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- 讓我們做幾個
- 關於直線斜率的應用題
- 你們也許見過這被稱爲正變模型
- 因爲我們要把題目描述的畫出來
- 我們把圖畫出來 然後希望
- 我們能回答這些問題
- 我們看一下題目問了什麽
- 一個小流量的花灑
- 每分鍾噴2.5加侖水
- 如果用這個花灑供水 要裝滿一個
- 30加侖的浴缸要多長時間
- 我們在這裡建立一個正變模型
- 很有趣 但是題目只是說 好
- 我們建立一個表示流出多少水的方程
- 或者當幾分鍾過後
- 流出了多少加侖水的方程
- 我們設水的體積等於
- 水的流速乘以-
- 所以每分鍾2.5加侖乘以多少分鍾
- 我設m表示分鍾 g表示加侖
- 這樣就建立起了正變模型
- 沒有比這更有意思的了 現在有了方程描述
- 有了分鍾 我把它乘以2.5
- 因爲這就是我們放水的速度
- 一分鍾之後 1×2.5 就是2.5加侖
- 兩分鍾後 2×2.5 是5加侖
- 這就是模型 這也是條直線
- 記住直線的方程是y=mx+b
- 這裡沒有b b是0 只有mx
- 這裡x是分鍾 y是加侖
- 斜率是2.5
- 在我回答問題之前我先把圖畫上
- 我們不叫它x軸
- 記住x是自變量 現在是我們放水的分鍾數
- 這是m軸 單位是分鍾
- 縱軸 不叫y軸
- 我把它叫做g軸 是放了多少加侖
- 的水量
- 我只要關心第一象限
- 假設只有正的時間 直線是啥樣的？
- 斜率是2.5
- 我們也可以寫成g等於
- 2.5也就是每分鍾5/2加侖 乘以分鍾
- 現在我們知道斜率是5/2
- 我也可以用2.5 但是我喜歡5/2
- y截距已知是0
- 沒有y截距 你們可以看做加0
- 所以從原點開始 這是y截距
- 每向右移動2 就向上5
- x變化2 1 2 3 4 5
- x變化量是2 1 2 3 4 5
- 如果x變化量是-2 y變化量就是-5
- -2 1 2 3 4 5 等等等等
- 實際上向下到了這裡
- 所以直線 如果畫出來 是這樣的
- 我盡可能穿過所有的點
- 實際上 我說過只要畫第一象限的就可以了
- 這個象限中的確實沒意義
- 因爲不能有負的分鍾
- 不應該有負的分鍾
- 你們只要關注上面的就行了
- 現在題目問要裝滿30加侖的浴缸要多長時間？
- 現在 很不幸 這裡的圖
- 沒有畫到30加侖
- 如果畫了- 這是10加侖
- 這是10加侖 如果擴大三倍
- 從圖上就能得出結論了
- 但是我們能用代數方法來求
- 它花了多長時間？
- 讓這等於30加侖
- 30加侖等於 我用相同的顏色
- 每分鍾2.5加侖乘以分鍾
- 現在 解出分鍾數的方法是
- 兩邊除以每分鍾2.5加侖
- 兩邊除以每分鍾2.5加侖
- 我帶著單位以便給你們展示
- 最後求出的數可以把單位消掉
- 這變成了1
- 所以左邊 我們設m
- 應該等於30除2.5
- 加侖是分子
- 我要給你們展示 你們可以像
- 處理數字一樣處理單位
- 如果分母上是加侖每分鍾
- 如果除以這個分數
- 也就是乘以它的倒數
- 這也就是乘以分鍾每加侖
- 對吧？單位在分母中
- 當放到分子中 翻過來
- 所以加侖在分子中 加侖在分母中
- 它們約掉了 就剩下了30除2.5分鍾
- 30除2.5是多少？等於12
- 所以要填滿30加侖的浴缸要12分鍾
- 這是分鍾 12分鍾 我們再做一題
- 阿門是 或者是一個人
- 我不知道這個名字怎麽正確發音
- 用了一根管子 我們滾動一下屏幕
- 第一次用管子往遊泳池裏充水
- 他從晚上10點開始充 我寫下來
- 晚上十點開始 這是他開始的時間
- 讓它充了一晚上
- 早晨6點 他測量了深度 計算出已經充了4/7
- 所以當他晚上十點開始的時候
- 這是時間 這是池子裏的水量
- 現在當他開始的時候 水池是空的
- 這是個新的遊泳池 題目說了 所以池子是空的
- 啥都沒有 一點水也沒有
- 在上午六點 它測得深度計算出
- 裝了池子的4/7 這是4/7
- 到什麽時候池子能裝滿？
- 我們要求什麽時候裝滿 什麽時候是1/1？
- 也就是7/7 什麽時候？
- 要做這個題 我們必須建立一個剛做過
- 的簡單模型
- 我們可以設 池子的容量等於
- 一個常數乘以經過的時間
- 我們知道當時間是0 我們這樣想
- 這是時間 我寫到這裡 這是時間
- 這是時間 怎麽用小時表示？過了8小時 對吧？
- 乘以8 我不知道這是什麽
- 這是乘以別的什麽
- 當晚上十點 時間是0 0乘k 充了0
- 一點水也沒有 當時間等於8 k乘8
- k是往池子裏充水的速度 k乘8
- 這是4/7滿 現在能算出k是多少了
- 我們能算出我們正變模型的
- 比例常數是多少
- 很有意思 但是我們說的是 看
- 給池子充水可以用一個這樣的方程表示
- 我們加進去的水量
- 正比於過去的時間
- 這就是比例係數
- 我們不知道水充的有多快
- 但是現在能算出來了
- 因爲已知過了8小時 充了4/7
- 爲了求出k 兩邊除8
- 就得到k等於4/7除8
- 也就是4/7乘1/8
- 如果把這個算出來 我看一下 除4 除4
- 就得到1/14的水量 這是個奇怪的單位 每小時
- 或者可以說 每小時能裝1/14池子 所以k是1/14
- 我把方程寫到這裡
- 池子中的水量等於1/14乘以時間
- 所以我們要回答的問題是這什麽時候等於1？
- 在幾點？我們建立方程 這是1
- 這就是說池子完全滿了 這等於1/14乘以時間
- 如果方程兩邊乘以14
- 那麽1/14和14約掉了 就剩下t等於14
- 池子14小時充滿
- 記住我們的單位是小時
- 如果從10pm開始 這就0時刻 過了14小時是幾點？
- 第一天的10pm 如果到第二天10am
- 這是12小時 這就是我的思考方法
- 需要再過兩個小時才到14個小時
- 這就是第二天中午
- 當池子裝滿 就是第二天中午了
- 我們能把圖畫出來 這有張坐標紙
- 我把所有討論的都畫上
- 這個方程 我寫到這裡
- 池子中的水等於1/14乘t
- 我們假設每個刻度是2
- 這是2 4 6 8 10 12 14
- 這就說了當過了14小時 擧升了1
- 如果x變化了14 y就變化了1
- 我讓這些單位是1 2 刻度不是很好
- 這個圖有點扭曲了 但這是1
- 所以圖像看起來是這樣的 像這樣
- 斜率是1/14 希望你們覺得這有用