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Linear Algebra: Simplifying conditions for invertibility: Showing that a transformation is invertible if and only if rref(A) is equal to the identity matrix
相關課程
- 好 上一個係列的影片的整個前提
- 我們在嘗試通過計算得到
- 某變換T
- 假設變換T是從
- 假設它從Rn映射到Rm
- 它的核心問題是 T是否可逆？
- 我們之前一些影片表明 一個函數
- 其中一些變換也是函數
- 如果滿足兩個條件則它可逆
- 則可逆
- 我不想再一直拼寫這個單詞
- 你必須具備兩個條件
- 一它必須是映上的 或者說它本身必須是
- 映射到上域中的每一個元素
- 且必須是一一對應的
- 換句話說一一對應是指
- 上域的每一個元素最多被
- 定義域的一個元素映射
- 我們之前做過一些詳細的影片
- 當我們存在一個變換 一個線性變換
- 被定義爲一個矩陣A
- 一個m×n的矩陣
- 我們說它滿足映射條件 當A的秩
- 若且唯若A的秩等於
- 變換矩陣的行的個數 即等於m
- 上一次影片也說到 一一對應是
- 只有當每一個行向量是
- 線性獨立的 或它們都是基向量
- 在你的列空間或者矩陣A的秩
- 它必須等於n
- 現在爲了讓某些東西可逆 爲了
- 讓變換可逆 這兩個
- 條件都必須滿足
- A的秩必須等於m
- 同時A的秩必須等於n
- 所以爲了變換它可逆
- 這兩個條件要同時發生
- 爲了使T可逆
- 變換矩陣的秩
- 必須等於m
- 又必須等於n
- 所以m必須等於n
- 這是一個有趣的條件
- 它必須是個方陣
- 即矩陣A必須是n×n的
- 這就是表達的含義
- 當這兩個條件都符合 則m必須等於n
- 即它是個方陣
- 更深入的說 這個方陣的
- 每一列都是線性獨立的
- 這就是我們的A
- A就像這樣
- a1,a2,一直到an
- 因爲A的秩等於n 所以這毫無疑問
- 是個n×n的矩陣
- 我們剛說到
- 它必須是方陣因爲
- 它的秩等於m 即行數
- 同時它的秩又必須等於n
- 即列數
- 所以行數和列數必須相同
- 既然A的秩等於列數
- 這意味著 你所有的行向量
- 在列空間裏是基向量
- 或者當你把它們變成
- 行簡化階梯形 你會得到什麽？
- 它們都是基向量 所以它們
- 都將和軸元向量有關聯
- 或者它們都將和
- 主列有關係
- 因此這就是1,0，一串0，下一列
- 則是0,1，一串0，像這樣
- 它們都將和主列有關聯
- 當你變成簡化行階梯形形式
- 因此它們都是主列
- 這是一個n×n的矩陣
- 那麽n×n方陣表現什麽
- 當每一列都是主列
- n×n矩陣又表示是什麽呢？
- 我這麽寫
- 那麽這有一個n
- 則A行簡化階梯形 必須得等於
- 一個n×n的矩陣 因爲A是n×n
- 每一列都是線性獨立的主列
- 我的意思是 從定義上說 行簡化階梯形
- 不可能有兩個同樣的主列
- 由於每一列都是
- 線性獨立的主列
- 這樣說顯得有點多余
- 但我想你們都明白了
- 那麽一個n×n的方陣表現什麽
- 當它的每一列都是線性獨立的主列
- 好的 這其實就是一個主對角線爲1
- 其余爲0的矩陣
- 或者說，你們之前也接觸過這個矩陣
- 它就是一個n×n的單位方陣
- 或者說是n階單位方陣 或n階方陣
- 當你把這個矩陣乘以任何n階方陣
- 你都只會再次得到那個矩陣
- 但這是個很有意思的結論
- 對於可逆性 這又有了一個有用的條件
- 我們可以說T變換
- 是從Rn映射到 當然它只能映射到
- 同樣維數的空間 即從Rn映射到Rn
- A等於某n×n的方陣
- 等價於一個n×n的矩陣
- 乘上我們定義域中的向量
- 它可逆只有當
- 我們變換矩陣的
- 行簡化階梯形
- 等於n階單位方陣
- 我的意思是
- 我本應該在這寫一個m
- 同時這應該是一個m×n的矩陣
- 但它唯一存在可逆的條件是
- 當這同時存在一個n
- 且n等於m
- 但也許我應該把它們放到那
- 我把那些m放到那
- 因爲這是個美麗的意外
- 爲了使變換矩陣可逆
- 唯一的可能是
- 當我們的
- 變換矩陣的
- 行簡化階梯形
- 是一個n×n的單位方陣
- 這個單位方陣是n×n
- 所以這是個美麗的意外
- 以後就可以用這個結論
- 去解出變換
- 或它的逆變換
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