使用 OpenID 登入
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Sums and Scalar Multiples of Linear Transformations: Sums and Scalar Multiples of Linear Transformations. Definitions of matrix addition and scalar multiplication.
相關課程
- 我們有兩個變換
- 這裡是變換S
- 它是Rn到Rm的函數或是變換
- 我們還有另一個變換T
- 它也是一個Rn到Rm的變換
- 現在我開始定義
- 這個定義的意思是兩個變整流加
- 下面是這個定義
- 讓我像定義一樣寫下它
- 我將要定義
- 兩個矩陣的加法
- 如果我讓兩個變整流加
- 讓兩個關於向量x的
- 變整流加
- 這就是這個定義
- 我要說的是這和
- 第一個變換作用到x上加上
- 第二個變換作用到x上
- 顯然的
- 這將會得到一個Rm上的向量
- 所以 這一整塊也將會是一個Rm上的矩陣
- 通過定義 S+T仍然是一個變換
- 因爲它們的變換對象都來自Rn
- 所以它仍然是一個Rn到Rm上的變換
- 現在 讓我寫下另一個定義
- 讓我寫下它 我將用綠色去它
- 可能我需要用紫色去寫
- 我將定義
- 一個變換的純量倍數
- 開始定義 假設是c
- c是一個任意實數
- c乘以變換S然後作用到某些向量x
- 我要說的是
- 這等價於c乘以x的變換
- 非常相似的
- 這個關於x的變換顯然在Rm上
- 如果你讓任意Rm上的向量乘以一個純量
- 你得到的是Rm上的另一個向量
- 幸運的 這個關於純量倍數的定義
- 如果我有這個新變換 被叫做c乘以S
- 它仍然是一個Rn到Rm的映射
- 結果仍然是Rm上的一個向量
- 這仍然是一個Rn上的向量
- 很容易
- 現在 讓我們看看將會發生什麽
- 如果我們關注這些變換
- 相應的矩陣
- 在最近的影片中 我們已經看到
- 任何線性變換
- 都可以重寫爲一個矩陣和向量的乘積
- 假設 變換S作用到一個向量x等價於
- 矩陣A乘以向量x
- 同樣 變換T作用的x上等價於
- 矩陣B乘以向量x
- 當然
- 上面兩個都是Rn到Rm上的映射
- 這兩個矩陣都是m×n的
- 它們兩個都是m×n的
- 現在 回顧一下我剛剛解釋的
- 這個定義
- S和T的組合作用到x上是什麽呢?
- 它可以被寫成
- 讓我把它寫在這裡
- 我將用相同的顏色寫下它
- 這裡有一個S 我還是用紅色寫吧
- 我會用紅色寫下它
- 這裡有S+T 這是大寫的T
- S加上T作用到x上 我剛剛在這裡寫過
- 等於S(x)加上T(x)
- 或者說變換T作用到x上
- 我們現在知道 它等於這兩個東西
- 所以它等於這裡的這一項
- 變換S作用於x上等於Ax
- 這就是這裡的這一項
- 變換T作用於x等於B
- 矩陣B乘以x
- 現在 這些是什麽呢?
- 讓我們講兩個矩陣寫成相同的形式
- 現在 你可能很熟悉
- 假設 矩陣A僅僅是
- 一串行向量的組合
- a1 a2 一直到an
- 同樣
- 矩陣B也是一串行向量的組合
- 矩陣B是b1 b2 一直到bn
- 這裡的每一個行向量都有m個元素
- 每一個行向量
- 都包含n個元素
- 因爲每個行向量的組合都有n個行向量
- 當你讓這一項倍乘以
- 讓我把它標記清楚
- 如果我讓它倍乘以一個x
- 向量x看起來像這樣
- 向量x是
- x1 x2 一直到xn
- 我們已經證明這多個 多次
- 這是一個關於矩陣向量乘積的
- 非常方便的方法
- 但是 我們知道 這裡的這個乘積
- 可以被寫成每一個x中的純量元素乘以
- A的相應的行向量
- 我已經做過這些
- 大概在在第5集影片裏 我做過這些
- 這裡可以寫成x1 x1乘以a1加上
- x2乘以a2
- 一直到xnan 等於這一項
- 這就是Ax可以被寫成的形式
- 作爲行向量的加權組合
- 其中權值是x的各個元素的值
- 我會將這一項加上Bx
- 對於Bx 通過相同的方法 所以它們的和將會是
- 用藍色標記出來
- 這裡將會是x1<i>b1+x2<i>b2</i></i>
- 同樣 一直到xn<i>bn</i>
- 現在 這些等於什麽呢?
- 好了 我們知道 純量乘以矩陣
- 具有分配律
- 所以我們可以直接相加這兩項
- 然後乘以x1
- 之後我們得到了什麽呢?
- 我們得到 它等於
- 寫在這裡的全部這些
- 讓我用橫線標記出來
- 因爲我不是說這個矩陣等於這些
- 我是說這裡等於這裡
- 等於這一項加上這一項
- 它等於x1(a1+b1)
- 加上x2<i>a2</i>
- 我僅僅是讓上面這兩項相加
- x2乘以(a2 + b2)
- 一直到xn(an+bn)
- 那麽這些又等於什麽呢?
- 好了 這些等於一個新矩陣
- 讓我們定義這個新矩陣
- 這些等於一個新矩陣
- 我在這裡把它寫大一點
- 乘以我們的向量x
- 我將把向量x標記爲綠色
- 向量x 我們知道 它是x1、x2 一直到xn
- 但是 這個新矩陣是什麽樣的呢?
- 好的 這個乘積將會是
- 這裡的每一個純量元素
- 乘以這個矩陣的行向量
- 這裡的這個是新矩陣的行向量
- 這裡等價於一個新矩陣
- 它的第一個行向量是a1+b1
- 我們本質上是讓這兩個的
- 行向量相加
- 這裡的第二個行向量
- 讓我在這裡畫出一條細線
- 來提醒你這些是不同的表達式
- 第二項是a2+b2
- 接下來會得到一串這樣的項
- 然後最後一項是an+bn
- 所以事情是這樣的 通過定義
- 當我相加這兩個變換時
- 我只是用到了它們相對應的矩陣
- 並且我說過的 你應該知道
- 兩個變換的和
- 産生一個新的變換
- 這本質上是某個矩陣乘以我們的向量
- 這個矩陣是
- 原來的兩個矩陣的
- 相應的行向量的和 對麽?
- 這是我得到的新矩陣
- 我還沒有定義矩陣加法
- 但是我通過思考矩陣加法得到這些
- 這個矩陣通過
- 讓矩陣A和矩陣B的相應向量相加得出
- 現在 我如何處理這些問題呢?
- 好的 在這裡我可以做出一個新定義
- 它會使得一切都很和諧
- 我將在這裡定義這個矩陣 寫做A+B
- 所以我的新矩陣的定義
- 如果我有兩個擁有相同維數的矩陣
- 並且它們必須有相同的維數
- 我定義A+B等於一個新矩陣
- 這裡你將它們相應的行向量相加
- 所以 a1+b1 向這裡我做的一樣
- 我不需要重寫它
- 相同的方法一直到an+bn 它是最後一列
- 你之前在代數2課堂裏已經看到過這些
- 但是 我想在這裡重新定義它
- 因爲現在可以看出這樣做的原因了
- 因爲現在我們可以說
- 兩個變換的和
- 如(S+T)(x) 等於S(x)--
- 這是一個向量-- S(x)+T(x)
- 我們知道 它等於Ax+Bx
- 現在可以說它們是相等的
- 因爲它等於某個我們可以叫做A+B的
- 新矩陣乘以x 對嗎?
- 我剛在展示的這部分是
- 將這裡的變換轉化成
- 在之前影片裏
- 我已經定義的某些變換
- 然後 當我剛做到這些
- 關於這個乘積的某種表達式
- 做爲乘積或者是這些的
- 加權組合
- 我們得到這個新矩陣
- 並且我已經定義了這個新矩陣是A+B
- 我做這些因爲它現在有整齊的格式
- 因爲現在關於x的
- 兩個變換的和等價於
- 當你認爲這個是一個矩陣和向量的乘積時
- 作爲它們的兩個矩陣的和
- 現在 讓我們對數量乘法做相同的事情
- 我們知道(cS)(x)
- 通過我已經說過的定義
- 等於c(S(x))
- c乘以任何這樣的向量都是在Rm上的
- 並且我們知道S(x)可以被重寫成Ax
- 所以這裡是cAx
- 我們知道Ax可以被重寫成這樣
- 等於c<i>x1<i>A的第一個行向量</i></i>
- 所以它是a1 加上x2<i>a2</i>
- 一直到加上xn<i>an</i>
- 現在 這是什麽呢?
- 這就是純量乘法
- 我們可以僅僅分配這個c
- 那麽之後我們得到什麽呢?
- 我們得到x 因爲乘法是具有結合律的
- c是一個純量 x1是一個純量
- 所以只要我們願意 就可以調換它們
- 我們知道 純量乘法是具有分配律的
- 所以把這些寫成x1ca1+x2ca2
- 一直到xn<i>can</i>
- 現在 這些等於什麽呢?
- 它等於某個新矩陣乘以x
- 這些等於某個新矩陣
- 讓我在這裡把它寫下來
- 乘以x1、x2 一直到xn
- 這個新矩陣是什麽呢?
- 新矩陣的行向量是什麽呢?
- 好的 行向量現在是這個 這個
- 一直到這個
- 所以新矩陣的行向量是 ca1 ca2
- 一直到can
- 現在 爲什麽我做這個呢?
- 好的 它是不是看起來很美 我說過
- 根據定義一個純量乘以一個變換
- 等於這個純量乘以一個變換作用於
- 任何作用的向量
- 當然 它等於c乘以Ax
- 現在 如果我把這些東西定義成新向量
- 它看起來會不會很美 是嗎?
- 因爲 這也應該是一個線性變換
- 並且這是我要定義的新矩陣
- 這又是一個定義
- 我將要定義這個新矩陣作爲cA
- 所以現在我們有了cA的定義
- 如果我讓任意一個純量乘以任一個矩陣A
- 它剛好等於c乘以每一個行向量
- 並且我們知道 一個純量乘以每一個
- 行向量會發生什麽 讓我在寫在這裡
- 它等於c乘以a1 c乘以a2
- 我又重寫了剛才我寫在這裡的內容
- 一直到c乘以an
- 但是這些本質上是什麽呢?
- 我們知道 當你讓一個純量乘以一個向量時
- 你是將這個純量乘以向量的每一個元素
- 所以這等價於純量c乘以
- 上面這個矩陣的每一個元素
- 通過本節影片 你知道 你可能會說
- 嘿 Sal 我已經知道如何
- 在九年級或是十年級的代數2課堂上
- 我已經展示了
- 一個純量乘以一個矩陣
- 或是讓兩個維數相同的矩陣相加
- 你爲什麽要通過這樣麻煩的
- 定義去讓變整流加和
- 讓矩陣相加
- 我做的這麽麻煩的原因是
- 我想讓你了解它 這並沒有什麽
- 我的意思是 它是很自然的
- 但是 並沒有完全說
- 矩陣非得通過這樣定義
- 矩陣加法 或者矩陣純量乘法
- 又或者兩個變換的加法
- 我想讓你了解數學世界已經
- 通過這種方式構建了它
- 因爲它看齊來有很好的、很有用的性質
- 這就是我這節影片要做的
- 在下節影片裏
- 我會做兩個純量乘法和
- 矩陣加法 只是爲了確保
- 你記得你在第九和第十級代數課中
- 學到的東西
- 但是 你會發現所有的實際操作
- 都是很簡單的
留言:
新增一則留言(尚未登入)
更多
載入中...
新增一則留言(尚未登入)
更多