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矩陣解向量的組合 (英): 用矩陣解出兩個向量如何組合出第三個向量
相關課程
- 在上一個影片中 我們看到一個矩陣。。。
- 如何求出它的逆矩陣 並用於求解方程組
- 我們計算了一個2×2的矩陣
- 接下來 我們會計算3×3的矩陣
- 我們不會計算4×4 因爲那太花時間了
- 但你們會看到它 運用於n×n的矩陣
- 這很可能是 你們所學矩陣的應用
- 如果你們在代數1或2的課上
- 學了這個
- 你們經常想知道
- 爲什麽要學這些 矩陣的知識呢？
- 現在我會向你們展示 另一個矩陣的應用
- 那其實是你們大學的時候
- 在線性代數課堂上
- 很可能看到的
- 但這裡真正漂亮的東西是。。。
- 我想這會直指要點
- 矩陣的表示法只是
- 一種表示多種類型問題的方法
- 最酷的是
- 如果不同的問題 通過同樣的方式來表示
- 它會告訴你 它們是同樣的問題
- 在數學領域中 這被稱爲“同構”
- 如果你可以把一個問題簡化成另一個問題
- 那麽你對其中一個 做的所有工作
- 都可以應用於另一個
- 但無論如何 讓我們找出一個
- 可以運用矩陣的新方法
- 所以我要畫一些向量
- 比如說這個向量 讓我們把它稱作向量a
- 我只打算把它寫成 一個行向量
- 這都只是慣例
- 這些都只是人造的東西
- 我可以把這個寫成對角線
- 但我也可以把它寫成這樣
- 如果向量a=[3；-6]
- 我把這個看作 向量的x元素
- 而這個相當於 向量的y元素
- 然後是向量b
- 向量b=[2；6]
- 我想知道
- 有沒有向量a和b的某種組合。。。
- 你知道的 比如說
- 像 5<i>a+3<i>b</i></i>
- 或者 10<i>a-6<i>b</i></i>
- 向量a和b的某種組合
- 也就是向量c
- 向量c=[7；6]
- 讓我看看能不能 把這個問題直觀地描繪出來
- 讓我先畫出直角座標係
- 讓我們看看這個
- 這是[3；6]
- 它將在象限。。。
- 這兩個都在第一象限
- 我只是想算出
- 我需要畫多大的坐標架
- 讓我們看看 我要換一種顏色
- 這是y軸
- 我不打算畫第二或第三象限
- 因爲我不認爲 我們的向量會在那裏出現
- 然後這是x軸
- 讓我畫出每一個向量
- 首先 我要畫向量a
- 它是[3；-6]
- 1 2 3 然後是-6
- 1 2 3 4 5 6 所以它在這裡
- 如果我想把它 畫成一個向量
- 通常要從原點開始
- 它不一定要像這樣 從原點開始
- 只是我選擇這麽做而已
- 你們可以把一個向量 移來移去
- 只要它有相同的方向
- 和大小 就可以這樣做
- 這個綠色的是向量a
- 現在讓我用紫紅色 畫向量b
- 它是[2；6] 1 2 3 4 5 6
- 所以[2；6]就在這裡
- 它是向量b
- 它長得像這樣 這是向量b
- 然後讓我把向量a 寫在這下面
- 這是向量a
- 我想要寫出向量a和b的某種組合
- 把它們加起來 就得到向量c了
- 那麽 向量c長什麽樣子呢？
- 它是[7；6] 讓我用紫色來畫
- 1 2 3 4 5 6 7 y軸是6
- 所以[7；6]就在這裡
- 這是向量c 向量c長這樣
- 我會把它畫成這樣
- 這是向量c
- 最初的問題是什麽？
- 我說過我想把 向量a的某個倍數
- 加上向量b的某個倍數 得出向量c
- 我想看看 那些倍數是什麽
- 比如說 我乘以向量a的
- 倍數是x
- 向量b的倍數是y
- 那麽 我會想說。。。
- 讓我用另一種中和色來寫 向量ax。。。
- 這是我所選取的向量a
- 加上向量by。。。
- 這是我所選取的向量b
- 等於向量c
- 你知道 可能我做不到
- 可能根本沒有任何 向量a和b的組合
- 加起來是等於向量c的
- 讓我們看看能不能求出這個 應該怎麽求呢？
- 讓我們擴展向量a和b
- 向量a是什麽？ [3；-6]
- 所以向量a 我們可以寫成[3；-6]x
- 這只是告訴我們選取了多大的向量
- 加上向量b 它是[2；6]
- 然後y表示所選取的向量b的倍數
- 這等於[7；6] 也就是向量c
- 現在 就在這裡
- 這個方程可以重寫一遍
- 根據我們是如何定義矩陣乘法運算的
- 依此類推 像這樣
- 就像 [3,2；-6,6]<i>[x；y]</i>
- 等於[7；6]
- 現在 這如何計算？
- 想一想矩陣的乘法運算 是怎麽樣的？
- 我們學矩陣相乘的方式
- 我們說過 3x+2y=7
- 就是 3x+2y=7
- 這就是我們所學的 矩陣乘法運算
- 在這裡也是一樣
- 3<i>x+2<i>y 就等於7</i></i>
- x和y在這裡只是純量
- 那麽 3x+2y=7
- 然後是這裡 矩陣的乘法運算
- 也就是 （-6）x+6y=6
- 這只是我們在 前幾個影片裏所學的
- 一般的矩陣乘法運算
- 在這裡還是一樣
- 也就是（-6）x+6y=6
- 這些x和y都只是數字
- 它們只是純量
- 而不是向量 或任何其他東西
- 我們只需要把它們乘以 這兩個數字
- 希望你們能看到 這個問題
- 和這個問題完全是一樣的
- 如果你們看過之前的影片
- 現在可能就會說 啊哈
- 因爲這個矩陣也表示這個問題
- 我們找到的兩條直線的交點在哪裏？
- 這兩條直線。。。
- 我只想把它寫在這邊。。。
- 這兩條直線的交點
- 是 3x+2y=7
- 然後是 (-6)x+6y=6
- 這樣 我之前畫了兩條直線
- 並且我們說過 交點是什麽
- 諸如此類
- 這個問題將它表述成這樣
- 但這裡 我們有。。。
- 我不是說 一個完全不同的問題
- 因爲我們知道 它們實際上很相似
- 但在這裡 我所求解的問題是。。。
- 我正試著去找讓矩陣a和b
- 加起來等於矩陣c的組合
- 但它被簡化成了 相同的方陣表現形式
- 所以我們可以用完全相同的方法
- 求解這個問題
- 如果我們把這個稱作矩陣a
- 讓我們計算出a的逆矩陣
- 我們得出A-1等於什麽？
- 它等於1/|A|
- |A|等於3<i>6 18-（-12）</i>
- 所以是18+12 也就是1/30
- 我們在上個影片中計算過的
- 你們把這兩個數字交換 得到6和3
- 然後把這兩個變成負數
- 那麽就得到6和-2 這就是A-1
- 現在爲了求出x和y 我們可以用A-1
- 乘以方程的兩邊
- 如果你們用A-1乘以a 這個就抵消了
- 然後就得出[x；y]=A-1乘以這個
- 它等於1/30乘以
- [6,-2；6,3] 乘以[7；6]
- 記住 對於矩陣來說
- 相乘的順序非常重要
- 在這邊 我們在方程的這一邊
- 乘A-1
- 我們必須把A-1放在
- 方程這邊的左側
- 這就是爲什麽 把它放在這裡
- 如果把它放在另一邊 一切就都變成未知數了
- 那麽 這等於什麽？
- 這等於 1/30乘以。。。
- 我們之前計算過的。。。
- 6<i>7是42 減去2 等於30</i>
- 6<i>7是42 加上18 等於60</i>
- 所以這等於[1；2]
- 這告訴我們什麽呢？
- 這告訴我們 如果我們用1乘以向量a
- 加上2乘以向量b
- 1乘以。。。這是1。。。和2<i>向量b</i>
- 那麽 1<i>向量a+2<i>向量b</i></i>
- 等於向量c
- 我們來直觀地證實它
- 1<i>向量a 那麽這是向量a</i>
- 如果我們加上2<i>向量b</i>
- 就應該會得到向量c
- 讓我們看看能不能做到吧
- 如果我們只是把向量b 像這樣平移
- 讓我們看看 向量b是[2；6]
- 往右2和向上6 會到這裡
- 所以一個向量b。。。從頭到尾都只是
- 直觀地描述向量相加。。。就到這裡
- 1 2 3 很好
- 不 讓我看看 1 2 3
- 然後向量b 再往右兩個單位
- 多兩個單位 它要往上6個單位
- 就像這樣 所以這是一個向量b
- 接著 如果我們再加一個。。。
- 但我們想要的是 2<i>向量b</i>
- 我們需要兩個向量b
- 我們有一個了 然後又加一個
- 我想你們會很直觀地看到 它實際上。。。
- 我不想這樣畫
- 我想用直線工具 那樣看起來整潔一點
- 你們再加上一個向量b 成功了
- 這是一個向量b 所以它是2<i>向量b</i>
- 它和向量b方向相同
- 但它的長度是原來的兩倍
- 我們直觀地展示它 並用代數方法解出來了
- 但真正學到的是
- 整個影片真正的 最大的發現
- 是爲了向你們展示 方陣表現法
- 可以表示多種不同的問題
- 這是向量組合問題的一個研究成果
- 之前那個只是算出
- 兩條直線能否相交
- 但它告訴你的是
- 這兩個問題有很深的聯係
- 如果剝掉現實的僞裝
- 基本上 它們是相同的問題
- 坦白說 這就是爲什麽 數學這麽有意思
- 因爲當你意識到
- 兩個問題其實 是一樣的東西
- 它便脫去了所有表面的
- 人造的僞裝
- 因爲用一種特定的方式去理解世界
- 很多問題實際上就是一個問題
- 但它告訴我們 有些根本的真理
- 是獨立於我們的理解之外的
- 它把所有這些不同的觀點 聯係到一起
- 但無論如何 我並不想故作神秘
- 如果你們真的看到數學的奧妙 世界就更和諧了
- 希望你們能夠發現 這非常有趣
- 實際上 我知道我要超時了
- 但我想這是。。。
- 很多人學線性代數
- 他們學習怎麽去 計算所有這些
- 然後他們會說 那麽它的核心是什麽呢？
- 這思考起來 有點兒意思
- 我們有這個 有向量a 還有向量b
- 然後我們可以說
- 向量a和b的某種組合
- 加起來會得到向量c
- 一個有趣的問題是
- 我用向量a和b的組合相加
- 能夠求出的所有向量是什麽
- 或者相加 或者相減
- 或許你會說
- 我可以用負數乘它們
- 但任何一種方式
- 我用向量a和b的線性組合
- 能夠求出的所有向量是什麽
- 實際上 這被稱爲
- 向量a和b所張成的向量空間
- 我們在線性代數中 會討論得多一些
- 在這裡 我們只涉及
- 兩維的歐氏空間
- 我們也可以有 三維的向量
- 我們還可以有 n維的向量
- 它會變得非常 非常 非常抽象
- 但我覺得這也是 一個非常好的
- 深入研究線性代數的開始
- 希望我沒有給你們 造成困擾或打擊
- 下個影片再見
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