塊矩陣
- 如果不是方塊矩陣
- 那麽它們最多只能以一種順序相乘
- 即是說“單位方陣”首先必定是“方塊矩陣”
- 你們可以好好想想這個道理
- 不管怎樣，我們已經定義了“單位方陣”
- 那麽它具體是什麽樣子的呢？
- 實際上很簡單
- 如果其維度是2×2，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 1
- 如果是3×3，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
- 我想你們已經能看出規律了
- 如果是4×4，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 0
- 0, 1, 0, 0
- 0, 0, 1, 0
- 0, 0, 0, 1
- 我們可以推廣到n維的情況
- 只需把從左上到右下的對角線都填上1
- 其余的位置填0就行了
- 這就是“單位方陣”的定義和性質
- 現在我們來驗證一下
- 我們用這個2×2的單位方陣來乘以另一個矩陣
- 看看結果是不是不變
- 我們拿“單位方陣”1, 0, 0, 1
- 乘以一個通型的矩陣
- 以便證明其對所有的數字都成立
- 設其元素爲a, b, c, d
- 那麽乘積是多少？
- 我們用這一行乘以這一列
- 1乘以a，加上0乘以c，得a
- 然後是這一行乘以這一列
- 1乘以b，加上0乘以d，得b
- 然後是這一行乘以這一列
- 0乘以a，加上1乘以c，得c
- 最後，這一行乘以這一列
- 0乘以b，加上1乘以d
- 也就是d
- 這就是最後的結果
- 你們也可以換個順序試試
- 應該是個有趣的練習
- 實際上，做個3×3的練習可能更好
- 你將看到它也是成立的
- 你可以好好想想其中的原因
- 原因在於，我們是從第一個矩陣截取行向量
- 從第二個矩陣截取行向量
- 比如說，當你用這個行向量乘以這個行向量時
- 實際上是將對應的元素相乘，對不對？
- 所以除了行向量的第一個元素
- 其他元素都會被0消去
- 因此結果就只剩下a
- 第二列類似
- 除了第一個元素以外，都被0消掉
- 所以只剩下b
- 同理，這個行向量將把第二個元素留下
- 所以這裡只會剩下c
- 它乘以它，只會剩下c
- 而它乘以它，則只剩下d
- 推廣到3維甚至n維，道理都是一樣
- 所以，單位方陣是個有趣的東西
- 接下來我們來看看所謂的“矩陣除法”
- 在實數運算裏，如果用1乘以a，結果還是a
- 我們也知道，拿a分之1乘以a，結果是1
- 這裡說的是實數運算，與矩陣無關
- 你們都知道，這個叫做a的倒數
- 就相當於除以a，對不對？
- 矩陣運算裏有與之對應的東西嗎？
- 我先換種顏色，這種綠色用得太多了
- 對於一個矩陣A
- 存不存在一個矩陣，稱之爲A的逆矩陣
- 使得它乘上A，結果爲——
- 不是數字1，而是矩陣世界裏與1對應的單位方陣 I 呢？
- 如果調換兩者的順序仍然成立 ，那就更好了
- 即是說，A乘以A的逆矩陣
- 結果也應該是同一個單位方陣I
- 想想看，如果這兩個式子同時成立
- 那麽實際上A也是“A的逆矩陣”的逆矩陣
- 即兩者互爲逆矩陣
- 這就是我想要說的
- 實際上，這樣的矩陣是存在的
- 正如我上面已經再三提到的
- 它叫做A的逆矩陣
- 接下來我要演示如何算得逆矩陣
- 現在開始
- 我們將看到，計算一個2×2逆方陣矩陣
- 實際上有個很直接的公式
- 不過你可能會疑惑
- 人們是怎麽想出這麽個公式或者說算法的
- 3×3的逆矩陣，則有點棘手
- 4×4的逆矩陣，就要花上你一整天了
- 5×5，如果你計算一個5×5的逆矩陣
- 那是肯定會因粗心而出錯的
- 所以最好還是留給計算機來做
- 先不管這麽多，具體方法是怎樣呢？
- 我們來實際操作一遍，然後再做個驗證
- 如果有個矩陣A: a, b, c, d
- 要求它的逆矩陣
- 它的逆矩陣就是——
- 這看上去就像是個魔法
- 以後的影片裏，我會稍加解釋
- 或者直接告訴你整個來龍去脈
- 但是現在請先記牢以下步驟
- 以便建立起計算逆矩陣的信心
- 它就等於1比上“a乘以d減去b乘以c”
- 即是“ad減去bc”
- 這個分母，ad減去bc，稱爲矩陣A的行列式
- 這一部分是一個數字，一個純量
- 我們拿這個純量乘上這樣一個矩陣
- 交換原矩陣中a和d的位置
- 即交換左上和右下的元素
- 即是d和a
- 然後取右上和左下元素的負值
- 即是負c和負b
- 再說一遍，你們現在只需死記下來
- 我保證在以後的影片裏做更多的講解
- 實際上，這裡的行列式是個複雜的東西
- 高中的課堂上不會細講
- 只要求你會算就行
- 但是我打算多講點
- 那麽它到底是什麽呢？
- 它也稱爲A的行列式
- 考試的時候，也許會讓你求某個矩陣A的行列式
- 說的就是這個
- 它寫成“矩陣A加上絕對值符號”
- 它的值等於ad減去bc
- 所以這個純量可叫做“1比上其行列式”
- 所以可以這樣寫：A的逆矩陣等於
- 1比上其行列式，再乘以矩陣d, 負b, 負c, a
- 就是你所看到的這個式子
- 我們來用它算一道題
- 你會看到，實際上它並不那麽恐怖
- 我們換個字母，並不一定要一直用A來表示
- 比如說一個矩陣B
- 我來隨便挑幾個數字
- 3, 負4, 2, 負5
- 要求B的逆矩陣
- 首先求“1比上B的行列式”
- B的行列式是多少？
- 它是3乘以負5，減去2乘以負4
- 3乘以負5得負15，再減去
- 2乘以負4得負8
- 負負得正，所以是加上8
- 用這個數乘上什麽？
- 把這兩個元素交換下位置
- 所以是負5和3
- 這兩個元素取負，即是負2和4
- 我們來看看能不能化簡一下
- B的逆矩陣等於——
- 負15加8，就是負7
- 所以這裡是負的7分之1
- 就是說B的行列式等於負7
- 最終結果是負7分之1乘以矩陣：負5, 4, 負2, 3
- 前面這一部分是個純量，是個數字
- 所以用它乘以每一個元素
- 這裡負負得正，等於5/7
- 這裡是負4/7
- 來看看這裡，是正2/7
- 最後是負3/7
- 看起來有點麻煩，盡是些分數
- 接下來我們來驗證這確實是B的逆矩陣
- 我們把它們相乘
- 這之前我先騰點地方
- 這些都不需要了
- 全部擦掉，好的
- 我們來驗證，B乘以它，或者用它乘以B
- 結果真的等於單位方陣
- 現在開始，先換個顏色
- 如果前面都沒算錯的話
- B的逆矩陣就是5/7, 負4/7, 2/7, 負3/7
- 這是B的逆矩陣
- 拿它乘以B：3, 負4, 2, 負5
- 這裡是乘積矩陣的位置，留點計算的空間
- 再換種顏色
- 先用這一行乘以這一列
- 5/7乘以3等於多少？15/7
- 加上負4/7乘以2
- 負4/7乘以2等於負——
- 這前面沒算錯吧，5乘以3得15
- 負4乘以2得負8，對沒錯，得負8/7
- 下面用這一行乘以這一列
- 5乘以負4得負20，所以是負20/7
- 加上負4/7乘以負5，得到正20/7
- 我的大腦已經轉不過來了
- 又是矩陣，又是分數，又是負數的
- 但這是練習乘法的好機會
- 繼續往下算
- 我們來算左下角的元素
- 我們要用這一行乘以這一列
- 所以是2/7乘以3，得6/7
- 加上負3/7乘以2，就是負6/7
- 只剩一個元素了，最後的沖刺
- 2/7乘以負4，得負8/7
- 加上負3/7乘以負5
- 負負得正，結果是正15/7
- 化簡一下，得到什麽？
- 15/7減去8/7是7/7，也就是1
- 這裡等於0，很顯然
- 這裡也是0，6/7減去6/7等於0
- 最後是負8/7加上15/7，得7/7，也等於1
- 這就是最後的結果
- 也就是說我們前面得出的確實是B的逆矩陣
- 實際上驗證比計算更難
- 因爲這些個分數和負數的乘法
- 希望你們對這個結果滿意
- 你們可以試試用另一種順序相乘
- 你們會發現最後得到同樣的單位方陣
- 不管怎樣，這就是計算2×2逆方陣矩陣的方法
- 在下一段影片裏，我們會看到
- 計算3×3的逆矩陣會更加有趣
- 再會
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