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基底與樞軸行之間的關係 (英) : 說明樞軸行的線性獨立代表原本方程式中的那一行也是線性獨立。
相關課程
- 上段视频中 我们看到了一种
- 计算列空间基底的方法
- 我们就用这个例子
- 这是矩阵A
- 把它化为行简化阶梯形
- 我计算出
- 阶梯型矩阵中那些列是主列
- 结果是第一列 第二列
- 和第四列是主列
- 它的方法是 你们可以看到
- A中相应的列
- 第一 第二和第四列
- 构成了列空间的基底
- 由于它们构成了基底
- 如果你想知道列空间的基底的维数
- 也就是秩
- 它是等于3
- 它的秩是3
- 在本段视频中 我想讨论
- 这种方法为什么可行
- 为什么我们可以取对应列？
- 为什么这三个向量线性独立
- 可以推出这三个向量是线性独立的？
- 为什么我可以用这三个向量
- 来线性表示这个向量
- 或者说这个向量是三个向量的线性组合
- 为什么意味着这个向量
- 是基底向量的线性组合？
- 在上段视频中
- 有一件事很容易理解
- 主列是
- 线性独立的
- r1 r2 r4是线性独立的
- 我现在做的所有的事情
- 我在利用特殊的例子
- 使得你们很容易理解
- 但是它应该一般化
- 实际上 它很显然是一般化的
- 在行简化阶梯型中
- 所有的主列
- 是线性独立的
- 这是因为
- 阶梯型矩阵的本质
- 它使得在相应的行中
- 只有一个主列有一个1
- 表示它的唯一方式就是这个向量
- 你不能用其它的主列来表示
- 因为在这一行中其它（主列）都是0
- 当我说它是线性独立时
- 我所指的就是主列的集合
- 我用一般化的语言来描述
- 对于任何阶梯型矩阵的
- 主列的集合
- 是线性独立的
- 这是一个很简单的论点
- 因为每一列
- 在一个特殊的位置都有一个1
- 对于其它主列
- 在相同的位置都是0
- 因此你不能通过任何的线性组合
- 得到1
- 因为0乘以任何数加上或减去
- 0乘以任何数都不可能等于1
- 这能接受吧？
- 这意味着
- c1*r1+c2*r2+c4*r4=0的解
- 这个方程的解
- 因为这些向量是线性独立的
- 因此我们知道这个方程只有一个解
- 即c1=c2=c4=0
- 这个是这个方程的唯一解
- 我们换一种说法
- 我们写成R乘以某个向量x
- 我们写成乘以这个特殊的x
- 其中x=[c1,c2,0,c4,0]
- 它是等于0
- 这个向量是零空间的某些特殊的元素
- 这个是这个方程的特殊解
- 它等于[0,0,0,0]
- 因为R中有4行
- 我来把它展开
- 我们把它写成
- 为1*c1+0*c2-1*0+4*0
- 我们换一个更好的解释方法
- 这个乘法运算可以写成
- 我们见过很多次这个式子
- 即c1*r1+c2*r2+0*r3
- 因此我们可以忽略这一项 再加上c4*r4
- 加上0*r5
- 这里是r5
- 所有这些等于0
- 这个方程的解是唯一的
- 因为我们知道这三列
- 是线性独立的
- 或者说着三列
- 这三个主列是线性独立的
- 它的唯一解是所有这些都等于0
- 这和我上面写的一样
- 因此这里的唯一解 如果这两个是0
- 所有这些都等于0
- 如果我已经限制这两个
- 有一件事 我们已经反复做了很多次
- 我们知道这个方程的解集
- 方程Rx=0的解集
- 是和Ax=0的解集是一样的
- 我们是怎么知道的？
- 意思是什么？
- 这个方程的解集就是它的零空间
- 解集就是R的零空间
- 它是所有满足这个方程的x
- 我们知道它等于A的零空间
- 因为R就是A的行简化阶梯形
- 因此A的零空间
- 就是所有满足这个方程的x
- 满足这个方程的唯一可能
- 就是c1=c2=c4=0
- 它告诉我们满足这个方程的
- [c1,c2,0,c4,0]的唯一可能
- 是c1=c2=c4=0
- 换一种说法
- 如果这里的向量a1 a2 a4
- 如果你把它乘开 我们会得到
- 我们在这里做 用蓝色的笔
- 我们会得到
- c1*a1+c2*a2+0*a3+c4*a4等于0
- 因为这些向量是线性独立的
- 当且仅当这个方程的
- 唯一解是0
- 我们知道这个方程的唯一解是
- 它们都等于0
- 因为所有满足这个方程的解
- 都是这个方程的解
- 它的唯一解是
- 我继续做
- 限制让这两项等于0
- 这个方程的唯一解
- 就是所有的c都等于0
- 类似的 如果我限制它这些等于0
- 那么它的唯一解
- 就是c1 c2 c4都等于0
- 因此这些都必须是0
- 也就是说 三个向量a1,a2,a4
- a1,a2,a4这个集合
- 是线性独立的
- 我们做了一半了
- 我们已经证明了它
- 因为主列是线性独立的
- 我们可以证明它们是有相同的解集的
- 阶梯型矩阵的零空间
- 和原始矩阵的零空间是一样的
- 我们可以证明出
- c1乘以这个加上c2乘以这个
- 加上c4乘以这个的唯一解是
- 所有这些常数都等于0
- 这三个向量
- 或者说这三个向量集合
- 是显然线性独立的
- 现在 去证明这个是一个基底的下一步
- 是证明所有其它列向量
- 可以表示成这三个向量的线性组合
- 我意识到 为了说的清楚
- 或者为了让你们不太厌烦
- 我会在下段视频中做出来
- 在本视频中 我们可以看到
- 如果主列是线性独立的
- 它们一直是
- 根据定义
- 所有的主列是线性独立的
- 或者当你去掉非主列时
- 主列总是线性独立
- 那么在原始向量中相应的列
- 也是线性独立的
- 在下一段视频中 我们会证明
- 这三个向量也可以张成列空间
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