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指數為零、負數或分數 (英) : 指數為零、負數或分數
相關課程
- 在前幾個影片中，我告訴你任何數的零次方，就等於1
- 所以，x的零次方就等於1
- 我給你一個為什麼會如此的論證
- 例如，如果我們有3的一次方
- 就等於3
- 3的二次方等於9
- 3的三次方等於27
- 所以每次我們減少次方數，就除以3
- 27除以3等於9
- 9除以3等於3
- 3除以3等於1
- 所以這就是3的零次方
- 這是一個思考方式
- 另一個思考方式是，我們需要這個來讓
- 指數的法則成立
- 例如，假設a的b次方乘以a的c次方
- 就等於a的b+c次方
- 現在，假設c等於0的話?
- 假設a的b次方乘以a的零次方會是多少?
- 好，依照法則，這會等於a的b+0次方
- 就等於a的b次方
- 所以，a的b次方乘以a的0次方就等於a的b次方
- 如果你把兩邊都除以…讓我重寫這個
- a的b次方乘以a的零次方，如果你使這個法則
- 就等於a的b次方，對嗎?b+0等於b
- 如果你將兩邊同除以a的b次方，你會得到?
- 在左邊，你會剩下
- 只有a的零次方，對嗎?
- 這些都消掉
- a的零次方就等於1
- 你可以用類似的論證在大部分的
- 指數法則都適用，我們需要所有數的零次方
- 都等於1
- 當我們除以3，它也是合理的，當我們一步步
- 減少指數的時候
- 它一直都適用
- 當你有3的-1次方，我們看到
- 上個影片中，這就等於1/3的一次方
- 或者1/3
- 再一次，從3到0到1/3
- 你再次除以3
- 所以，這再度說明3的零次方就等於1
- 是很合理的
- 但，這中間有個小問題
- 那就是0的零次方是多少?
- 這是個很怪的觀念
- 0乘以自己零次
- 這得根據你用什麼內容而定
- 有時，有人會說這是未定義
- 但多數時候，至少在我的經驗
- 這被定義為1
- 理由是即使這不是完全直觀
- 你可以打0的零次方在goole上
- 它會給你1的答案
- 即使這不是完全直觀，
- 這被定義為如此是因為可以讓很多公式
- 行得通
- 特別是，二項式定理可以使用在二項式的係數
- 我在這邊就不多說了
- 當0的零次方等於1
- 這是一件值得你思考的有趣的事
- 這代表什麼意思
- 讓我們談一些其他法則
- 然後我們可以把它們用一些例題放在一起
- 在上個影片，我告訴你
- 指數為負的意思是什麼
- a的-1次方，或者我應該說
- a的-b次方等於1/a的b次方
- 來做一些實例
- 3的-3次方等於1/3的3次方
- 等於1/(3x3x3)
- 等於1/27
- 如果我問你，1/3的-2次方是…
- 好，這會變為1/(1/3)的
- 二次方
- 你去掉負，然後反轉它
- 所以，這就等於1/ …
- 1/3 x 1/3 等於多少?
- 1/9
- 就等於… 這是1除以1/9
- 等於1x9，所以等於9
- 這完全合理，因為1/3，記住，1/3是
- 3的-1次方，對嗎?
- 3的-1次方等於1/3的一次方
- 就等於1/3
- 所以如果我們把1/3用3的-1次方取代
- 就變成3的-1次方的-2次方
- 這兩個是相同的
- 如果我們用第一個影片學到的法則
- 我們可以把這兩個指數
- 算出乘積
- 所以，這就等於3的-1乘以-2次方
- 等於+2，所以答案等於9
- 所以，這很俐落，所有這些指數法則
- 都融合在一起，在很好、很巧妙的問題裡
- 它們不會互相矛盾
- 你用哪個法則不是重點，你最後都會得到
- 正確答案，只要你不做一些
- 瘋狂的事
- 現在，最後一件我想定義的
- 是分數指數的概念
- 如果我有一個分數指數
- 假設a的1/b次方
- 我要定義這個
- 這會等於a的b次方根
- 讓我說的非常清楚
- 讓我用一些數字
- 假設4的1/2次方，這表示
- 等於4的平方根
- 就等於…，如果我們取正的平方根
- 這就等於2
- 如果我要算，8的1/3次方
- 這就是要算8的立方根
- 在某程度上，這有時是最讓人困惑的
- 指數問題之一
- 我是說，哪個數字自己乘三次
- 會等於8
- 如果說，x等於8的1/3次方
- 這就等同於說x的三次方
- 等於8
- 我如何知道這是相等的呢?
- 好，我可以把等式兩邊都變成
- 三次方
- 如果我把左邊變三次方
- 右邊也變三次方，我得到什麼?
- 在左邊，我得到x的三次方
- 在右邊，我得到8的(1/3 x 3)次方
- 也就是3/3，等於1
- 所以，如果x等於8的1/3次方，x等於?
- 好，2x2x2等於8
- 這沒有什麼簡單的方法，特別是你要做四次方根
- 或五次方根，你算這些
- 可能會有小數點
- 你大部份都需要計算機來做這些
- 但像8的1/3次方，或16的1/4次方，或27的1/3次方
- 它們都不難計算
- 所以，在這邊，讓我清楚的寫下，等於2
- 現在，讓我們再弄的更令人困惑一些
- 27的-1/3次方等於多少?
- 好，別太擔心
- 我們會一步步的做
- 當你做負的指數，這就等於
- 1/27的1/3次方
- 這兩個是相等的
- 你把負的去掉，然後變為
- 1除以這整個
- 然後，27的1/3次方是多少?
- 好，哪個數字自己乘三次等於27
- 就是3
- 所以這就等於1/3
- 不錯
- 現在，我要進到下一個層級，讓它更令人困惑
- 甚至有點令人害怕
- 現在，讓我來做點有趣的事
- 8的2/3次方是多少?
- 這似乎有點嚇人
- 你要記住的就是這就等於
- 用我們的指數法則
- 等於8的平方的1/3次方
- 我怎麼知道的?
- 好，如果我把這兩個指數乘起來，就是2/3
- 所以8的2/3次方就等於8的平方
- 再求它的立方根
- 但你也可以用另一個方式來看
- 這應該也等於8的1/3次方的平方
- 因為不管哪個方式，當我乘這兩個指數
- 我都得到8的2/3次方
- 讓我們驗證一下，我們是真的
- 得到一樣的結果
- 所以8的平方等於64
- 然後算它的1/3次方
- 下面這邊，我們有8的1/3次方
- 我們已經想出來這是多少
- 是2，因為2的三次方等於8
- 所以這是2的平方
- 現在，64的1/3次方是多少?
- 什麼數自己乘三次會等於64?
- 4x4x4等於64，或者4的三次方
- 等於64，就表示4就等於
- 64的1/3次方
- 所以，這就等於4
- 很幸運地，2的平方也是4
- 所以，你用哪個方法來做都可以
- 你可以先平方，然後再算立方根
- 或者你可以先算立方根，然後再平方
- 你會得到相同的答案
- 現在，我做的一切
- 都是真實的數字
- 讓我再做幾題，把我們做過的整合
- 用變數的方式
- 假設我們想要再做幾個式子
- 而且想確認答案裡面
- 沒有負的指數
- 假設x的-3次方/x的-7次方
- 有很多方式來看這題
- 我們可以視這等於x的-3次方乘以
- 1/x的-7次方
- 1/x的-7次方 等於多少?
- 這就等於x的7次方，對嗎?
- 如果你有1/某數，你可以把1/ 拿掉
- 然後在指數前面放上負號
- 但如果你放一個負號在
- -7前面，你會得到x的7次方
- 所以，這可以簡化為x的-3次方乘以
- x的7次方
- 然後，我們可以把指數加起來，變為
- x的4次方
- 現在，另一個方式，一個完全正規的方式
- 是我們只要把指數相減
- 我們可以說，好，這是同樣的
- 這會變為x的-3次方
- 減-7次方
- 好，-3減-7，就等於-3加7
- 就等於x的4次方
- 最後一個方法，事實上
- 還有超過一種以上的方法可以做這題
- 假設x的-3次方/x的-7次方
- 抱歉，不是-x…
- x的-7次方
- 好，x的-3次方等於1/x的3次方
- 就是這邊這個，乘上1/x的-7次方
- 這會等於
- 1/x的3次方乘以x的-7次方
- 你可以把指數加起來，3-7等於-4
- 就等於x的-4次方
- 如果我們要把倒轉去掉
- 我們把它倒轉，可以在指數前面加負號
- 所以就變正
- 就等於x的4次方
- 所以，不管我們如何做，只要我們都遵守
- 這些規則，就會得到x的4次方
- 讓我們再做一題稍微簡單一些的
- 然後我想就先到這邊
- 假設3x平方乘以y的3/2次方
- 然後除以x乘以y的1/2次方
- 好，再一次，這就等於3乘以…
- x的部分在這邊，所以3乘以x平方/x，
- 乘以y的3/2次方/y的1/2次方
- 好，這等於3乘以…
- x平方/x 等於?
- 或者x平方/x的一次方?
- 就等於x的2-1次方
- 這就等於乘以y的 3/2 - 1/2 次方
- 這整個會變為?
- 變為3x
- 2-1等於1，我可以只寫x在這邊，乘以
- 3/2 - 1/2 等於2/2
- 所以，y的2/2次方
- 2/2，所以就等於y
- 所以這就等於3xy
- 不論如何，我鼓勵你做更多
- 題目
- 但，你會看到只是在用這些規則
- 我們已經在過去幾個影片中告訴你
- 你可以簡化任何指數的式子
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