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換底公式 (英): 換底公式
相關課程
- 用換底公式計算log以5爲底100的對數
- 結果保留到千分位
- 換底公式是個很有用的公式
- 尤其是在要用計算器的情況下
- 因爲計算器上不能
- 任意修改對數的底數
- 上面只有log以e爲底
- 也就是自然對數
- 和log以10爲底
- 所以通常需要改變底數
- 而換底公式講的就是這個
- 有時間的話
- 我會講講它爲什麽是成立的 如何推導的
- 那麽換底公式講的是
- 這裡換幾種顏色
- log以a爲底b的對數等於log以x爲底
- b的對數除以log以x爲底a的對數 其中x爲任意數
- 之所以說它用是因爲可以根據它換底
- 這裡底數是a 可以換成x
- 那麽如果計算器上有某個x值爲底數的鍵
- 就可以換成那個值 通常是e或10
- 用底數10算起來很簡單
- 通常情況下大家如果看到這種對數式
- log x
- 是指log以10爲底x的對數
- 如果看到自然對數ln x
- 是指log以e爲底x的對數
- e是個數字2.71...無窮位
- 現在把它用到題目中
- log 換顏色 以5爲底100的對數
- 根據換底公式可知
- 它等於log 把10代入x
- log以10爲底100的對數除以log以10爲底5的對數
- 上面這部分不用計算器就可以算
- log以10爲底100的對數 10的幾次方等於100？
- 2次方
- 所以分子等於2
- 化簡爲2除以log以10爲底5的對數
- 現在要用計算器了
- 因爲計算器上的log鍵代表log以10爲底數
- 把計算器調出來
- 輸入
- 先把它清除 2除以
- 輸入log 就代表以10爲底
- 輸入ln 代表底數是e
- 所以單獨只有log 就是log以10爲底
- log以10爲底5的對數等於
- 題目要求保留到千分位
- 所以是2.861
- 所以這裡約等於2.861
- 可以驗證一下
- 因爲理論上5的這個結果次方應該等於100
- 應該是對的吧
- 因爲5的2次方是25 5的3次方是125
- 100在兩者之間 並且相對來說
- 更接近2的3次方
- 而這個數也更接近3
- 但還是驗證一下 5的這個結果次方
- 輸入我們算的結果 保留到千分位
- 5的2.861次方 沒有輸入所有的小數部分
- 等於多少？
- 等於99.94
- 如果把小數部分全輸入
- 應該會很接近100
- 所以這回放心了
- 這就是得到100要算的那個5的指數
- 現在先不看這個結果
- 大家想想這個性質
- 這個公式是怎麽成立的？
- 那麽假設log以a爲底 和上面用同一種顏色表示
- log以a爲底b的對數
- 假設等於某個值
- 等於c
- 等價於a的c次方等於b
- 這是它的指數表達形式
- 這是它的對數表達形式
- 等於b
- 那麽等式兩邊可以以任意值爲底取對數
- 任意底數 假設10的取冪後等於它
- 也會同樣等於它
- 因爲兩者相等
- 下面等式兩邊以相同底數
- 取對數
- 以x爲底數 表明底數可以爲任意值
- 所以兩邊取log以x爲底的對數
- 這邊是log以x爲底a的c次方的對數
- 盡量用同一種顏色表示
- 等於log以x爲底b的對數
- 還是用橙色括起來
- 根據對數運算性質可知
- log a的c次方的對數等於c乘以log
- 任意底數a的對數
- 顯然它也等於log以x爲底b的對數
- 這裡寫上b
- 那麽如果要解出c
- 等式兩邊應同除以log以x爲底a的對數
- 所以c等於 用同一種顏色
- 等於log以x爲底b的對數除以log以x爲底a的對數
- 而c本來等於它 c等於log以a爲底b的對數
- 等於log以a爲底b的對數
- 寫下來 把它換成跟前面統一的顏色
- 推導過程就會一目了然
- 大家應該清楚這裡是怎麽推導的
- 但最好寫成顏色一致的
- c等於log以x爲底b的對數除以
- 往下拖一下
- 除以log以x爲底a的對數 等式兩邊都除以它
- 由這裡可知 可以把它複製粘貼過去
- 它也等於c
- 這是最初c的定義
- 複製粘貼過來
- 它也等於c
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