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反矩陣 (part 3 英語) : 高斯喬登消去法做 3x3 反矩陣
相關課程
- 我下面來講另一種求3×3逆方陣矩陣的方法
- 我更喜歡這種方法，覺得更有趣些
- 而且不那麽容易犯錯
- 但是，如果我沒記錯的話
- 《代數2》好像不教這個內容
- 這也是爲什麽我先講前面那個方法
- 我們先來過一遍新方法
- 以後的影片裏，我會解釋這個方法的道理
- 知其所以然是很重要的
- 但在線性代數裏，有那麽幾個知識點
- 最好先掌握怎麽操作
- 我認爲這是其中之一
- 之後我們再來講爲什麽
- 因爲，“怎麽操作”是個很機械的過程
- 只涉及一些基礎的運算
- 而“爲什麽”則更加深入
- 所以我把它留到以後來講
- 通常，當你掌握了“怎麽操作”時
- 也就有信心進行更深入的思考了
- 言歸正傳，我們來看原矩陣
- 上段影片裏的原矩陣是多少來著？
- 它是1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1
- 要求它的逆矩陣
- 我們介紹新的求逆方法，名叫：
- 高斯-若當消去
- 整個過程看起來就像是魔法一樣
- 以後的影片裏會有更詳細的解釋
- 我們先來“擴增”(augment)這個矩陣
- 什麽叫“擴增”(augment)？
- 就是給它加上些東西（這裡就是在原函數右邊寫上單位方陣）
- 我習慣畫一條分開線；有些人不畫，也是可以的
- 在分開線的另一邊，我寫上同樣大小的單位方陣
- 這裡是3×3矩陣，所以寫上3×3的單位方陣
- 即1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
- 好了，接下來做什麽呢？
- 我會進行一係列“基本行運算”(elementary row operation)
- 我呆會兒再教你什麽叫做“基本行運算”
- 但是無論我對左邊矩陣的做什麽操作
- 我都要對右邊的相應行做同樣的運算
- 我的目標是：對左邊矩陣進行一係列的運算
- 當然也對右邊矩陣進行同樣的操作
- 使得左邊的矩陣，最終變成單位方陣
- 而當左邊變成單位方陣的時候
- 右邊的矩陣，就會變成左邊原逆方陣矩陣
- 當左邊變成單位方陣的時候
- 我們會管它叫“簡式行階梯形”（reduced row echelon form）
- 後面會有專門的影片來講這個
- 線性代數裏有很多術語和定義
- 但它們實際上都是很簡單的概念
- 先不扯遠了，我們動手計算
- 算完後你們就會更清楚些
- 至少會清楚計算過程
- 雖然可能還無法理解道理何在
- 我說過我們要進行一係列運算
- 所以首先，我們先要弄明白：
- 什麽樣的運算是合法的？
- 也就是“基本行運算”
- 合法的運算包括下面這些：
- 我可以拿某一行，乘上一個倍數
- 這是可以的
- 我可以交換任意兩行的位置
- 當然，如果我在左邊交換第一和第二行
- 我也必須在右邊做同樣的操作
- 我還可以拿某一行加上或減去另一行
- 比如說，我可以拿第三行，加上第二行
- 所以第三行的數字就變成它們的和
- 等下你們就明白這是什麽意思了
- 而且，這些運算可以組合起來
- 比如說，拿第二行乘以負1
- 然後把結果加到第三行上
- 你可能覺得這挺像在解一次方程組
- 確實如此，因爲矩陣就是一個
- 用來表示方程組的好方法
- 這一點我以後會給你們解釋
- 回到主題，我們來做點“基本行運算”
- 把左邊這個矩陣轉化成“簡式行階梯形”
- 其實也就是說“我們把它化成單位方陣”
- 我們的目標也就是：
- 得讓這一條對角線上全變成1
- 剩下的都變成0
- 我們來看看有沒有什麽簡便的方法
- 我們把新矩陣寫在下面
- 第一步，我要把左下角的1化成0
- 看起來很簡單
- 前兩行不變，照寫下來
- 1, 0, 1
- 然後是分開線
- 1, 0, 0
- 第二行也不做任何操作
- 0, 2, 1
- 0, 1, 0
- 我現在的目標，是要拿這一行
- 把它的第一個數字1，變成0寫在這裡
- 這樣一來，我們就朝單位方陣前進了一步
- 怎麽讓這裡得到0？
- 我可以這麽做：拿上面的第三行減去第一行
- 然後把結果寫在新的第三行的位置上
- 第三行減去第一行，結果是什麽？
- 1減去1，得0
- 1減去0，得1
- 1減去1，得0
- 我在左邊做了一次減法
- 也必須在右邊做相同的操作
- 也就是拿第三行減去第一行
- 即，0減去1，得負1
- 0減去0，得0
- 1減去0，得1
- 很好
- 接下來怎麽辦？
- 現在左邊的第三行，兩邊是0，中間是1
- 很像單位方陣裏的第二行
- 那何不直接交換這兩行呢？
- 直接交換第二行和第三行
- 我們把它寫下來
- 交換第二行和第三行
- 第一行不變，還是1, 0, 1
- 右邊的第一行也是一樣
- 現在我們交換第二行和第三行
- 所以第二行變成：0, 1, 0
- 右邊也同樣交換
- 變成：負1, 0, 1
- 直接交換兩行的位置就行了
- 所以第三行現在就變成了前面的第二行
- 0, 2, 1
- 這邊是0, 1, 0
- 好的
- 接下來又該怎麽辦？
- 如果第三行的這個2變成0就好了
- 這樣一來等於朝單位方陣前進了一大步
- 我怎麽才能把它變成0呢？
- 拿第三行減去2倍的第二行怎麽樣？
- 2倍的第二行，中間的數就是2
- 從第三行中減去它，中間就得0
- 就這麽辦
- 第一行，很幸運地，一直不用動
- 我們照寫下來
- 1, 0, 1, 1, 0, 0
- 第二行這回也不需要變
- 右邊是：負1, 0, 1
- 我剛才說要怎麽做來著？
- 我要從第三行裏減去“2倍的第二行”
- 就是：0，減去“2乘以0”，得0
- 2，減去“2乘以1”，就是0
- 1，減去“2乘以0”，得1
- 0，減去“2乘以負1”，就是0減去負2，得正2
- 1，減去“2乘以0”，還是等於1
- 0，減去“2乘以1”，得到負2
- 我都算對了嗎？
- 我來檢查下
- 0減去“2乘以負1”，“2乘以負1”等於負2
- 0減去負2，所以是正2
- 好的，快完成了
- 左邊看起來已經很像單位方陣了
- 或者說“簡式行階梯形”
- 唯一不同的是右上角的1
- 所以我們終於要對第一行下手了
- 我應該怎麽做？
- 我從第一行裏減去第三行怎麽樣？
- 因爲右上角的1減去右下角的1，就得0
- 我們把它寫下來
- 從第一行裏減去第三行
- 1減去0，得1
- 0減去0，得0
- 1減去1，得0
- 這就是我們想要的
- 然後是：1減去2，得負1
- 0減去1，得負1
- 0減去負2，就得到正2
- 其余的兩行不變
- 0, 1, 0, 負1, 0, 1
- 下面是：0, 0, 1, 2, 1, 負2
- 大功告成
- 我們對左邊的矩陣做了一係列運算
- 也對右邊的矩陣進行同樣的操作
- 左邊的變成了單位方陣，或者叫“簡式行階梯形”
- 所用的方法叫“高斯-若當消去”
- 那麽右邊的這是什麽？
- 它就是左邊原逆方陣矩陣
- 原矩陣和它相乘，就等於單元矩陣
- 如果原矩陣叫A的話
- 那麽這個就是“A逆”
- 就這麽簡單
- 你們可以看到，這只花了我上次所用時間的一半
- 而且計算更容易
- 不用求伴隨矩陣、余因子、行列式什麽的
- 爲了幫助你們理解，我稍微講講這個方法的原理
- 我對左邊這個矩陣所做的每一步操作
- 都可以視爲是對它做了一次矩陣乘法
- 比如，要從原矩陣，到下面這個矩陣
- 就好像說，存在某個矩陣
- 乘以它的效果，就等於做了這第一步的操作
- 而第二步操作，相當於乘上了另一個矩陣
- 所以實質上，我們相當於拿原矩陣
- 乘上一係列的矩陣，最終得到單位方陣
- 這一係行矩陣，叫做“消元矩陣”（elinimation matrix）
- 我們把它們相乘，就得到原逆方陣矩陣
- 這是什麽意思呢？
- 比如，我們有原矩陣A
- 從A到下面這個矩陣，相當於乘上了一個消元矩陣
- 要是你們覺得一頭霧水，可以完全忽略
- 但它也可能會有所啓發
- 因爲第一步操作消去了元素(3, 1)（第三行第一列）
- 所以我們管這一步對應的消元矩陣叫做E(3,1)
- 而第二步操作，相當於乘上另一個矩陣
- 以後的影片裏，會有更詳細的解釋
- 我會教你們如何構造這些消元矩陣
- 這裡的第二步操作，是兩行元素交換位置
- 我們姑且管它對應的矩陣，叫做“交換矩陣”S
- 乘上它，效果是交換第二行和第三行，所以寫成S(2, 3)
- 第三步也相當於一次乘法
- 我們消去了什麽？消去了第三行第二列
- 所以其對應的消元矩陣叫做E(3, 2)
- 最後一步，也相當於乘上了一個消元矩陣
- 消去了右上角的元素，也就是第一行第三列
- 所以它叫做E(1, 3)
- 你們現在不用搞清楚這些矩陣長什麽樣
- 後面我會教你們如何去構建它們
- 我現在只是想讓你們提前確信：
- 這裡的每一步操作，都可以通過“乘上一個矩陣”來完成
- 而我們知道，乘上這些矩陣之後
- 原矩陣A就變成了單位方陣I
- 也就是這裡
- 所以這幾個矩陣的乘積
- 如果我們把它們相乘的話
- 肯定就等於A的逆矩陣
- 這些消元、交換矩陣乘起來，肯定等於A的逆矩陣
- 因爲拿它們乘上A，結果等於單位方陣
- 那麽，這會給我們什麽結論呢？
- 如果這些矩陣相乘等於逆矩陣
- 那麽拿單位方陣乘上它們
- 也就是：第一步乘以E(3, 1)
- 第二步乘以S(2, 3)
- 第三步乘以E(3, 2)
- 如此往複
- 當你把這些步驟合在一起
- 實際上就相當於拿逆矩陣乘以單位方陣，明白嗎？
- 我不希望把你弄糊塗
- 你明白我所說的當然好，不明白也沒關係
- 但是，如果你著眼於大效果的話
- 這些步驟的效果，實際上相當於：
- 把這個擴增矩陣的左右兩邊都乘上逆矩陣
- 左邊的乘上逆矩陣，得到單位方陣
- 而右邊，單位方陣乘上逆矩陣，當然就得到逆矩陣
- 話說回來，我不想把你弄糊塗
- 只是希望能給你一點點解釋
- 以後我會用更具體的例子來解釋它的原理
- 目前你只要知道有這麽個簡便的方法
- 不用去算伴隨、余因子、子式矩陣、行列式之類的
- 好的，那我們下段影片再見
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