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笛卡兒坐標系 (英): 代數與幾何之間的懸接。線性代數看起來像線的原因。
相關課程
- 這裡所展示的是一張勒奈·笛卡爾的肖像
- 他也是偉大的思想家之一
- 尤其在數學和哲學領域
- 我想也許你已經找到了一點規律
- 偉大的哲學家通常都是偉大的數學家
- 反之亦然
- 他差不多和伽利略是同時代的人
- 較之晚出生32年
- 卻在伽利略死後不久也撒手人寰
- 笛卡爾去世較早
- 而伽利略活了70多年
- 笛卡爾僅活了54歲
- 笛卡爾在通俗文化中相當出名
- 因爲他曾說過一句非常經典的哲學名言
- 我引用在了這裡——
- “我思故我在”
- 但我想人物介紹到這裡爲止就差不多了
- 畢竟這些和代數沒有什麽關係
- 但我還是再介紹一句非常優雅的名言
- 可能是他說過的話中最不出名的一句
- 就是右邊下面的這一句
- 我之所以喜歡它僅僅是因爲它很實用
- 並且它可以讓你在今天的課程中理解到
- 這些在哲學界和數學界的偉人
- 最終
- 也只是凡人一介
- 他說“你只要繼續努力”
- “你只要繼續努力”
- “我犯了所有可能會犯的錯誤”
- “但我仍然堅持努力”
- 我認爲這是對人生非常非常好的建議
- 而他能夠有很多成就
- 在哲學和數學上
- 但我今天之所以會提到他的真正原因是
- 我們要講的代數基礎
- 他便是那個創造者
- 建立了強大的關聯
- 在代數和幾何之間
- 好了 到目前爲止
- 因我們之前講述的內容
- 你已經進入了代數的世界
- 你學會了處理符號的等式
- 這些符號非常重要
- 因爲他們可以表達數值
- 於是你能夠明白這些
- 例如 y = 2x - 1
- 這個等式告訴我們有關
- x和y之間的關係 對任何x
- 和任何y
- 我們可以列表說明一下
- 隨便選給x賦一個值
- 然後來看看y會是多少
- 我可以隨機賦值給 x
- 然後就知道 y 是多少了
- 但這裡我只是簡單的選擇一些相關值
- 以便這些數看來不會太複雜
- 比如說
- 如果x是-2
- 那麽y將等於2 x -2 - 1
- 2 x -2 - 1
- 也就是-4-1
- 等於-5
- 如果x是-1
- 那麽y就等於 2 x -1 - 1
- 也就等於
- -2 -1 等於-3
- 如果x是0
- 那麽y將等於2 x 0 - 1
- 2 x 0是0 再減去1則是-1
- 我會再多舉幾個例子
- 如果x是1
- 事實上我在這裡可以選擇任意值
- 然後來看看發生了什麽
- 如果x是負的根號2結果會如何
- 或者會發生什麽 當x等於-5又1/2
- 抑或x等於正的6/7
- 但我只是隨便選幾個數
- 當我想知道y是多少時
- 這種方法使計算簡單多了
- 好了 回到x等於1
- y就等於2 x (1) -1
- 2x1等於2 再減去1得到1
- 我再舉一個例子
- 換一種我還沒有用到的顏色
- 就用紫色吧
- 如果x等於2
- 那麽y將等於
- 2 x 2-1, 由於x是2
- 所以是4 - 1等於3
- 到此爲止
- 我只是爲這個等式舉幾個例子
- 但我只想用此來描述一種通常的關係
- 在變量x和y之間的關係
- 然後我讓它看起來更具體一點兒
- 那麽好吧
- 如果x是這些變量的其中之一
- 那麽對應每個x的值
- 變量y對應的值是多少？
- 這讓笛卡爾意識到
- 你可以使這個式子可視化
- 你實際上可視化的是每個獨立的點
- 但它們同樣可以從總體上幫助你
- 使這種關係可視化
- 因此他在本質上做的是
- 他讓這種抽象的符號代數世界和
- 幾何學關聯到了一起 幾何研究的是
- 形狀 大小 和角度
- 學到目前你已經擁有了幾何的世界
- 很明顯歷史上人們
- 可能歷史上的很多人都記不起
- 誰曾經涉獵於此
- 但在笛卡爾之前的通常看法是
- 幾何學是指歐幾裏德幾何學
- 並且那是幾何學的本質
- 你在幾何課學過
- 在八年級、九年級或者十年級的時候
- 在傳統的高中課程中
- 幾何學所研究的是
- 有關三角形和它們的角之間的關係
- 以及圓與圓之間的關係
- 你了解了半徑，你還有三角形
- 嵌在圓內的情形等等
- 好了 我們將會深入了解
- 在幾何學課上
- 笛卡爾說 我覺得可以將它圖形化展示
- 和歐幾裏德研究這些三角和圓的方法一樣
- 他說“爲什麽我不這麽做呢？”
- 如果我們將這裡看作一張紙
- 或者我們想象一個二維平面
- 你可以將一張紙看作
- 是二維平面的一部分
- 我們稱之爲 二維
- 因爲這裡有兩個方向你可以進入
- 一個是上下的方向
- 這是一個方向
- 讓我用藍色畫出來
- 因爲我們設法將事物可視化
- 所以我用幾何的顏色來表示它們
- 現在你有了上下兩個方向
- 你還有左右兩個方向
- 這就是它叫做二維平面的原因
- 如果我們處理三維問題
- 你還會有裏向外兩個方向
- 在屏幕上表示出二維是很簡單的
- 因爲屏幕本身就是二維的
- 笛卡爾還說過“好了 你現在知道”
- “兩個變量和它們之間的關係”
- “那麽爲什麽我不將每一變量”
- “和這其中的某一維度對應聯係起來呢？”
- 按照慣例 我們讓變量y
- y是因變量
- 我們用的這種方法
- 它的值由x的值決定
- 讓我們把這些在直角座標係中畫出來
- 我們首先來畫自變量
- 就是我隨機賦值的那些
- 然後來看看y會等於多少
- 讓我在水平線上表示出來
- 事實上是笛卡爾
- 首先提出用x和y表達的傳統
- 之後我們將在代數中看到z變量 將被大量使用
- 作爲未知變量和你能夠操控的變量一起
- 但正如他所說“如果我們用這種方法考慮問題“
- ”如果我們用這些維度來表示數字”
- 讓我們先來看看x軸
- 讓我們假設在這裡是-3
- 這裡是-2
- 這裡是-1
- 這裡是0
- 我正在標示x軸
- 接著在左邊的區域
- 這裡是+1
- 這裡是+2
- 這裡是+3
- 我們現在要用同樣的方法對y軸進行標示
- 那麽這裡將變成
- -5, -4 , -3
- 讓我用更簡潔一點的方法處理
- 我先把這裡擦掉
- 把這個先擦掉 然後往下畫長一點
- 這樣我可以往下標出-5
- 不用讓坐標看起來太混亂
- 好了，我們可以接著
- 沿著y軸標示數字了
- 這裡是1...2...3
- 這裡是-1
- 然後-2，這些數只是按慣例標示
- 當然也可以從下往上標示y軸
- 我們在這裡寫上x
- 這裡寫y
- 使這個方向表明這方向
- 這個方向表明負方向
- 當然這些人們習慣采用的表達方式
- 是有笛卡爾首先發明的
- 這是-2, -3, -4以及-5
- 他說“任何東西 我都可以對應”
- “我能將這些對子對應於”
- “二維上的一個點”
- “我可以找到x和x的關聯值.”
- “比如說在-2這裡取爲x值”
- “它大概就是在原點左側的這個位置”
- “我將它標示在左側表示負值”
- 再來看這個點在縱坐標上是-5
- 因此我知道y的值是-5
- 因此我從原點向左移2個單位再往下移5個單位
- 於是在這裡就是我需要的點
- 因此他說“這兩個值是-2和-5”
- “而我可以將他們和這個點聯係起來”
- 在右邊的二維平面中
- 每一個點有兩個坐標值
- 你來告訴我在哪裏我可以找到點（-2,-5）？
- 這些坐標叫做笛卡爾坐標
- 以奈勒笛卡爾命名
- 因爲他發明了這些東西
- 笛卡爾出人意料將這些關係與
- 坐標平面上的點聯係到了一起
- 之後他說 好吧 讓我們用另一種方法試一下
- 是的 這裡還有另外一種關係
- 在表中可見當x爲-1時 y是-3
- 於是x是-1 y是-3
- 就是這裡這個點
- 任然是慣例
- 當你列出兩個坐標的值時
- 你先列出x坐標，然後列出y坐標
- 這就是人們通常習慣的方式
- 點（-1,-3）就是這個位置上的點
- 接著你找到x是0，y是-1的點
- 當x是0的時候
- 意味著我在原點不需要向左或者向右
- 而y是-1意味著要向下移動一個單位
- 因此點（0,-1）就是在這裡
- 嗯，在這裡
- 我可以接著這麽做
- 當x是1時，y是1
- 當x是2時，y是3
- 讓我用同樣的紫色來描點
- 當x是2，y是3，點（2,3）
- 在這裡用橙色表示出（1,1）
- 這樣整體看起來很整齊
- 我只是想舉例說明x的可能點
- 但是笛卡爾意識到
- 你不只可以列出這些x可能的值
- 還可以不停列出x的其他值
- 如果你嘗試列出某個區間x的所有可能值
- 你事實上就描繪出了一條線
- 因此如果你標出了所有可能的x值
- 你將得到一條線
- 那看起來就像...這樣
- 這樣一種關係 如果你選擇任意的x
- 就可以在線上的點找到相對應的y值
- 或者用另外一種方式思考這個問題
- 這條線上任意一點表達了
- 這個等式的一個解 就在這裡
- 所以如果你在這裡選一個點
- 看起來x值大概是1.5
- y是2 讓我寫下來
- （1.5,2）
- 這是這個等式的一個解
- 當x是1.5時，2<i>1.5是3，再減去1得到2</i>
- 就得到這個了
- 因此出人意料他能夠架橋
- 將代數和幾何連接了起來
- 現在我們可以直觀看到每一對x和y的值
- 都可以滿足這個等式
- 而他就是這一連接的創造者
- 這就是爲什麽坐標
- 標識這些點的坐標 叫做笛卡爾坐標
- 就像我們看到的第一種等式
- 我們將在這裡學習這種形式的等式
- 和傳統的代數課程
- 他們叫做一次方程組
- 一次方程組
- 也許你會覺得 好吧 你看這是一個等式
- 我可以看出這個等於它自身
- 但它們之間的線性關係是指什麽？
- 是什麽使它們看起來像一條線？
- 爲了了解爲什麽它們是線性的
- 你必須做到奈勒笛卡爾所做的豎鍛
- 因爲 如果你要繪制這種關係
- 用笛卡爾座標係
- 在歐幾裏德平面上 你會得到一條直線
- 在將來你還會看到
- 一些不會得到直線的等式
- 而是一些瘋狂或稀奇古怪的曲線
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