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相關課程
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- 假設我們有 100 個燈泡。
- 我先把他們畫出來
- 這先畫一個
- 再畫一個
- 一共是一百個
- 一百個燈泡
- 然後呢，不過先暫停一下
- 在我開始把他們開開或者關上之前
- 我先告訴你們他們現在都是關上的
- 然後就能開始了
- 然後呢，現在我要把這一百個燈泡
- 都編上號
- 從一號到一百號
- 第一個燈泡是一號燈泡。
- 第二個燈泡是二號燈泡。
- 一直到第一百號燈泡
- 現在開始折騰他們了，第一次是把
- 所有開關都打一遍
- 因爲一開始他們都是關的，現在就都打開了
- 先都打開
- 所以呢，再第一次開開關之後呢
- 所有這些燈泡就是亮的了
- 這個是亮的，這個也是亮的，亮的
- 現在都亮了
- 亮的
- 然後在第二輪呢，我將隔一個
- 按一下開關
- 因爲呢，在第二輪我是不會碰第一個燈泡的
- 我只會關上第二個燈泡
- 第一個燈泡會還是亮的
- 第二個燈泡會別滅掉
- 第三個燈泡會還是亮的
- 第四個燈泡會是滅的
- 其實呢，所有的排偶數的燈泡，就是剛才
- 我給他們編的從一到一百裏面的
- 會被滅掉
- 所以呢，第一百號燈泡，是會別滅掉的
- 然後呢開始下一輪，這次呢我是要去隔
- 兩盞燈才去打一個開關
- 這回是什麽樣的呢
- 這次會是呢，我先給筆換個顏色
- 這盞呢還是會這麽開著
- 這個呢還是這麽關著
- 第三盞燈呢的開關會被按到
- 他之前是亮著的
- 現在將會被關上
- 第四個燈泡呢還是會滅的，因爲我們
- 不會碰它
- 第五盞燈泡呢是兩者的
- 現在還會是亮的
- 第六盞燈泡呢，我們剛才是把它關上了
- 所以現在會是把他打開
- 你大概能理解這個題是怎麽回事了吧
- 沒隔兩個燈泡，我們就會按一下
- 所以所有號碼是三的倍數的燈泡
- 都會被按到
- 如果某個燈泡的號碼既是2，也是3的倍數呢
- 那麽他在上一輪會被打開，然後在這輪呢
- 被滅掉
- 應該能理解了吧
- 然後呢，我們現在一共要做100輪
- 第一輪是每個都按
- 因爲一開始是滅的，所以現在就都
- 被打開了
- 第二輪呢，我是隔一個按一下
- 所以就是所有號是偶數的燈泡
- 第三輪呢，是隔兩個按一下，所以是所有是三的
- 的倍數的燈泡
- 現在我的問題是，一百輪之後，有
- 多少的燈泡是還沒被關上呢？
- 或者就是有多少是亮的呢
- 這個就是這道題了
- 我們怎麽才能算出來一百個燈泡裏面有
- 多少會是亮的呢？
- 其實是不難的，口算應該就夠了
- 所以是不用去用 Excel 電子表格，然後
- 也不用把每一輪的答案都算出來
- 我們現在需要算一百輪以後，還有多少燈
- 是亮的
- 我們可以先想想，第一輪我們是要開哪些
- 開關呢？
- 很簡單，只用把最後一盞燈的開關按一下就好了
- 所以，就是把它之前的狀態
- 反過來
- 如果他要是之前是滅的，現在就會是亮的
- 如果他之前是亮的，我就滅了他，
- 我們的問題呢， 就是第一百輪之後
- 有多少盞燈是亮的
- 當然，我們也可以試圖去看看是哪些盞燈
- 會是亮的
- 現在問題明了了
- 如果你想在知道答案之前自己想一想的話，可以先暫停一下
- 自己試試看看能不能解出這個問題
- 應該是不會花很多時間的
- 好了，如果你還想繼續看的話呢，我現在就要揭曉答案了
- 我先給幾個提示吧
- 我們怎麽能知道在每一輪裏面是哪個燈泡的開關會被按呢？
- 比如在第二輪裏面，我不知道我會是開或者是關
- 某一個燈泡
- 因爲我不知道他之前是開著的還是關著的
- 我會按的呢是所有號碼爲偶數的燈泡
- 然後呢，在第三輪裏面按的會是所有號碼是三的倍數
- 的燈泡。
- 所以每一輪我按的是什麽呢？
- 如果我是在第n論，我按的是哪些燈泡呢
- 這個就是提示
- 我們知道所有號碼爲n的倍數的燈泡
- 的開關在第n輪裏面都會被按
- 也就是說其實是看燈泡的號碼是不是
- n的倍數
- 說白了就是說在第17輪裏面
- 我要按的是所有號碼是17的倍數的燈泡
- 也就是說在第17輪裏面，我知道我是要按第51號燈泡的
- 因爲51是17的三倍
- 所以呢，其實我們會把很多燈泡開了關，關了開
- 因爲他們的號碼有很多約數，然後到了這些輪的話
- 他們的開關就會被按到
- 比如，我們可以考慮一下第八個燈泡
- 就是這個
- 他的開關會被按多少次呢？
- 第一輪肯定會被按
- 把他打開
- 第一輪之後，他會是亮的
- 第二輪，他會被滅掉
- 我知道他前兩輪都會被按到，因爲一和二都可以被八整除
- 第三輪，是不會按到他的
- 這是因爲八不是三的倍數
- 倍數
- 第四輪，會發生什麽呢？
- 他又會被按到
- 應該是又會被點亮了
- 然後下一次再按到就是第八輪了
- 他會被按滅
- 總之每次到他的約數的那輪，他就會被
- 按到
- 所以呢，如果一個燈泡最後想保持是亮的
- 他的約數數量需要是個奇數
- 這就比較有意思了
- 爲了讓燈泡是亮的，他的號碼的約數需要
- 是奇數
- 現在，這是一個有趣的問題。
- 什麽數的約數的數量是奇數呢？
- 我覺得這些問題應該是小學裏面應該學到的
- 但是他們現實生活中是不教你的
- 但它是數論一個很有趣的。
- 這個問題，雖然簡單，但是是個挺有意思的問題的
- 這樣的數是什麽數呢？
- 我們可以從一些小的數開始看起，看看他們都有多少個約數
- 以的約數呢
- 只有一個，也就是他自己，一
- 這個不就是我們要找的嗎
- 約數的數量是奇數
- 在這道題裏面也就是說第一盞燈最後會是亮的
- 因爲我們只在第一輪中把他打開然後就不碰他了
- 挺有道理。
- 二呢？
- 他有兩個約數
- 分別是一和二
- 所以他的約數的數量是偶數
- 第一輪裏面會把他打開，然後
- 第二輪裏面會把他關上
- 之後就再也不會有他什麽事了
- 所以最後他都是滅的
- 三
- 他的約數是一和三
- 四
- 他的約數是一，二和四
- 非常好
- 這裡有三個約數
- 所以他的約數的數量是奇數
- 所以第四盞燈最後會是亮的
- 在第一輪裏面我們把他打開
- 在第二輪裏面關上
- 然後再在第四輪裏面打開
- 繼續看下面的數
- 五
- 約數是一和五
- 六。
- 約數是一，二，三和六
- 總數是偶數，所以最後會被關上
- 再下面呢
- 七。
- 約數是一和七。
- 八。
- 剛才說過了
- 約數是一、 個、 四和 八。
- 最後是滅的
- 九。
- 讓我們看看。
- 九。
- 約數是一、 三和九
- 很好
- 又是一個數量是奇數的
- 所以在最後，第九盞燈會是
- 亮著的
- 我們繼續。
- 在我和我們的小學預備班的同學們講這道題
- 的時候
- 他們已經反映過來：一和四之間的距離
- 是三
- 4和9之前的距離是5
- 所以下一個數和9之前的距離可能是
- 7
- 中間的差是按著奇數往上漲的
- 九加七等於多少呢？
- 我們可以試試這個數
- 答案是16。
- 16 的約數是什麽？
- 他們是一、 二、 四、 八和 16。
- 非常好
- 是奇數個，對吧
- 從9到16，增加了7
- 從4到9，增加了5
- 看著像是是有規律的
- 但是呢，其實這些數，1，4，9和16，
- 他們還有另外一種規律的
- 你可以把9和16中間的數都試一下，你會發現
- 他們的約數的數量都是偶數的
- 那麽這些數有什麽特別的
- 從而讓他們的約數的數量是奇數呢？
- 在所有的其他數裏面，每個約數都是和另一個約數
- 相對應的
- 一乘以二等於二
- 一乘以六等於六
- 二乘以三等於六
- 約數都是成雙出現的
- 然後這些數字除外
- 他們的一部分約數是不成雙出現的
- 那是爲什麽呢？
- 一乘以四等於四
- 然後二乘以二也等於四
- 所以二只出現一次
- 三乘以三等於九
- 四乘以四等於十六
- 所以最後所有號碼爲完全平方的等會是
- 亮的
- 這也是爲什麽他們的約數的個數都是奇數。
- 我們再回到我們的問題
- 所以這個聽著很牛X的燈泡問題最後就變成了
- 問100以內有多少個
- 完全平方了
- 可以很容易的就把他們都寫出來
- 完全平方都是哪些數呢，
- 應該有一、 四、 九、 16。
- 然後還有後面的其他數
- 另一種辦法呢是想有多少數的平方是少於
- 或者等於100呢
- 100是等於10的平方
- 所以做後是只能是1到10 的數的平方
- 還是少於等於100 的
- 也就是說完全平方爲100以內的正整數只有十個
- 我希望剛才說的這些不是過於抽象，不過如果你覺得
- 把他們一個一個找出來然後寫下來更容易的話，那也是可以的
- 因爲100是這裡面最大的數了，他所以也是所有的完全平方數
- 裏面最大的了
- 他是10的平方
- 裏面其他的完全平方數是像是一的平方，二的平方
- 三的平方，一直到
- 十的平方
- 這麽做也是可以的
- 四的平方是十六
- 五的平方是二十五
- 然後是36、 49、 64、 81 和 100。
- 所以排這些號的燈泡最後
- 會是亮著的
- 這就解出來了，希望你做題愉快！