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連續整數的和 (英) : 連續的整數加起來
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- 歡迎參加計算整數的和的課程
- 你可能會問
- 爲什麽我們在平均數之後講這個話題？
- 那麽，如果你仔細想想，所有的平均數
- 都是你用一堆數字的和去除以
- 這堆數字的個數
- 我們今天要做的是兩個代數問題
- 這兩個代數問題首先包括了計算和的過程
- 同時，他們也會涉及到平均數的問題
- 我們先來看第一題
- 首先，我告訴你，我有5個連續整數的和
- 爲200
- 其中最小的那個數是多少？（不好意思，我的書寫有點難看）
- 題目是：這5個整數中最小的那個數是多少？
- 這個問題有幾種解法
- 但是，我認爲最直接的方式是用代數的方法
- 我會這麽認爲
- 我們設最小的那個整數爲x
- 因此，x就是我們想要得到的值
- 假設x是最小的整數，那麽剩下的4個數是什麽呢？
- 我們總共有5個數
- 他們是連續的
- 連續就意味著他們一個接著一個
- 比如5,6,7,8,9,10
- 這些都是連續的整數，對吧？
- 如果你記得的話，整數是完整的數字
- 所以，不可能有分數或者小數
- 因此，如果x是最小的，那麽下一個整數就是
- x+1
- 之後的那個就是x+2
- 之後的那個是x+3
- 之後的那個是x+4，對吧？
- 可能我寫的這些x讓你覺得有點困惑
- 但是你可以這樣想，加入x是5，那麽這就是6
- 這就是7，這就是8，這就是9
- 這寫就是我所寫的，對吧？
- 所以，假設x是最小的整數
- 那麽5個整數就是：x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5
- 我們知道這5個連續整數的和是200
- 那麽這5個，我們可以說數字或者說算式的和是多少呢？
- 我來看看，我們有5個x，1,2,3,4,5
- 所以x+x+x+x+x等於5x
- 或者你可以直接說5乘以x
- 然後，剩下的就是1+2是3,3加3是6
- 6+4是10
- 所以，這5個整數的和就是5x+10
- 我所做的就是把所有的x相加，然後把所有的常數相加
- 我們已經知道和爲200
- 現在這就只是一個線性代數的等式
- 我們只需要解出x
- 兩邊都減去10後，我們得到5x=190，對吧？
- 然後x等於多少呢？190除以5
- 19除以5等於3余4，3乘以5等於15
- 9減去5是4，0下來
- 40除以5，等於8
- 因此x等於38
- 很簡單的問題，不是嗎？
- 那麽，如果我要問，這5個連續整數的平均數是多少呢？
- 有兩種方法可以解出這個問題。
- 我們已經知道x等於38,
- 我們也就知道另外幾個數是多少了，分別是38,39,40,41,42
- 我們可以算出這5個數的平均數。
- 38+29+40+41+42
- 我們已經知道這5個數的和是多少
- 甚至不需要計算
- 我們已經知道他們的和爲200
- 然後除以5，因爲一共有5個數字
- 因此平均數爲40
- 你可以從幾個方面思考這個問題
- 第一，可以看到40是排在5個數的正中間，因此平均數是40是合理的
- 你可以說40是中間數的時候
- 那是只有當其他的數字平均分布在40前後的時候，
- 如果說我們有一個數字遠遠少於40
- 你就不能選擇中間的數字
- 但是針對這一題，這些事連續的整數，那就可以這麽做
- 另外一種解決這個問題的方法是，
- 假如在SAT考試中，題目是告訴你5個數的和是200，
- 問你這些數的平均值是多少？
- 那麽我所需要做的就是
- 用5除200，得到40。
- 我們來做另外一題
- 我會出的稍微難一點
- 7個奇數的和是......
- 我希望這個數字可以，我正在腦子裏算
- 是217，那麽最大的那個數是多少？
- 我不能說數字，應該說7個是奇數的整數
- 事實上如果是7個奇數，那麽這一題會更難
- 噢，事實上無論如何奇數只能是整數
- 所以你幾乎可以這麽假設
- 7個奇數的和是217
- 最大的那個整數是多少？
- 你們都看得出來我是一邊講一邊在想題目
- 其實我妻子剛才在檢查我
- 他認爲我患有良性暈眩
- 今天早上我去工作的時候覺得頭很暈
- 所以請大家原諒
- 這個更加妨礙了我
- 那麽我們來做這一題
- 我們設x是最大的數
- 那麽x之後是什麽數呢？
- 是x-1嗎？
- 但是，假入x是奇數
- 那麽x-1就是偶數
- 所以，爲了得到緊接著x的數
- 我們需要用x減去2
- 很抱歉，題目應該是
- 7個連續奇數的和
- 我不知道你們是不是假定了這個條件
- 我今天真是努力得在混淆你們！
- 7個連續奇數的和是217
- 最大的整數是多少？
- 加入x最大，那麽第二大的是x-2
- 對吧，因爲是連續的奇數
- 不僅是連續
- 所以連續的奇數應該是例如1,3,5,7
- 跳過了偶數，對吧？
- 那就是爲什麽上下差了2
- 取決於你怎麽看
- 所以下面第二個數是x-2,
- 接著會有x-4，x-6，x-8，x-10，x-12
- 我認爲就到這裡爲止。
- 1,2,3,4,5,6,7，對吧
- 這是那7個數
- 他們中間差了2
- x是其中最大的，對吧？
- 我們可以假設他們是奇數，因爲很明顯
- 題目解出來後，他們就會是奇數
- 這7個數的和是多少？
- 7個x相加就是7x
- 然後，我們繼續算，2加4等於6,6加6是12,12加8是20
- 20加10是30，30加12是32
- 所以7x-32=217
- 我們只需要解出x。
- 7x等於......兩邊都加32
- 我們得到249
- 讓我們看看7除249，對吧？
- 對
- 7除249，我剛才的加法做得對嗎？
- 我想確認一下
- 2加4是6,6加6是12,12加8是20,20加10是30
- 30加12是42。
- 哦，對了。
- 看吧，我的數學超能力會告訴我
- 這個答案有點可疑
- 所以7x-42
- 兩邊都加42，得到7x=259
- 看我多勇敢，我就這樣實時的出題和做題。
- 259.
- 所以7除259。7除25得3
- 3乘以7是21，49，最後得到37
- 所以我們得到x等於37，這樣就可以了。
- 再回顧一下，因爲我覺得
- 展示的過程中有很多錯誤
- 題目是7個連續奇數的和是217
- 最大的整數是多少？
- 我假設x是最大的整數，那麽如果x是最大的，
- 接下來就是x-2
- 因爲我們說的不僅是連續的整數
- 我們說的是連續的奇數，對吧
- 因此，假設x是37，這是我們剛才解出來的答案，
- 那麽x-2就是35，這是33，這是31，這是29
- 這是27，這是25
- 然後我們把所有x相加
- 我把常數相加，得到的結果是217
- 那麽我們就解出了x
- 我認爲你們現在已經準備好可以嘗試這類的題目啦。
- 玩的開心。
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