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Sums and Scalar Multiples of Linear Transformations : Sums and Scalar Multiples of Linear Transformations. Definitions of matrix addition and scalar multiplication.
相關課程
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- 我們有兩個變換
- 這裡是變換S
- 它是Rn到Rm的函數或是變換
- 我們還有另一個變換T
- 它也是一個Rn到Rm的變換
- 現在我開始定義
- 這個定義的意思是兩個變整流加
- 下面是這個定義
- 讓我像定義一樣寫下它
- 我將要定義
- 兩個矩陣的加法
- 如果我讓兩個變整流加
- 讓兩個關於向量x的
- 變整流加
- 這就是這個定義
- 我要說的是這和
- 第一個變換作用到x上加上
- 第二個變換作用到x上
- 顯然的
- 這將會得到一個Rm上的向量
- 所以 這一整塊也將會是一個Rm上的矩陣
- 通過定義 S+T仍然是一個變換
- 因爲它們的變換對象都來自Rn
- 所以它仍然是一個Rn到Rm上的變換
- 現在 讓我寫下另一個定義
- 讓我寫下它 我將用綠色去它
- 可能我需要用紫色去寫
- 我將定義
- 一個變換的純量倍數
- 開始定義 假設是c
- c是一個任意實數
- c乘以變換S然後作用到某些向量x
- 我要說的是
- 這等價於c乘以x的變換
- 非常相似的
- 這個關於x的變換顯然在Rm上
- 如果你讓任意Rm上的向量乘以一個純量
- 你得到的是Rm上的另一個向量
- 幸運的 這個關於純量倍數的定義
- 如果我有這個新變換 被叫做c乘以S
- 它仍然是一個Rn到Rm的映射
- 結果仍然是Rm上的一個向量
- 這仍然是一個Rn上的向量
- 很容易
- 現在 讓我們看看將會發生什麽
- 如果我們關注這些變換
- 相應的矩陣
- 在最近的影片中 我們已經看到
- 任何線性變換
- 都可以重寫爲一個矩陣和向量的乘積
- 假設 變換S作用到一個向量x等價於
- 矩陣A乘以向量x
- 同樣 變換T作用的x上等價於
- 矩陣B乘以向量x
- 當然
- 上面兩個都是Rn到Rm上的映射
- 這兩個矩陣都是m×n的
- 它們兩個都是m×n的
- 現在 回顧一下我剛剛解釋的
- 這個定義
- S和T的組合作用到x上是什麽呢?
- 它可以被寫成
- 讓我把它寫在這裡
- 我將用相同的顏色寫下它
- 這裡有一個S 我還是用紅色寫吧
- 我會用紅色寫下它
- 這裡有S+T 這是大寫的T
- S加上T作用到x上 我剛剛在這裡寫過
- 等於S(x)加上T(x)
- 或者說變換T作用到x上
- 我們現在知道 它等於這兩個東西
- 所以它等於這裡的這一項
- 變換S作用於x上等於Ax
- 這就是這裡的這一項
- 變換T作用於x等於B
- 矩陣B乘以x
- 現在 這些是什麽呢?
- 讓我們講兩個矩陣寫成相同的形式
- 現在 你可能很熟悉
- 假設 矩陣A僅僅是
- 一串行向量的組合
- a1 a2 一直到an
- 同樣
- 矩陣B也是一串行向量的組合
- 矩陣B是b1 b2 一直到bn
- 這裡的每一個行向量都有m個元素
- 每一個行向量
- 都包含n個元素
- 因爲每個行向量的組合都有n個行向量
- 當你讓這一項倍乘以
- 讓我把它標記清楚
- 如果我讓它倍乘以一個x
- 向量x看起來像這樣
- 向量x是
- x1 x2 一直到xn
- 我們已經證明這多個 多次
- 這是一個關於矩陣向量乘積的
- 非常方便的方法
- 但是 我們知道 這裡的這個乘積
- 可以被寫成每一個x中的純量元素乘以
- A的相應的行向量
- 我已經做過這些
- 大概在在第5集影片裏 我做過這些
- 這裡可以寫成x1 x1乘以a1加上
- x2乘以a2
- 一直到xnan 等於這一項
- 這就是Ax可以被寫成的形式
- 作爲行向量的加權組合
- 其中權值是x的各個元素的值
- 我會將這一項加上Bx
- 對於Bx 通過相同的方法 所以它們的和將會是
- 用藍色標記出來
- 這裡將會是x1<i>b1+x2<i>b2</i></i>
- 同樣 一直到xn<i>bn</i>
- 現在 這些等於什麽呢?
- 好了 我們知道 純量乘以矩陣
- 具有分配律
- 所以我們可以直接相加這兩項
- 然後乘以x1
- 之後我們得到了什麽呢?
- 我們得到 它等於
- 寫在這裡的全部這些
- 讓我用橫線標記出來
- 因爲我不是說這個矩陣等於這些
- 我是說這裡等於這裡
- 等於這一項加上這一項
- 它等於x1(a1+b1)
- 加上x2<i>a2</i>
- 我僅僅是讓上面這兩項相加
- x2乘以(a2 + b2)
- 一直到xn(an+bn)
- 那麽這些又等於什麽呢?
- 好了 這些等於一個新矩陣
- 讓我們定義這個新矩陣
- 這些等於一個新矩陣
- 我在這裡把它寫大一點
- 乘以我們的向量x
- 我將把向量x標記爲綠色
- 向量x 我們知道 它是x1、x2 一直到xn
- 但是 這個新矩陣是什麽樣的呢?
- 好的 這個乘積將會是
- 這裡的每一個純量元素
- 乘以這個矩陣的行向量
- 這裡的這個是新矩陣的行向量
- 這裡等價於一個新矩陣
- 它的第一個行向量是a1+b1
- 我們本質上是讓這兩個的
- 行向量相加
- 這裡的第二個行向量
- 讓我在這裡畫出一條細線
- 來提醒你這些是不同的表達式
- 第二項是a2+b2
- 接下來會得到一串這樣的項
- 然後最後一項是an+bn
- 所以事情是這樣的 通過定義
- 當我相加這兩個變換時
- 我只是用到了它們相對應的矩陣
- 並且我說過的 你應該知道
- 兩個變換的和
- 産生一個新的變換
- 這本質上是某個矩陣乘以我們的向量
- 這個矩陣是
- 原來的兩個矩陣的
- 相應的行向量的和 對麽?
- 這是我得到的新矩陣
- 我還沒有定義矩陣加法
- 但是我通過思考矩陣加法得到這些
- 這個矩陣通過
- 讓矩陣A和矩陣B的相應向量相加得出
- 現在 我如何處理這些問題呢?
- 好的 在這裡我可以做出一個新定義
- 它會使得一切都很和諧
- 我將在這裡定義這個矩陣 寫做A+B
- 所以我的新矩陣的定義
- 如果我有兩個擁有相同維數的矩陣
- 並且它們必須有相同的維數
- 我定義A+B等於一個新矩陣
- 這裡你將它們相應的行向量相加
- 所以 a1+b1 向這裡我做的一樣
- 我不需要重寫它
- 相同的方法一直到an+bn 它是最後一列
- 你之前在代數2課堂裏已經看到過這些
- 但是 我想在這裡重新定義它
- 因爲現在可以看出這樣做的原因了
- 因爲現在我們可以說
- 兩個變換的和
- 如(S+T)(x) 等於S(x)--
- 這是一個向量-- S(x)+T(x)
- 我們知道 它等於Ax+Bx
- 現在可以說它們是相等的
- 因爲它等於某個我們可以叫做A+B的
- 新矩陣乘以x 對嗎?
- 我剛在展示的這部分是
- 將這裡的變換轉化成
- 在之前影片裏
- 我已經定義的某些變換
- 然後 當我剛做到這些
- 關於這個乘積的某種表達式
- 做爲乘積或者是這些的
- 加權組合
- 我們得到這個新矩陣
- 並且我已經定義了這個新矩陣是A+B
- 我做這些因爲它現在有整齊的格式
- 因爲現在關於x的
- 兩個變換的和等價於
- 當你認爲這個是一個矩陣和向量的乘積時
- 作爲它們的兩個矩陣的和
- 現在 讓我們對數量乘法做相同的事情
- 我們知道(cS)(x)
- 通過我已經說過的定義
- 等於c(S(x))
- c乘以任何這樣的向量都是在Rm上的
- 並且我們知道S(x)可以被重寫成Ax
- 所以這裡是cAx
- 我們知道Ax可以被重寫成這樣
- 等於c<i>x1<i>A的第一個行向量</i></i>
- 所以它是a1 加上x2<i>a2</i>
- 一直到加上xn<i>an</i>
- 現在 這是什麽呢?
- 這就是純量乘法
- 我們可以僅僅分配這個c
- 那麽之後我們得到什麽呢?
- 我們得到x 因爲乘法是具有結合律的
- c是一個純量 x1是一個純量
- 所以只要我們願意 就可以調換它們
- 我們知道 純量乘法是具有分配律的
- 所以把這些寫成x1ca1+x2ca2
- 一直到xn<i>can</i>
- 現在 這些等於什麽呢?
- 它等於某個新矩陣乘以x
- 這些等於某個新矩陣
- 讓我在這裡把它寫下來
- 乘以x1、x2 一直到xn
- 這個新矩陣是什麽呢?
- 新矩陣的行向量是什麽呢?
- 好的 行向量現在是這個 這個
- 一直到這個
- 所以新矩陣的行向量是 ca1 ca2
- 一直到can
- 現在 爲什麽我做這個呢?
- 好的 它是不是看起來很美 我說過
- 根據定義一個純量乘以一個變換
- 等於這個純量乘以一個變換作用於
- 任何作用的向量
- 當然 它等於c乘以Ax
- 現在 如果我把這些東西定義成新向量
- 它看起來會不會很美 是嗎?
- 因爲 這也應該是一個線性變換
- 並且這是我要定義的新矩陣
- 這又是一個定義
- 我將要定義這個新矩陣作爲cA
- 所以現在我們有了cA的定義
- 如果我讓任意一個純量乘以任一個矩陣A
- 它剛好等於c乘以每一個行向量
- 並且我們知道 一個純量乘以每一個
- 行向量會發生什麽 讓我在寫在這裡
- 它等於c乘以a1 c乘以a2
- 我又重寫了剛才我寫在這裡的內容
- 一直到c乘以an
- 但是這些本質上是什麽呢?
- 我們知道 當你讓一個純量乘以一個向量時
- 你是將這個純量乘以向量的每一個元素
- 所以這等價於純量c乘以
- 上面這個矩陣的每一個元素
- 通過本節影片 你知道 你可能會說
- 嘿 Sal 我已經知道如何
- 在九年級或是十年級的代數2課堂上
- 我已經展示了
- 一個純量乘以一個矩陣
- 或是讓兩個維數相同的矩陣相加
- 你爲什麽要通過這樣麻煩的
- 定義去讓變整流加和
- 讓矩陣相加
- 我做的這麽麻煩的原因是
- 我想讓你了解它 這並沒有什麽
- 我的意思是 它是很自然的
- 但是 並沒有完全說
- 矩陣非得通過這樣定義
- 矩陣加法 或者矩陣純量乘法
- 又或者兩個變換的加法
- 我想讓你了解數學世界已經
- 通過這種方式構建了它
- 因爲它看齊來有很好的、很有用的性質
- 這就是我這節影片要做的
- 在下節影片裏
- 我會做兩個純量乘法和
- 矩陣加法 只是爲了確保
- 你記得你在第九和第十級代數課中
- 學到的東西
- 但是 你會發現所有的實際操作
- 都是很簡單的