使用 教育雲端帳號
登入
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Light Bulb Switching Brain Teaser : Turning light bulbs on and off.
相關課程
- 假設我們有 100 個燈泡。
- 我先把他們畫出來
- 這先畫一個
- 再畫一個
- 一共是一百個
- 一百個燈泡
- 然後呢，不過先暫停一下
- 在我開始把他們開開或者關上之前
- 我先告訴你們他們現在都是關上的
- 然後就能開始了
- 然後呢，現在我要把這一百個燈泡
- 都編上號
- 從一號到一百號
- 第一個燈泡是一號燈泡。
- 第二個燈泡是二號燈泡。
- 一直到第一百號燈泡
- 現在開始折騰他們了，第一次是把
- 所有開關都打一遍
- 因爲一開始他們都是關的，現在就都打開了
- 先都打開
- 所以呢，再第一次開開關之後呢
- 所有這些燈泡就是亮的了
- 這個是亮的，這個也是亮的，亮的
- 現在都亮了
- 亮的
- 然後在第二輪呢，我將隔一個
- 按一下開關
- 因爲呢，在第二輪我是不會碰第一個燈泡的
- 我只會關上第二個燈泡
- 第一個燈泡會還是亮的
- 第二個燈泡會別滅掉
- 第三個燈泡會還是亮的
- 第四個燈泡會是滅的
- 其實呢，所有的排偶數的燈泡，就是剛才
- 我給他們編的從一到一百裏面的
- 會被滅掉
- 所以呢，第一百號燈泡，是會別滅掉的
- 然後呢開始下一輪，這次呢我是要去隔
- 兩盞燈才去打一個開關
- 這回是什麽樣的呢
- 這次會是呢，我先給筆換個顏色
- 這盞呢還是會這麽開著
- 這個呢還是這麽關著
- 第三盞燈呢的開關會被按到
- 他之前是亮著的
- 現在將會被關上
- 第四個燈泡呢還是會滅的，因爲我們
- 不會碰它
- 第五盞燈泡呢是兩者的
- 現在還會是亮的
- 第六盞燈泡呢，我們剛才是把它關上了
- 所以現在會是把他打開
- 你大概能理解這個題是怎麽回事了吧
- 沒隔兩個燈泡，我們就會按一下
- 所以所有號碼是三的倍數的燈泡
- 都會被按到
- 如果某個燈泡的號碼既是2，也是3的倍數呢
- 那麽他在上一輪會被打開，然後在這輪呢
- 被滅掉
- 應該能理解了吧
- 然後呢，我們現在一共要做100輪
- 第一輪是每個都按
- 因爲一開始是滅的，所以現在就都
- 被打開了
- 第二輪呢，我是隔一個按一下
- 所以就是所有號是偶數的燈泡
- 第三輪呢，是隔兩個按一下，所以是所有是三的
- 的倍數的燈泡
- 現在我的問題是，一百輪之後，有
- 多少的燈泡是還沒被關上呢？
- 或者就是有多少是亮的呢
- 這個就是這道題了
- 我們怎麽才能算出來一百個燈泡裏面有
- 多少會是亮的呢？
- 其實是不難的，口算應該就夠了
- 所以是不用去用 Excel 電子表格，然後
- 也不用把每一輪的答案都算出來
- 我們現在需要算一百輪以後，還有多少燈
- 是亮的
- 我們可以先想想，第一輪我們是要開哪些
- 開關呢？
- 很簡單，只用把最後一盞燈的開關按一下就好了
- 所以，就是把它之前的狀態
- 反過來
- 如果他要是之前是滅的，現在就會是亮的
- 如果他之前是亮的，我就滅了他，
- 我們的問題呢， 就是第一百輪之後
- 有多少盞燈是亮的
- 當然，我們也可以試圖去看看是哪些盞燈
- 會是亮的
- 現在問題明了了
- 如果你想在知道答案之前自己想一想的話，可以先暫停一下
- 自己試試看看能不能解出這個問題
- 應該是不會花很多時間的
- 好了，如果你還想繼續看的話呢，我現在就要揭曉答案了
- 我先給幾個提示吧
- 我們怎麽能知道在每一輪裏面是哪個燈泡的開關會被按呢？
- 比如在第二輪裏面，我不知道我會是開或者是關
- 某一個燈泡
- 因爲我不知道他之前是開著的還是關著的
- 我會按的呢是所有號碼爲偶數的燈泡
- 然後呢，在第三輪裏面按的會是所有號碼是三的倍數
- 的燈泡。
- 所以每一輪我按的是什麽呢？
- 如果我是在第n論，我按的是哪些燈泡呢
- 這個就是提示
- 我們知道所有號碼爲n的倍數的燈泡
- 的開關在第n輪裏面都會被按
- 也就是說其實是看燈泡的號碼是不是
- n的倍數
- 說白了就是說在第17輪裏面
- 我要按的是所有號碼是17的倍數的燈泡
- 也就是說在第17輪裏面，我知道我是要按第51號燈泡的
- 因爲51是17的三倍
- 所以呢，其實我們會把很多燈泡開了關，關了開
- 因爲他們的號碼有很多約數，然後到了這些輪的話
- 他們的開關就會被按到
- 比如，我們可以考慮一下第八個燈泡
- 就是這個
- 他的開關會被按多少次呢？
- 第一輪肯定會被按
- 把他打開
- 第一輪之後，他會是亮的
- 第二輪，他會被滅掉
- 我知道他前兩輪都會被按到，因爲一和二都可以被八整除
- 第三輪，是不會按到他的
- 這是因爲八不是三的倍數
- 倍數
- 第四輪，會發生什麽呢？
- 他又會被按到
- 應該是又會被點亮了
- 然後下一次再按到就是第八輪了
- 他會被按滅
- 總之每次到他的約數的那輪，他就會被
- 按到
- 所以呢，如果一個燈泡最後想保持是亮的
- 他的約數數量需要是個奇數
- 這就比較有意思了
- 爲了讓燈泡是亮的，他的號碼的約數需要
- 是奇數
- 現在，這是一個有趣的問題。
- 什麽數的約數的數量是奇數呢？
- 我覺得這些問題應該是小學裏面應該學到的
- 但是他們現實生活中是不教你的
- 但它是數論一個很有趣的。
- 這個問題，雖然簡單，但是是個挺有意思的問題的
- 這樣的數是什麽數呢？
- 我們可以從一些小的數開始看起，看看他們都有多少個約數
- 以的約數呢
- 只有一個，也就是他自己，一
- 這個不就是我們要找的嗎
- 約數的數量是奇數
- 在這道題裏面也就是說第一盞燈最後會是亮的
- 因爲我們只在第一輪中把他打開然後就不碰他了
- 挺有道理。
- 二呢？
- 他有兩個約數
- 分別是一和二
- 所以他的約數的數量是偶數
- 第一輪裏面會把他打開，然後
- 第二輪裏面會把他關上
- 之後就再也不會有他什麽事了
- 所以最後他都是滅的
- 三
- 他的約數是一和三
- 四
- 他的約數是一，二和四
- 非常好
- 這裡有三個約數
- 所以他的約數的數量是奇數
- 所以第四盞燈最後會是亮的
- 在第一輪裏面我們把他打開
- 在第二輪裏面關上
- 然後再在第四輪裏面打開
- 繼續看下面的數
- 五
- 約數是一和五
- 六。
- 約數是一，二，三和六
- 總數是偶數，所以最後會被關上
- 再下面呢
- 七。
- 約數是一和七。
- 八。
- 剛才說過了
- 約數是一、 個、 四和 八。
- 最後是滅的
- 九。
- 讓我們看看。
- 九。
- 約數是一、 三和九
- 很好
- 又是一個數量是奇數的
- 所以在最後，第九盞燈會是
- 亮著的
- 我們繼續。
- 在我和我們的小學預備班的同學們講這道題
- 的時候
- 他們已經反映過來：一和四之間的距離
- 是三
- 4和9之前的距離是5
- 所以下一個數和9之前的距離可能是
- 7
- 中間的差是按著奇數往上漲的
- 九加七等於多少呢？
- 我們可以試試這個數
- 答案是16。
- 16 的約數是什麽？
- 他們是一、 二、 四、 八和 16。
- 非常好
- 是奇數個，對吧
- 從9到16，增加了7
- 從4到9，增加了5
- 看著像是是有規律的
- 但是呢，其實這些數，1，4，9和16，
- 他們還有另外一種規律的
- 你可以把9和16中間的數都試一下，你會發現
- 他們的約數的數量都是偶數的
- 那麽這些數有什麽特別的
- 從而讓他們的約數的數量是奇數呢？
- 在所有的其他數裏面，每個約數都是和另一個約數
- 相對應的
- 一乘以二等於二
- 一乘以六等於六
- 二乘以三等於六
- 約數都是成雙出現的
- 然後這些數字除外
- 他們的一部分約數是不成雙出現的
- 那是爲什麽呢？
- 一乘以四等於四
- 然後二乘以二也等於四
- 所以二只出現一次
- 三乘以三等於九
- 四乘以四等於十六
- 所以最後所有號碼爲完全平方的等會是
- 亮的
- 這也是爲什麽他們的約數的個數都是奇數。
- 我們再回到我們的問題
- 所以這個聽著很牛X的燈泡問題最後就變成了
- 問100以內有多少個
- 完全平方了
- 可以很容易的就把他們都寫出來
- 完全平方都是哪些數呢，
- 應該有一、 四、 九、 16。
- 然後還有後面的其他數
- 另一種辦法呢是想有多少數的平方是少於
- 或者等於100呢
- 100是等於10的平方
- 所以做後是只能是1到10 的數的平方
- 還是少於等於100 的
- 也就是說完全平方爲100以內的正整數只有十個
- 我希望剛才說的這些不是過於抽象，不過如果你覺得
- 把他們一個一個找出來然後寫下來更容易的話，那也是可以的
- 因爲100是這裡面最大的數了，他所以也是所有的完全平方數
- 裏面最大的了
- 他是10的平方
- 裏面其他的完全平方數是像是一的平方，二的平方
- 三的平方，一直到
- 十的平方
- 這麽做也是可以的
- 四的平方是十六
- 五的平方是二十五
- 然後是36、 49、 64、 81 和 100。
- 所以排這些號的燈泡最後
- 會是亮著的
- 這就解出來了，希望你做題愉快！
留言:
新增一則留言(尚未登入)