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線性代數: 矩陣的積 (英): 兩個矩陣相乘的例子
相關課程
- 在上一集影片中
- 我們明白了兩個矩陣乘積的含義
- 因此假設我們有矩陣A 它是一個m×n的矩陣
- 還有另外一個矩陣B
- 它是一個n×k的矩陣
- 然後我們就要定義
- AB等於什麽
- 在給這個乘積給出定義之前 讓我
- 把矩陣B寫成行向量的形式
- 因此我們知道B可以寫成行向量b1
- 另一個行向量b2
- 一直到第k行向量bk
- 因爲這個矩陣有k列
- 在上一集影片裏
- 我們定義了AB
- 爲了滿足定義 矩陣A的列數
- 必須要等於矩陣B的行數
- 但是我們把這個乘積定義爲
- A乘以矩陣B的每一列
- 因此它等於 讓我換回成那種顏色
- 它等於A乘以 用我做過的這種顏色來標出來
- A乘以b1 然後這個乘積向量的
- 第二列就是A乘以b2
- 第三列就是A乘以b3
- 一直到A乘以bk
- 就在這
- 爲什麽定義成這樣子
- 你可能之前看過
- 或者是在代數2的課程裏了解過
- 那裏對矩陣乘積的定義可能不是這樣的
- 但是這種定義 和代數2的定義是等價的
- 這種巧妙的定義是通過
- 求出兩個線性變換的復合變換的變換矩陣得出的
- 而這兩個線性變換的變換矩陣
- 分別爲矩陣A和B
- 這個我在上集影片給大家講解過了
- 根據我們所說的 讓我們來實際計算出一個矩陣乘積
- 這樣大家就能夠更好的理解了
- 假設有矩陣A
- 假設A
- 等於[1,-1,2;0,-2,1]
- 我把矩陣裏面的元素都弄的很小
- 是爲了計算過程簡單明了
- 再有矩陣B
- B等於
- 爲[1,0,1,1;2,0,1,-1;3,1,0,2]
- 因此A是一個2×3的矩陣 2行 3列
- B是一個3×4矩陣
- 根據我們的定義 那AB
- 會等於多少呢？
- 好了 我們知道這兩個矩陣滿足定於
- 因爲A的列數等於B的行數
- 因此我們可以拿這兩個矩陣做乘積
- 你馬上就能夠看到結果 因此AB等於
- 矩陣A乘以行向量[1,2,3]
- 這將是
- 兩個矩陣的乘積的第一列
- 第二列就是
- 矩陣A乘以行向量[0,0,1]
- 第三列就是
- 矩陣A乘以行向量[1,1,0]
- 第四列
- 就是
- A乘以行向量[1,-1,2]
- 當我們把它寫成這個樣子
- 很清楚爲什麽會寫成這個樣子
- 爲什麽A的列數
- 一定要等於B的行數
- 因爲B的行向量所含元素的個數
- 必須等於B的行數
- 因此B的所有行向量
- 稱之爲b1、b2、b3、b4 所有的bi
- 讓我用這種形式把它寫出來
- 所有的這些bi i可以等於1、2、3、4
- 它們都是R3空間的元素
- 因此我們的矩陣向量滿足這個定義
- 即矩陣的列數等於做乘積的向量的維數
- 我們就可以對它們做乘積
- 這就是爲什麽這兩個數
- 必需相等 現在我們
- 把矩陣乘以矩陣的這個問題簡化成
- 四個不同的矩陣向量乘積問題
- 因此我們可以乘以這個
- 這對於我們來說不是什麽新東西 讓我們來做
- 那麽這個等於什麽呢
- 因此AB 讓我重新寫出來 AB就將等於
- AB的第一列就是A乘以
- 行向量[1,2,3]
- 那我們怎麽去理解這個呢？
- 記住 我們可以這樣去想。。。
- 它等於A的每一個行向量點乘B的這個行向量
- 或者可以更好的認爲
- 這是對一個矩陣做線性變換 對不？
- 讓我這樣來寫
- 如果a等於 抱歉
- 向量進行變換後的結果
- 讓我們假定
- a等於行向量[0,-1,2]
- 然後對a進行線性變換 我還沒有給大家過多的說過
- 變換 但是我想大家都應該明白
- 你把所有的行向量轉化成行向量
- 因此a經過轉置之後變成了[0,-1,2]
- 你把一個行向量變成了一個行向量
- 因此我們把它叫做 a的轉置
- 然後當我們用A乘以這個向量的時候
- 我們就
- 可以讓A點乘這個
- 這樣就得到我們的第一行和第一列
- 因此讓我用那種方式來做下去
- 讓我用這種記號寫下來
- 這將等於矩陣 抱歉
- 向量[1,-1,2]
- 實際上就是那個行向量變成行向量之後
- 點乘向量[1,2,3]
- 讓我用那種顏色來寫出來 稍後我就可以
- 換成另外一種顏色 讓大家看起來醒目點
- 點乘[1,2,3]
- 因此就用那個行向量 或者是轉置後變成的行向量
- 去點乘這個向量
- 我把它寫成這樣是因爲
- 只定義了行向量之間的點乘
- 我們就不需要重新定義了
- 這就是矩陣乘積的
- 第一個元素
- 第二個元素是A的第二列
- 點乘以這個向量
- 因此它將
- 等於[0;-2;1]? [1;2;3]
- 接著做下去
- 我把它換成中性的顏色來寫
- 那就是A乘以[0;0;1]
- 把A的第一個行向量變成一個行向量的形式
- 因此我們可以這樣來寫
- [1;-1;2]? [0;0;1]
- 然後 我們再把
- A的第二列點乘這個向量
- 就會得到[0;-2;1]? [0;0;1]
- 剩下的還不止兩行
- 這個過程可能有點乏味
- 在這個過程中犯下
- 一個小錯誤也是難免的 但是只要你明白其中的過程
- 這就是最重要的
- 因此下一個 就是A的這個行向量寫成行向量
- [1;-1;2]的形式 然後
- 我們就用它點乘這個向量[1;1;0]
- 然後A的這一行 我們可以把它
- 最後兩個元素
- 就是A的第一行
- [1,-1,2]點乘這個行向量
- [1;-1;2] 記住這兒有一個小圓點
- 我們記下這個點乘結果
- 然後接著求出最後一個元素
- 就是A第二行
- 也就是[0;-2;1]? [1;-1;2]
- 這就是矩陣乘積的結果
- 這看起來很複雜
- 現在我們只需要把這些算出來
- 算出這些點乘的結果之後 整個乘積就會簡化很多
- 那麽我們這兩個矩陣的乘積
- 到底簡化成什麽樣子呢？
- 我用粉紅色把它寫出來
- AB等於 把矩陣寫在這
- 這兩個向量的點乘 結果到底是什麽呢？
- 就是1<i>1</i>
- 我把它寫在這
- 就是1<i>1 就這樣寫 1<i>1等於1 再加上</i></i>
- -1<i>2結果-2 再加上2<i>3=6</i></i>
- 接著我們就來做這個 0<i>1得0</i>
- 加上-2<i>2爲-4</i>
- 再加上1<i>3爲3</i>
- 來計算這一項 1<i>0得0</i>
- 加上-1<i>0爲0 再加上2<i>1爲2</i></i>
- 這項 0<i>0是0 加上-2<i>0</i></i>
- 讓我這樣來寫
- 就是0 加上-2<i>0是0 再加上1<i>1</i></i>
- 也就是1
- 這項你就得到1<i>1是1 加上-1<i>1是-1</i></i>
- 加上2<i>0 也就是加上0</i>
- 這項就是0<i>1是0 加上-2<i>1=-2</i></i>
- 然後加上1<i>0爲0</i>
- 差不多做完了
- 1<i>1是1 -1<i>-1是1</i></i>
- 2<i>2是4</i>
- 最後 0<i>1是0 -2<i>-1是2</i></i>
- 1<i>2也是2</i>
- 現在做得已經差不多了 我們只需要
- 把這些數加起來就行了
- 因此這兩個矩陣的乘積結果等於
- 一個2×4矩陣 1-2+6
- 那等於5
- -4+3就是-1
- 這就是2
- 這就等於1
- 然後我們有1-1+0=0
- 再減去2 對不？
- 在這我們僅只有個-2 1+1+4得6
- 然後就是2+2等於4
- 這已經做完了
- AB就等於這個矩陣
- 讓我把A和B拿回來
- 關於這個乘積結果代表什麽
- 我們可以再稍微多了解一下
- 讓我把它複製並粘貼到這
- 讓我稍微把它拉下來一點
- 到這 然後粘貼
- 你看這兒
- 這就是我們的A和B
- 看矩陣的乘積時 我們就能看到這個矩陣
- 一些有趣的事情
- 值得大家去注意
- 記住 我說過只有
- 當矩陣A的列數等於B的行數時
- 兩矩陣才滿足做乘積的定義
- 因此這就是問題所在
- 然後發現 我們有一個2×4矩陣
- 是A的行數乘以B的列數
- 因此我們有一個2×4矩陣
- 因此一個很自然的問題 就是如果做乘積BA
- 是否能夠得到結果呢？ 或者是它和AB是否相等呢？
- 對BA乘積我們是否能夠得到結果呢？
- 因此我們盡量根據定義來做
- 這個到底會等於什麽呢？
- 它會等於B乘以行向量[1;0]
- 然後是B乘以行向量[-1;-2]
- 最後是B乘以
- 行向量[2;1]
- 現在是否能夠得到乘積結果呢？
- 我們有一個3×4 就是在這的3×4矩陣
- 然而這些向量都是R2空間中的元素
- 因此這不滿足定義
- 在這個乘積中矩陣的行數要大於後面相乘矩陣的列數
- 這樣的矩陣乘積 我們從來就沒有定義過
- 因此現在不僅僅是它是否等於AB
- 而且是它都不符合定義
- 當你用一個3×4矩陣 去乘以一個2×3的矩陣時
- 你會發現這不滿足定義
- 它不符合定義因爲
- 這兩個數不相等
- 因此很明顯 既然這個滿足定義 這個不滿足定義
- 那麽AB總是不等於BA的
- 事實上 它不僅不等於AB
- 而且它也不滿足定義
- 我想說的最後一點就是
- 你可能在代數2中學過
- 怎麽去做矩陣與矩陣的乘積
- 但是你不明白 爲什麽可以這樣做
- 但是現在我們就告訴你原因
- 因爲當你對A和B做乘積的時候
- 根據我們上集影片中所學的知識
- 這有兩個線性變換
- 讓我們來說這個線性變換S
- 它是從R3映射到R2的線性變換
- S的變換矩陣就是這個矩陣
- 因此對於S變換 你給出R3中一些矩陣
- 然後對它們進行S變換
- 這等於A乘以這些矩陣 或者是你給定任何R3中的向量
- 然後你對它進行S變換 結果等於
- 矩陣A乘以這個向量
- 我們可以知道
- 我之所以用R3和R2 是因爲A的列數是3
- 因此我們只可以對3維的向量進行S變換
- 同樣 我們可以把B認爲是
- 變換T的變換矩陣
- T是一個從R4到R3的映射
- 當你給定R4中的向量x時 對x進行T變換
- 你就會得到變換後的結果爲Bx
- 這個結果也是R3中的向量
- 現在 讓我們來考慮T和S的復合變換
- 讓我們稍微想想
- 如果R4在這 讓我換種顏色
- 這是R4 這是R3
- 這是R2
- T是從R4到R3的線性變換
- 因此T就是這樣的
- T是一個線性變換 T(x)=Bx
- 這就是T變換的等價形式 T就是這樣的線性變換
- 然後S是從R3到R2的線性變換
- S就是這樣的
- 進行S變換就等價於A乘以
- R3中作變換的任意向量
- 因此現在我們知道 如何對矩陣乘積形象化
- 如何去理解其中的緣由 也明白了AB的含義
- AB實質上就是你首先進行T變換
- 讓我想一想 然後進行S變換
- 這是一個S和T的組合變換 讓我用這種方式來寫
- 那麽S和T的復合變換到底是什麽呢？
- 它等於S(T(x))
- 你進行T變換從R4映射到R3
- 然後你進行S變換從R3映射到R2
- 這就是S和T的復合變換
- S和T的復合變換 就是從R4一直映射到R2
- 然而很巧的就是
- 當你把這些變換寫成變換矩陣的形式
- 我們在上集影片中做過
- 這就等於S的變換矩陣A乘以這個向量
- 這個向量是Bx
- 但是現在 根據我們對矩陣向量乘積的定義
- 我們知道這個矩陣也
- 對應了一個線性變換
- 它等於 根據我們的定義
- S和T的復合變換對應的變換矩陣就是AB
- 因此
- S(T(x))=ABx
- 因此我爲什麽一直這樣做的原因就是
- 我們只做了一個矩陣與矩陣的乘積問題
- 我們知道了求解AB過程中的麻煩
- 我們也知道了其中的意義
- 幸運的是我也沒有犯什麽錯誤
- 但是關鍵在於
- 你在代數2中
- 可能不會知道這些東西
- 現在你明白了其實這個乘積就是
- S和T的復合變換對應的變換矩陣
- 矩陣的乘積
- 就是S和T的復合變換的變換矩陣
- 現在你不僅僅是會做矩陣與矩陣的乘積
- 要是只會盲目的算出這些乘積 那樣就相當無聊了
- 你還知道它們的由來
- 矩陣乘積實際上對應的是
- 兩個線性變換的復合變換的變換矩陣
- 其中A和B分別是
- 每個單獨的線性變換對應的變換矩陣
- 無論怎樣 希望這些知識對大家有用
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