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零空間與行向量的基底 (英): Figuring out the null space and a basis of a column space for a matrix
相關課程
- 在本集影片裏我想要講的是――
- 可能也是接下來幾個影片裏要講的內容――
- 是整合所有已經學過的關於矩陣
- 還有零核空間 列空間
- 和線性獨立的內容
- 那麽我有矩陣 記爲A
- 我想一個好的起始點是
- 我先寫出它的列空間和零核空間
- 列空間更容易寫出來
- 就是A的行向量張成的空間
- 我們可以以寫出
- 矩陣A的列空間開始――
- 我在這裡寫吧
- 我可以寫成矩陣A的列空間等於
- 向量[1;2;3]
- 和[1;1;4]
- 和[1;4;1]
- 還有[1;3;2]張成的空間
- 這就寫完了
- 這很直觀
- 比找出零核空間簡單多了
- 現在這個可能也可能沒有使你們滿足
- 還有許多沒有解決的問題
- 這是這個空間的基嗎？ 比如說
- 這是一個線性獨立的向量集合嗎？
- 我們怎麽來看待這個空間？
- 我沒有回答這些問題
- 但如果你問
- 嘿 A的列空間是什麽？
- 這就是A的列空間
- 然後我們就可以解答一些其它問題
- 如果這是線性獨立的向量集合
- 那麽這些向量就是一組
- A的列空間的基
- 我們還不知道這一點
- 我們不知道是否這些是線性獨立的
- 但我們可以算出它們是不是線性獨立的
- 只需看A的零核空間就行了
- 記住這些是線性獨立的
- 如果A的零核空間只包含0向量的話
- 所以我們需要算A的零核空間是什麽
- 記住 我們可以在這裡走一條捷徑
- A的零核空間等於行
- A的行簡化階梯形的零核空間
- 當第一次學習計算
- 向量的零核空間的時候我就已經講過了
- 因爲當你這樣做的時候――其實
- 如果你想要解出來A的零核空間
- 你就是在算增廣矩陣
- 你就是在把增廣矩陣化爲
- 行簡化階梯形 但其中的0不變
- 所以其實你就是在將A化成
- 行簡化階梯形
- 我們來算吧
- 那麽我要保持第一行不變 1 1 1 1
- 然後將第二行換成
- 第二行減去第一行
- 我就得到了什麽？
- 不 實際上我要將它消去
- 那麽是第二行減去2乘以第一行
- 實際上更好
- 因爲我最後要得到1
- 所以2乘以第一行 再減去第二行
- 就是說2乘以第一行
- 再減去第二行
- 而2<i>1-2=0</i>
- 這就是我想要的結果
- 即2<i>1-1=1</i>
- 這個結果很好
- 還有2<i>1-4=-2</i>
- 還有2<i>1-3=-1</i>
- 好了
- 現在我來看看是否我可以把這個化成零
- 我能做什麽？
- 我可以任意組合
- 任何可以把它化成零的組合
- 但我要消去負數
- 我來取第三行
- 減去3乘以第一行
- 我要取-3乘以第一行
- 然後將它與第三行相加
- 所以3減去3乘以1是0
- 這就是一串3了
- 所以4-3<i>1=1</i>
- 而1-3<i>1=-2</i>
- 而2-3<i>1=-1</i>
- 現在如果 要把它化成行簡化階梯形
- 我們就要瞄準這個和這個
- 我們要怎麽做？
- 我們保持只見這一行不變
- 中間這一行不變
- 還是1 1 -2 -1
- 要消去上面的這個我只需將
- 第一行替換爲第一行減去第二行
- 因爲這個不變
- 我就會得到1-0=1
- 還有1-1=0
- 這就是我想要的
- 而1-(-2)=3
- 就是1+2
- 而1-(-1)
- 就是1+1
- 就是2
- 好了？
- 現在我再算第三行
- 我再把第三行換成第三行減去
- 第一行
- 很顯然這是一樣的
- 所以如果我將第三行與第二行相減
- 就得到一串0
- 而0-0=0
- 還有1-1=0
- 而-2-(-2)=0
- 而-1-(-1)
- 就是-1+1
- 等於0
- 就像這樣 我們將它
- 化成了行簡化階梯形
- 這就是A的行簡化階梯形
- 這很簡單
- 現在我們做
- 這道習題的緣由就是我們要算出
- A的零核空間
- 我們已經知道了A的零核空間等於
- 矩陣A的行簡化階梯形的零核空間
- 所以如果這個是A的行簡化階梯形
- 我們就可以算出它的零核空間
- 所以零核空間就是所有在R^4中的向量
- 因爲這裡有四列
- 有1 2 3 4
- 零核空間就是所有這樣的向量的集合
- 滿足這個方程 我們就有
- 三個0
- 這是R3中的0向量
- 因爲我們這裡有3行
- 所以你就可以算出它來
- 這個乘以這個等於這個0
- 這個與這個的點積就
- 等於這個0
- 這個與這個的點積就等於這個0
- 我沒有定義
- 行向量與行向量的點積
- 我只定義了行向量與
- 其它行向量的點積
- 但我們已經在之前的影片裏講過這個了
- 這裡你可以說
- 這是行向量的轉置
- 我們就這樣來看
- 並寫成這樣的方程組
- 就得到1乘以x1
- 這個乘以這個就等於這個0
- 所以1乘以x1 就是x1
- 加上0乘以x2
- 我來寫下來
- 加上3乘以x3
- 加上2乘以x4等於這個0
- 然後――我用黃色――
- 就是0乘以x1
- 加上1乘以x2
- 減去2乘以x3
- 減去x4等於0
- 但這個沒有用
- 因爲0乘以所有這些都是0
- 所以就是0=0
- 我們來看看是否我們可以解出軸元素
- 或主變量
- 這裡軸元是什麽？
- 這是軸元
- 這也是軸元
- 這就是行簡化階梯形的內容
- 得到這些軸元是1 並且它們是唯一的
- 在它們所在列中的非零項
- 每個軸元都是在
- 上一個軸元的右邊
- 那麽沒有軸元的行向量呢？
- 這些行向量就是自由變量
- 所以這個行向量沒有軸元
- 所以當你取點積時 這一列
- 變成了方程組中的這一列
- 我們知道x3是自由變量
- 即x3是自由的
- 我們可以讓它等於任何東西
- 同樣地 x4也是一個自由變量
- 而x1和x2是主變量
- 因爲它們對應的列
- 在行簡化階梯形中
- 有軸元
- 好了
- 我們來看看
- 是否可以將這個簡化成已知的形式
- 我們以前已經看過了
- 那麽如果我解出x1――這個0我可以不看
- 這個0我可以不看――
- 我可以說x1=-3x3-2x4
- 我僅僅是從方程兩邊消去這兩個
- 我可以說x2=2x3+x4
- 如果我們現在想要寫出解集
- 如果我要找到A的零核空間
- 這個和
- A的行簡化階梯形的零核空間相同
- 等於所有這樣的向量――我換一種新顏色
- 或許用藍色吧――
- 等於所有這樣的向量x1 x2
- 還有x3 x4 等於――
- 那麽它們等於什麽？
- x1等於-3x3-2x4
- 爲了使問題更清楚些 這些是自由變量
- 因爲我可以讓它們等於任何東西
- 而這些是主變量
- 因爲我不能讓它們等於所有的東西
- 當我決定了x3與x4等於了什麽
- 它們就決定了x1與x2等於什麽
- 所以這些是主變量
- 這些是自由變量
- 我可以使它爲pi
- 可以使它爲-2
- 我們可以使它們等於任何東西
- 所以x1等於――我們來看看
- 我們這樣來寫――
- 它們等於x3――
- 我用另一種顏色――
- 這樣來寫x3
- 那麽它等於x3乘以某個向量
- 加上x4乘以某個其它向量
- 所以零核空間的任何解集就是
- 這兩個向量的線性組合
- 我們可以僅從
- 這兩個限制條件來算出這兩個向量
- 那麽――我用柔和一點兒的顏色來算――x1等於
- 即-3<i>x3-2乘以x4</i>
- 很簡單
- 還有x2=2<i>x3+x4</i>
- 那x3等於多少？
- 好 x3等於它本身
- 不管我們令x3等於多少 它就是x3
- 所以x3等於1<i>x3+0<i>x4</i></i>
- 它裏面沒有x4
- x3是一個獨立變量
- 它是自由的
- 我們可以令它等於任何東西
- 我們令它等於x3
- 在我們的解集中
- 而x4中也沒有x3
- 就是1乘以x4
- 所以我們的零核空間就是
- 所有這兩個向量的線性組合
- 這個可以是任何實數
- 這是任何實數
- 而x4就是在實空間裏
- 所以所有這些
- Ax的所有解所組成的集合
- 等於――我寫哪裏呢
- 我寫過嗎？
- 沒有 我沒寫過
- 所有的使得Ax=0組成的集合 這是x
- 它等於所有的這些向量
- 和這個向量的線性組合
- 我們知道所有的線性組合是什麽
- 就是零核空間等於
- 這兩個向量張成的空間 即[-3;2;1;0]
- 和[-2;1;0;1]張成的空間
- 現在我來問一個問題
- 在A中的行向量
- 它們是線性獨立的嗎？
- 它們是線性獨立的集合嗎？
- 我們在這裡寫的這些向量
- 它們就是A的行向量
- 我寫下來
- 那麽A的行向量――它們是什麽？
- 我們來看看
- 是[1;3;2]
- 不 是[1;2;3]
- 還有[1;1;4]
- 還有[1;4;1]
- 還有[1;3;2]
- 所以這是A的行向量
- 我將A寫成這些行向量
- 但我的問題是
- 這是線性獨立的集合嗎？
- 你可能馬上開始考慮這個問題了
- 好吧 當我們說某個東西
- 是線性獨立的――線性獨立
- 它意味著只有一個解――
- 我們在前兩個影片裏看過了
- 只有一個解――
- Ax=0的一個解是0
- 這就是0解
- 即x=0
- 或許解釋這個的另一種方法是
- A的零核空間等於0向量
- 這就是線性獨立的含義
- 兩種方法都可以
- 如果零核空間就是0
- 那麽它就是線性獨立的
- 如果零核空間包含其它向量
- 那麽就不是線性獨立的
- 現在A的零核空間 它包含什麽？
- 它僅含有0向量嗎？
- 好吧 不 它包含
- 所有這些向量的線性組合
- 事實上它包含無窮個向量
- 不僅僅有一個解
- 明顯地0向量在這裡
- 如果你乘以這兩個――
- 如果取這個和這個是0
- 它就包含在這裡 但你可以得到所有向量的集合
- 所有因爲A的零核空間 零核空間 對不起
- A的零核空間不僅僅包含0向量
- 它包含0向量之外的東西
- 這意味著什麽？
- 這意味著
- 它不僅只有這一個解
- 這就意味著這是線性相關的集合
- 這意味著什麽？
- 在這集影片開始我問過
- 矩陣A的列空間是什麽
- 我們知道A的列空間就是
- 行向量張成的空間
- 我就像這樣寫出來了
- 我說過
- 這是否是A的零核空間的一組基不一定
- 基是什麽？
- 基是張成次空間的向量的集合
- 它們還是線性獨立的
- 我們剛剛說明了這些向量
- 不是線性獨立的
- 這就意味著
- 它們不是A的列空間的一組基
- 它們張成了A的列空間 由定義
- 但它們不是基
- 它們需要是線性獨立的
- 才能是基
- 那麽我們來看看是否可以算出
- 列空間的基是什麽
- 要算出來我們就要消去
- 某些多於的向量
- 如果我可以說明這個向量可以被
- 由其它兩個向量的線性組合表示出來
- 我就可以消去這個向量
- 它沒有提供任何新信息
- 這個也一樣
- 誰知道呢？
- 來看看是否可以
- 算出這個問題
- 我們已經知道了x1 我這樣來寫
- 即x1乘以――
- 或許我應該停下來
- 下一個影片再繼續講
- 但我們知道x1乘以[1;2;3]
- 加上x2乘以[1；1；4]
- 加上x3乘以[1;4;1]
- 加上x4乘以[1;3;2]
- 我們知道這個等於0
- 現在如果能解出x4關於――
- 如果可以解出這些向量
- 關於自變量的形式
- 用其它向量
- 我來看看是否能算出來
- 你可以看出來這很簡單
- 那麽就說 我要解出x4
- 那麽如果我從方程兩邊消去了這個
- 得到了什麽？
- 我這樣來寫 令x3=0
- 這是一個自由變量
- 我可以這樣做
- 所以如果我令x3=0 那得到了什麽？
- 如果我說x3=0 這就消失了
- 而如果我從方程兩邊消去這個
- 就得到x1乘以[1;2;3]
- 加上x2乘以[1;1;4]
- 等於――我令x3等於0
- 這是自由變量
- 所以我令x3=0
- 所以這整個都消失了
- 這等於-x4乘以[1;3;2]
- 現在我令x3等於0
- 我令x4=-1
- 如果x4等於-1 那-x4呢？
- 好吧 那這個就等於1
- 就得到x1乘以[1;2;3]
- 加上x2乘以[1;1;4]
- 等於這裡的第四個向量
- 我能總是找到這樣的東西嗎？
- 確實我可以找到這種特殊的向量
- 如果x3=0 x4=-1――
- 我複製粘貼一下這個上面的――
- 我再往下滾動一點兒
- 這是我們算零核空間時得到的
- 這裡的這個
- 所以如果我令――
- 記住這些是自由變量――
- 如果令x3=0 x4=-1
- 那x1是多少？
- 那麽這就意味著
- 即x1=-3x3
- 這是0 減去2x4
- 如果x4=-1 就是-2<i>(-1)</i>
- 那麽x1=2
- 然後x2等於多少？
- 則x2等於2x3 就是0 加上x4
- 等於-1
- 所以我就證明了 如果我令這個等於2
- 這就等於-1
- 我就有一個這個向量
- 和這個向量直到加到第四個向量的線性組合
- 你可以證明這個
- 即2<i>1-1=1</i>
- 還有2<i>2-1=3</i>
- 還有2<i>3=6 再減去4是2</i>
- 這就驗算完了
- 所以我僅僅教會了你如何用 我們的定義
- 理解自由變量
- 和主變量
- 我們可以說明
- 解出第三個向量很簡單
- 還有第四個向量 關於前兩個的
- 我們知道
- 如果我們回到這個集合 第四個向量
- 不是必須的 沒有對
- 向量集合張成的空間增加任何東西
- 因爲這個可以被寫成
- 這個和這個的線性組合
- 現在我們來看看是否這個東西 第三個向量
- 我們做一下相同的練習
- 這也是由自由變量得出的
- 來看看是否可以將它寫成
- 這兩個向量的線性組合
- 好吧 我們來做一下相同的工作
- 不取x3=0
- 也不取x4=-1
- 我們令x4=0
- 因爲我要消去這個
- 我令x3=-1
- 如果x3=-1
- 這個方程簡化成什麽？
- 我們得到x1乘以[1;2;3]
- 加上x2乘以[1;1;4]
- 等於――如果這個是-1乘以[1;4;1]
- 然後我們在方程兩邊加上它
- 就是加上1乘以[1;4;1]
- 再一次地 我們可以解出x1和x2
- 如果x4=0而x3=-1 則x1x4=0
- 所以x3是-3 乘以x3
- 那麽x1=3 對吧？
- 是-3乘以-1
- 那x2等於多少？
- 因爲x4=0 我們可以忽略它
- 而x2=-2
- 所以等於3 然後這個是-2
- 我們看對不對
- 這裡3<i>1-2=1</i>
- 而3<i>2-2=4</i>
- 而3<i>3-8=1</i>
- 驗算成立
- 所以我能寫成這個向量
- 結合自由變量
- 作爲這兩個向量的線性組合
- 所以可以從集合裏消去它
- 所以現在我就證明了
- 這個可以被寫成
- 這兩個的線性組合
- 這個可以被寫成
- 這兩個的線性組合
- 所以這些向量張成的空間等於
- 張成的空間――我寫下來
- 矩陣A的列空間 我可以重新寫成這樣
- 在它是所有這些向量張成的空間之前
- 它是所以行向量張成的空間
- 即v1 v2 v3和v4
- 現在我僅僅證明了v3和v4
- 可以被寫成v1和v2的線性組合
- 所以它們是多余的
- 這就等於v1和v2張成的空間
- 就是這兩個向量
- 向量[1;2;3]和向量[1;1;4]
- 現在這兩個中有多余的嗎？
- 我可以將它們中的一個寫成
- 另一個的線性組合嗎？
- 其實當我討論
- 一個向量的線性組合時
- 就是它乘以純量
- 我們來看看
- 你有許多方法可以看出來
- 但最簡單的方法是看
- 從這一項到這一項
- 我僅僅乘以了1
- 但如果我將這整個向量乘以1
- 這裡就應該是2
- 這裡就應該是3
- 所以不是
- 如果我要將這個表示成
- 這個乘以純量
- 那麽任何純量乘以[1;2;3]
- 都等於[1c;2c;3c]
- 對吧？
- 所以這個東西必須被表示成
- 像這樣的東西
- 如果我們說這個是個純量
- 以某種方式可以被這個東西表示出來
- 那麽這就是[1;1;4]
- 當你看上面這個元素時
- 這意味著c=1
- 但當你看第二個元素時
- 你會想c=1/2
- 所以矛盾
- 在這裡c=4/3
- 所以沒有能使這個式子成立的c
- 沒有c
- 你可以用這兩種方法
- 所以不能
- 將這些東西表示成
- 其它東西的線性組合
- 你可以用其它方法證明
- 或許更正式地 這是線性獨立的
- 但給定這是線性獨立的
- 我想你對這個很滿足――
- 我們可以說向量[1;2;3]
- 和向量[1;1;4]的集合是A的列空間的基
- 現在我要讓結束這集影片了
- 因爲我想我有點兒超時了
- 但在下幾集影片裏我要做的就是
- 我已經說明的
- 這是A的零核空間的基
- 我們可以理解這個
- 因爲我們可以說A的列空間
- 等於這兩個向量張成的空間
- 我們可以考慮
- 這兩個向量張成的空間是什麽
- 我們將要看到它是R3中的平面
- 和[1;1;4]張成的空間
- 而這是一個快速記憶 我已經說過很多次了
- 當我說它是基時
- 我的意思是 說這些東西
- 它們都張成了A的列空間
- 當我有四個向量時
- 它們也張成了A的列空間
- 但使它們成爲基的
- 是因爲這些向量是線性獨立的
- 沒有額外的信息
- 或多余的可以被
- 其它向量表示出來的向量
- 它們是線性獨立的
- 好吧 下課啦
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