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代數之美 (英) : 為何數學的抽象性是如此的根本
相關課程
- 在我們學習代數之前
- 我想引用人類歷史上最偉大的人物之一說的一句話
- 那就是伽利略 伽利雷說的，因爲我覺得這句話很好的總結了代數
- 和通常意義上的數學的真谛
- 他說：”展現在我們眼前的那本大書裏書寫了哲學
- 我指的是宇宙
- 但如果我們不先學習這門語言
- 和掌握用來書寫的符號的話我們就不會理解宇宙
- 這本書是用數學語言來寫的
- 沒有數學的話一個人就會在黑暗的迷宮中徒勞地徘徊“
- 這麽說很誇張但也很深刻 這就是數學的本質
- 隨著我們開始慢慢深入代數
- 我們看到的是我們將要從把事物抽象化開始
- 我們將要開始接近的核心思想
- 就是解釋宇宙是如何組織起來的
- 當然這些想法可以被應用到很多東西上
- 比如天文學 經濟學 物理學和化學
- 但是從本質上說這些理念都是一樣的
- 所以它們比其他任何一種應用都更加基礎 更加純粹
- 要明白我的意思就要從最基本的想法開始
- 讓我們從……我想我們可以
- 從用數學來書寫的宇宙廣闊哲學開始
- 但是讓我們從一個非常具體的簡單問題開始。我們將繼續抽象事物
- 來看看同樣的想法是如何和我們宇宙中很多領域聯係在一起的
- 假設我們在一家商場裏
- 我們打算買點東西，正好還有打折
- 折扣是七折
- 我一般不在很貴的店裏買東西
- 讓我們假設我對一條褲子感興趣
- 打折前這條褲子是20美元
- 這就是我要在這條褲子上花的錢
- 我對這條20美元的褲子感興趣
- 更好的是這條褲子可以打七折
- 那麽我將要從20美元中節省多少錢呢？
- 這就是代數
- 這種情況你可能以前遇到過
- 你可以用30%乘以20美元
- 所以你的折扣等於
- 你可以寫下30%乘以20美元
- 我們用紫色來寫20美元
- 或者你可以寫 如果你想的話 這是一個小數
- 你可以寫成0.30<i>20美元</i>
- 如果你要做數學的話
- 你會得到6美元
- 這裡沒有什麽新東西
- 但是如果我想概括一點呢？
- 這是這條特定的褲子的折扣
- 但是如果我想知道
- 商場裏任何東西的折後價呢？
- 那麽我可以說 假設x是原價
- 讓我們用另一種顏色
- 我只是做個標記
- 假設x是我想買的商品的價格
- 這是商場商品的原價
- 我們可以說折扣
- 是七折 30%乘以x
- 或者我們想寫成小數的話
- 我們可以把30%寫成小數
- 我們可以寫0.30乘以x
- 現在有趣的事發生了
- 現在你給我商場裏任何一件商品的價格
- 我可以用x替換它
- 然後我可以乘以0.3倍
- 就會得到折後價
- 現在我們慢慢開始
- 進入代數的抽象中
- 我們可以看到當我們開始學習越來越多的代數問題後
- 它們變得更加細微和深刻了
- 實際上也更優美了
- 但我們並不止步於這裡
- 我們還可以更加抽象
- 剛才我們說過
- 我們可以概括爲任何一種商品
- 我們不只是在說這條20美元的褲子
- 如果有個10美元的商品
- 我們可以把10美元商品放在這當x
- 然後我們可以說0.30乘以10
- 這個折後價是3美元
- 也有可能是件100美元的商品
- 那麽折後價就是30美元
- 但是讓我們更概括點
- 假設“當折扣是一個特定值的話
- 那麽任何一種商品的折後價是多少呢？“
- 現在我們可以說那個折後價
- 我先定義下變量
- 讓我們假設一個值p，這樣更有意義
- p等於這個去掉的百分比
- 現在我們能做什麽？
- 現在我們可以說這個折扣
- 和這個去掉的百分比是一樣的
- 在其他例子中我們選擇了30%
- 但現在我們說p就是這個去掉的百分比
- 這是p
- 這是問題中商品要乘以的去掉的百分比
- 乘以這個價格，問題中商品的原價
- 那是x
- 這個折後價等於p乘以x
- 這下真有趣了
- 現在我們有一個計算折扣的通常辦法
- 對任何給定的折扣和任何給定的商品x都可以用
- 我們不一定需要用這些單詞和字母
- 我們可以說”假設y等於折後價“
- 那麽我們可以寫下同樣的基本想法
- 來代替寫折後價 我們可以寫
- y等於去掉的百分比p
- 乘以商品原價
- 乘以x
- 你也可以用任何一種你想要的方式來定義這些字母
- 也可以不用寫y
- 你可以寫希臘字母
- 只要你記錄下這個事實就是
- 符號代表的是實際的折扣
- 現在事情變得有趣了
- 因爲我們可以使用這種關係
- 這種等式
- 你用y來等於這些東西
- 我們把這個叫做等式
- 這些可以用來
- 表示和商場折後價
- 完全沒關係的東西
- 你也可以…
- 在物理學中你會看到
- 力等於質量乘以加速度
- 字母不一樣
- 但理念是基本一致的
- 我們可以假設y等於力
- m等於…或者質量等於p
- 我寫下p等於質量
- 這不是一種定義它的直觀方法
- 但是我想告訴你用同樣的理念和關係
- 應用到兩種不同的事物上
- 我們可以說x等於加速度
- 我們可以說x等於加速度
- 然後那個著名的”力等於質量乘以加速度“
- 就可以重新寫成
- y—我們定義爲力—
- 就等於質量
- —我們將用p來表示—
- 就等於p乘以加速度
- 這裡我們正好用字母x來表示
- 乘以x
- 這就是和剛才一樣的方程式
- 這就是和剛才一樣的方程式
- 我們還可以把這個方程式
- 應用在經濟學上
- 或者用在經濟學上
- 或者是計算機科學
- 或者邏輯學 工程學
- 任何學科—會計學—
- 這個方程式的應用
- 是無限的
- 這就是數學的靈活性
- 特別是代數的靈活性
- 我們可以聚焦於抽象
- 我們可以聚焦於抽象
- 我們可以操作抽象
- 從這些理念和操作中我們發現
- 它們可以被反複應用到
- 所有其他的應用中
- 而且更加靈活
- 這好像在告訴我們宇宙的真正結構
- 如果你把這些人類的定義
- 和人類的應用都剝離開的話
- 比如說我們可以說
- ”看，如果y等於p乘以x“
- 字面上如果一個人說
- ”嗨，這是y“
- 另一方面他又說”我有p乘以x“
- 我可以說”好吧，你雙手裏是一樣的東西“
- 如果你想用一個數字除以它們其中一個
- 如果你想讓它們仍然相等
- 你也要用這個數字除以另一個
- 比如說
- 讓我們假設——我們知道y等於p除以x
- 如果你想讓它們兩個還相等該怎麽辦呢？
- 如果y除以x的話等於？
- y等於p乘以x
- y除以x
- 這和p乘x除以x是一樣的
- 現在有趣的事來了
- 因爲x除以p乘x
- 如果你先用一個東西做乘法
- 再用它來做除法的話
- 你會得到原來那個數
- 如果你先乘以5再除以5
- 你就會得到p
- 或者任何一個其他數字
- 所以這些可以取消
- 但我們可以操作抽象事物
- 讓y除以x等於p
- 我們把x變成綠色
- y除以x等於p
- 現在就有些含義了
- 對任何一個理念來說都具有含義
- 這個含義告訴我們宇宙的基本真理
- 對其他的應用來說幾乎是不存在的
- 但是現在我們可以去把它們拿回來
- 放到任何我們可以應用的地方
- 真正有趣的事是我們將要發現一個新的
- 應用是無限的
- 而實際上我們對大多數的應用都不了解
- 在一千年裏
- 我們將要發現新的應用
- 希望這些能讓你們明白
- 爲什麽伽利略說
- 數學是一種語言
- 我們靠此了解宇宙的哲學
- 那就是人們爲什麽告訴我們
- 如果一種外星生命要和人類接觸
- 數學將是我們的第一步
- 從中可以形成一個基礎
- 我們可以開始互相溝通
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