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Showing that the candidate basis does span C(A) : Showing that just the columns of A associated with the pivot columns of rref(A) do indeed span C(A).
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- 在上上个视频中 我们曾经问自己
- 能否找到A的列空间的基底
- 我给你们一个做题的方法
- 你逐步的把A化为行简化阶梯形
- 因此这个矩阵R
- 就是A的阶梯型矩阵
- 观察它的主列
- 这就是主列
- 它有一个1 其余都是0
- 这是一个主列 一个1其余是0
- 1是在本行中第一个非零项
- 这个也是主列 我把它圈起来
- 这两个是主列
- 这里的列是主列
- 观察这个矩阵的
- 行简化阶梯形
- 在原始矩阵中相对应的列
- 就是你的基底
- 因此这个和这个
- 因此第一第二第四列是基底
- 我们称它为a1 这是a2
- 这是a4
- 这个是a3 这个是a5
- 我们说a1 a2和a4
- 是A的列空间的基底
- 在上上段视频中 我没有告诉你为什么
- 我只是告诉你就应该这样做
- 你应该把它看成一种理所当然
- 为了让它是一个基底
- 必须符合两个条件
- 必须是线性独立的
- 这个我刚在上段视频中讲过
- 第二个是关于处理这个向量
- 这些向量分别是r1
- 和r2 r4
- 很显然它们是线性独立的
- 它们在特殊的位置上都有一个1
- 其它的位置都是0
- 我们现在看的是三个主列
- 如果有n个主列也是成立的
- 各主列在某特殊位置
- 都有一个1
- 所有其它的主列
- 在这一行都是0
- 因此 不可能其它向量
- 其它向量的任何的线性组合
- 可以相加得到其中任意一个向量
- 它们显然是线性独立的
- 我在上段视频已经告诉你们
- 这些向量是线性独立的
- 它们确实如此
- 考虑到R和A有相同的零空间
- 我们知道这些向量是线性独立的
- 我在上段视频中已经讲过了
- 构成基底的另一个条件
- 我们检查这几个向量 a1 a2 an的生成空间
- 等于A的列空间
- A的列空间
- 就是这这五个向量的张成空间
- 因此 我在这里加上a3和a5
- 我用这三个向量
- 就能张成列空间
- 也就是说
- a3和a5可以用a1 a2 和a4
- 来线性表示
- 如果是这样的话
- 那么我就可以说 这两个向量是多余的
- 那么a1,a2,a3,a4,a5的张成空间
- 不需要a3和a5
- 我就可以缩减成这种形式
- 因为这两个向量可以表示成
- 其它三个向量的线性组合
- 这两个向量是多余的
- 如果我们能证明这两个向量
- 可以用其它两个向量线性表示
- 舍弃这两个向量
- 这三个向量的生成空间
- 和五个向量的一样
- 当然
- 它是A列空间的定义
- 我们开看看是否成立
- 我来把这里的每一个列向量
- 标记为a1到a5
- 这里的每一个列向量
- 标记为 r1, r2, r3, r4,r5.
- 我再次回到零空间的问题上
- 先不是零空间
- 我来研究方程Ax=0
- 换种方式写出来
- 我用[x1,x2,x3,x4,x5]来替换x
- 这就是我们定义解集的方法
- 所有可能的x1到x5
- 或者说所有可能的向量X
- 都表示零空间
- 我来研究所有的R
- 乘上[x1,x2,x3,x4,x5]等于0
- 这是零向量 在这种特殊情况中
- 这个向量有四行
- 它是Rm中的一个元素
- 因此这个方程可以被重新改写
- 我可以重新写为
- A的列向量是什么？
- 它们是a1,a2一直到a5
- 因此 我可以重新把它写成
- 为x1*a1+x2*a2+x3*a3+a4*x4+a5*x5
- 等于0
- 这是根据矩阵向量乘积的定义
- 得到的
- 这是一组从a1到a5的列向量
- 我在这里标出
- 我可以这样重新写出来方程
- 类似的 我把这个方程写成
- 向量x1*r1+x2*r2
- 加上x3*r3+x4*r4+x5*r5
- 等于0
- 当我们把它化成
- 阶梯型矩阵时
- 那么和主列
- 相关的x变量--
- 主列相关的x变量是什么呢？
- 主列是r1,r2,r4
- 和x变量相关的变量
- 我们称之为主变量
- 不和主变量相关的变量
- 我们称之为自由变量
- 因此在本题中
- 自由变量是x3和x5
- 对于A同样适用
- 所有满足这个方程的向量
- 也满足这个方程 反之亦然
- 它们有相同的零空间
- 相同的解集
- 我们也可以称x3和x5是自由变量
- 这是什么意思？
- 我们已经做了很多这样的例子了
- 对于自由变量
- 你可以令它等于任何数
- 因此在本题中你可以令
- x3和x5等于任意实数
- 你可以令它们等于任何你想要的数
- 从行简化阶梯形中
- 我们用这两个自由变量的函数
- 来表示其它的主变量
- 也许x1=Ax3+Bx5
- 也许x2=Cx3+Dx5
- 也许x4=Ex3+Fx5
- 这个式子是逐步用这三个主向量
- 和这个x相乘等于0得到的
- 你会得到一系列方程
- 你可以用这些自由变量
- 来表示这些主变量
- 考察这种情况 我想告诉你们
- 你总可以表示其中的。。。
- 在原始的矩阵中
- 我们回到原始的矩阵
- 你总可以用和自由变量相关的变量
- 表示其中一个向量
- 你总可以用这些和主列
- 相关向量的线性组合来
- 表示其中一个自由向量
- 我怎么来做？
- 比如说我想寻找
- 一个线性组合来得到这个
- 自由列a3
- 我怎么来做
- 重新整理方程
- 我得到什么？
- 抱歉
- 这是x3a3
- 如果我从方程的两边都减去x3a3
- 我得到了-x3a3=x1a1+x2a2+
- 这里没有3 加x4a4加x5
- 抱歉 x不是一个向量 x5a5
- 我在这里用浅橙色颜色写出的
- 是这里方程的另一种写法
- 我所要做的就是把这一项
- x3a3从方程的两侧消去
- x3是自由变量
- 我么可以令它等于任何数 x5也是
- 我们令x3=-1
- 那么这一项就是1
- 因为这里是-x3
- 令x5=0
- 如果x5=0 那么这一项就消失了
- 我以前做过
- 因为x5是一个自由变量
- 我可以令它等于任何数
- 现在我已经把a3写成了一个线性组合
- 你可以称它为一个可能的基底
- 或者称它为向量a1 a2 a4
- 它们是在原始矩阵中
- 和主列相关的向量
- 为了说明我们总可以这么做
- 我们必须证明出对于这个线性组合
- 总有某个x1 x2 x4是满足条件的
- 当然总有某些x1 x2 x3满足条件
- 我们只需要把自由变量
- 有x3=-1 x5=0
- 代入这组方程中
- 当我们化成阶梯型矩阵的形式
- 在本题中x1=-A+0
- x2=-C 其它的同理
- 你总可以这样做
- 你总能用
- 和主列相关的向量的
- 线性组合来表示
- 和非主列相关的向量
- 我刚对a3做过
- 你们也可以同样的对a5这样做
- 通过在方程两边
- 减去这一项
- 令x5=-1 x3=0
- 因此带3的项没有了
- 你可以得到一样的论点
- 考虑这个 我希望已经告诉你们了
- 或者说帮助你们看到
- 或者让你们理解了这个思想
- 这个向量
- 我来用一个亮色标记
- 这些洋红色的向量
- 是和自由列
- 或者说是自由变量
- x3和x5是线性相关的
- 就是这些列
- 它们总能表示成
- 其它列的线性组合
- 因为你只需要调整方程
- 令你要求出线性组合的
- 向量的系数等于-1
- 其它不是要求的向量的
- 系数都等于0
- 这时你就得到一个
- 和主列相关向量的线性组合
- 我已经给你们证明了这些自由向量
- 我对于术语用的很随意
- 和非主列相关的列可以
- 用这些向量线性表示
- 它们不是必须的
- 它的生成空间等价于它的生成空间
- 这个的生成空间是A的列空间
- 因此这个生成空间就是A的列空间
- 在上段视频中 我给你们证明了
- 这三个向量是线性独立的
- 现在我给你们证明了
- 这些向量的生成空间是A的列空间
- 现在你应当很满意这些向量了
- 我用蓝色的颜色写出来
- 这个列向量
- 这个列向量
- 和这个列向量
- 它们和阶梯型矩阵的
- 主列是相关的
- 它们确实可以表示A的列空间的基底
- 无论如何 希望你们觉得这个不是太复杂