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零空間 2: 計算矩陣的零空間 (英): 計算矩陣的零空間
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- 在上一个视频里 我在理论上讲解了
- 零空间是什么并说明了
- 它是一个子空间
- 但在这个视频里我们来计算一下
- 一个矩阵的零空间
- 在这里
- 我们要计算矩阵A的零空间
- 零空间实际就是
- 所有这样的向量的集合
- 当我们将A与任何这样的向量相乘时
- 比如说向量[x1;x2;x3;x4]
- 是零空间里的元素
- 当我将矩阵与这个向量相乘时
- 我应该得到0向量
- 我应该得到这个向量
- 再说一下
- 这个有4列
- 这是3×4矩阵
- 所有我合理地定义了
- 这个和这个有四个分量的向量的乘法
- 这是在Rn中的
- 我称之为X
- 这就是向量X
- 这是R4中的元素
- 它有四个分量
- 然后当你乘这些的的时候
- 你就会得到0向量
- 零空间就是所有这样的向量所组成的集合
- 当我将它与A相乘时
- 我就得到0向量
- 然后得到什么？
- 乘以这一列
- 就是第一项
- 然后是这一行乘以这一列 是第二项
- 然后第三个元素
- 所以有三个0
- 所以0向量是在R3中的
- 我们怎么算出
- 所有满足这个的x的集合？
- 我写一下正式的表达式
- A的零空间是由
- 所有这样的向量组成的集合――
- 我们一般说Rn 但这是一个3×4矩阵
- 所有这些都是
- R4中的向量 因为我用的是这个特定的A
- 使得矩阵A乘以这里的任何一个向量
- 都等于0向量
- 在这种情况就是R3中的0向量
- 那么我们怎么算这个？
- 好 这就是一个线性方程
- 我们可以这样来写
- 如果我们展开矩阵乘法
- 就得到1乘以x1
- 我写在这里
- 我用另一种颜色
- 就是1乘以x1 加上1乘以x2 加上1乘以x3
- 加上1乘以x4等于这个0
- 所以这个乘以这个就等于这个0
- 然后这个乘以这个就是这个0
- 那么1乘以x1 就得到x1加上2乘以x2
- 加上3乘以x3 就是4乘以x4
- 等于这个0
- 最后是这个乘以这个向量
- 等于这个0
- 所以这个行向量
- 和这个列向量的点积是0
- 所以得到4x1
- 就是4x1+3x2+2x1+2x3+x4=0
- 还有4x1+3x2+2x3+x4=0
- 你要找到这个的解集
- 然后要找到零空间
- 现在 我们已经知道了
- 这个方程组的解集就像这样
- 我们有三个有四个未知量的方程
- 我们可以算出来
- 我们可以用增广矩阵来表示这个
- 然后将它化为行简化阶梯形
- 我们来算一算吧
- 我可以把这个问题化成增广矩阵
- 就是1 1 4
- 还有1 2 3
- 还有1 3 2
- 最后是1 4 1
- 然后我将它增加一个0向量
- 你应该注意到的是我们
- 将这个乘以这个等于这个
- 我们把它写成方程组
- 但现在我们要解这个方程组
- 我们回到增广矩阵来
- 这个增广矩阵看起来像什么？
- 好 这个就是矩阵A
- 这就是矩阵A
- 这就是这里的0向量
- 要解这个 我们以前做过了
- 我们仅需
- 将增广矩阵化为行简化阶梯形
- 你会发现当你将它化为
- 行简化阶梯形时
- 右边不变
- 因为不管你乘或是减
- 都是乘以0
- 所以你仅仅得到0
- 所以当我们将它化成行简化阶梯形时
- 事实上仅仅是在把矩阵A
- 化成行简化阶梯形
- 我们来算算 不要只是说
- 我从保持第一行不变开始
- 第一行是1 1 1 1 0
- 然后我要消去这个1
- 我把第二行换成第二行减去第一行
- 所以1减去1是0
- 而2减去1是1
- 还有3减去1是2
- 还有4减去1是3
- 还有0减去0是0
- 你可以看出0不变
- 然后我来把这个换成4乘以这个
- 再减去这个
- 我就可以消去它啦
- 那么4*1-4=0
- 而4*1-3=1
- 而4*1-2=2
- 而4*1-1=3
- 现在我要消去这个 如果我要将这个
- 化成行简化阶梯形
- 我就要消去这一项和这一项
- 所以我要保持中间这一行不变
- 中间这一行是0 1 2 3
- 而增广部分是0
- 虽然这些0不会变
- 做这个习题
- 确实要费些功夫
- 第一行 我来把它换成第一行
- 减去第二行 我就可以消去这个1
- 所以1减去0是1
- 而1减去1是0
- 而1减去2是-1
- 还有1减去3是-2
- 而0减去0还是0
- 我再把最后一行换成最后一行
- 减去中间这一行
- 就是0减去0等于0
- 而1减去1是0
- 还有2减去2是0
- 我想你应该看出来了
- 还有3减去3是0
- 明显地0减去0是0
- 所以这个方程组就被化简完了
- 通过化成行简化阶梯形 解决了这个问题
- 如果我再写一遍这个
- 这个可以被写成
- 方程组为x1减去x3减去x4 对吧？
- 0x2是0
- 然后这个第二行 没有x1
- 你仅仅有x2+2x3+3x2=0
- 这个明显是没有用的
- 我就可以解出这个了
- 我可以解出x1和x2 得到了什么？
- 得到x1是x3加上x4
- 事实上 这里错了
- 这是x1-x3-2x4=0
- 所以如果我重写一下 就是x1=x3+2x4
- 然后是x2
- 我用绿颜色
- 就是x2=-2x3-3x2
- 所以如果我要
- 写出这个方程的解集
- 如果我要写成这样
- 我可以写成x1 x2 x3 x4等于――
- x1等于什么？
- 它等于x3*1+x4*2
- 对吧？
- 我就得到了结果
- 从这个方程得到的
- 是x1=1x3+2x4
- 就是 在这里
- 而x2=x3*-2
- 加上x4*-3
- 我在做的是什么？
- 我失去方向了
- 这个x2是。。。 x2+2x3+3x4
- 等于0
- 所以x2=-2x3-3x4
- 好了 就像这样
- 对不起 我没有完全集中注意力
- 我犯了些愚蠢的错误
- 但我想你现在应该明白了
- 那么x3等于什么？
- 好 它就等于1乘以x3
- 加上0乘以x4 对吧？
- 而x3就是x3
- 那x4呢？
- 它等于0*x3+1*x4
- 所以R4中的所有向量 这些在R4中
- 就满足这个方程 我们的原始方程
- 即Ax=0 可以被表示成
- 这两个向量的线性组合
- 是这两个向量 对吧？
- 这些是随机的标量是――
- 我们可以取x3是任意的实数
- 我们可以取x4是任意的实数
- 那么我们的解集就是
- 这两个向量的线性组合
- 另一种
- 解释两个向量的线性组合的方法是什么？
- 我写下来
- A的零空间
- 就是这个方程的解集
- 就是所有满足这个方程的x
- 等于所有的
- 这个向量和这个向量的线性组合
- 我们称
- 这两个向量的所有的线性组合为什么？
- 是这两个向量张成的空间
- 所以它等于这个向量和这个向量张成的空间
- 即向量[1;-2;1;0]
- 还有向量[2;-3;0;1]
- 这就是我们的零空间
- 在继续往下讲之前
- 我来指出一个有趣的东西
- 我们把我们的方程组表示成这样
- 把它化成行简化阶梯形
- 所以这个就是A而这个是0
- 这里的这个 我先确保有足够的地方
- 我把它放在这里
- 这里的这个是A的行简化阶梯形
- 所以这个方程
- 这是一个线性方程
- 这是要解这个问题的
- A的行简化阶梯形
- 乘以向量x是0
- 所以 这个的所有解也是
- 原始方程的解
- 就是Ax=0的解
- 那么解是什么？
- 所有满足这个的x
- 这些是
- A的行简化阶梯形的零空间
- 对吧？
- 所以这是所有的x 这是零空间
- 这个问题 如果我们找到了所有的x
- 这就是
- A的行简化阶梯形的零空间
- 但我们说这个问题
- 与这个问题是一样的 对吧？
- 所以我们可以写成A的零空间等于
- A的行简化阶梯形的零空间
- 这看起来有一点儿令人困惑 嘿
- 你为什么写它
- 但它却是很有用
- 当你想要计算零空间的时候
- 所以我们甚至不必写
- 稍大一些的增广矩阵
- 我们可以说 取矩阵A
- 将它化成行简化阶梯形
- 然后算出它的零空间
- 我们直接算它就可以了
- 这就是A的行简化阶梯形
- 然后我很容易地可以
- 解出这些方程 对吧？
- 我可以取
- 行简化阶梯形的点积 或者
- 不是点积 矩阵向量积
- 是A的行简化阶梯形和这个向量的
- 我就可以得到这些方程了
- 然后这些方程很明显地
- 我可以重新将它们写成这种形式
- 我就可以解出他们了
- 但无论如何 你们知道了这个的用处
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